Расчет значений электрической цепи

Задание 1

Для цепи, схема которой показана на рис. 1.1, рассчитайте все токи, используя принцип наложения.

Для этого:

1. Перерисуйте схему.

2. Выберите произвольно и покажите стрелками положительные направления всех токов.

3. Нарисуйте схему для расчёта частичных токов, создаваемых источником напряжения.

4. Нарисуйте схему для расчёта частичных токов, создаваемых только источником тока.

5. На каждой из этих схем покажите стрелками положительные направления частичных токов.

6. Вычислите все частичные токи в обеих схемах.

7. Составьте таблицу значений частичных и истинных токов во всех ветвях цепи.

Рис. 1.1 Электрическая схема Исходные данные:

Решение Схема для расчёта частичных токов, создаваемых источником напряжения, показана на рис. 1.2 (источник тока удалён из схемы и заменён обрывом цепи). Там же показаны направления токов.

Рис. 1.2 Электрическая схема без источника тока Найдём токи во всех ветвях методом преобразования схемы. Заметим, что сопротивления R₁ и R₄ включены последовательно. Заменим их одним сопротивлением (рис. 1.3):

Рис. 1.3 Замена и на

Сопротивления и включены параллельно, заменим их одним сопротивлением (рис. 1.4):

Сопротивления и включены последовательно друг с другом и с источником напряжения. Найдём токи в них:

Рис. 1.4 Замена и на

Сопротивления и представляют собой делитель тока. Токи в них находим по следующим формулам:

Так как сопротивление представляет собой последовательное соединение и, то Сводные данные о токах в ветвях показаны в табл. 1.1.

Таблица 1.1

Сводные данные о токах в ветвях

Схема для расчёта частичных токов, создаваемых источником тока, показана на рис. 1.5 (источник напряжения удалён из схемы и заменён коротким замыканием). Там же показаны направления токов.

Для удобства направления токов оставим теми же, что и на рис. 1.2.

Токи в ветвях найдём методом преобразования схемы. Сопротивления R₂ и R₃ включены параллельно. Заменим их одним сопротивлением (рис. 1.3):

Рис. 1.5 Электрическая схема без источника напряжения

Рис. 1.6. Замена и на

Сопротивления и включены последовательно друг с другом, заменим их сопротивлением (рис. 1.7):

Рис. 1.7 Замена и на

Сопротивления и представляют собой делитель тока. Токи в них находим по следующим формулам:

Сопротивления и представляют собой делитель тока. Токи в них находим по следующим формулам:

Ток найдём по формуле:

Сведём данные двух расчётов в табл. 1.2 и найдём суммы токов.

Таблица 1.2

Сводные данные о токах в ветвях

Задание 2

Для цепи, схема которой показана на рис. 1.1, рассчитайте все токи, используя метод узловых напряжений.

Для этого:

1. Перерисуйте схему.

2. Пронумеруйте все узлы, предварительно выбрав базисный узел.

3. Составьте систему узловых уравнений. Уравнения составьте в алгебраической форме и с численными коэффициентами.

4. Вычислите узловые напряжения.

5. Вычислите токи во всех ветвях, предварительно выберите и покажите их положительные направления.

Результаты расчёта сравните с токами, вычисленными в задаче 1

Решение Электрическая схема с пронумероваными узлами показана на рис. 2.1. Базовый узел пронумерован числом 0.

Рис. 2.1 Электрическая схема с пронумероваными узлами Из схемы рис. 2.1 видно, что в рассматриваемой цепи всего два независимых узла, так как один из четырёх узлоф является базовым, а потенциал в другом (узел № 3) известен, так как он равен ЭДС источника напряжения U:

Напишем уравнения для узловых потенциалов двух оставшихся узлов.

где

Решим систему методом Крамера:

Сравним эти значения со значениями, полученными в предыдущем задании (табл. 2.1).

Таблица 2.1

Сводные данные о токах в ветвях

Задание 3

Для цепи, схема которой приведена на рис. 3.1, рассчитайте все токи и составьте уравнение баланса средней мощности.

Для этого:

1. Перерисуйте схему и замените заданное гармоническое колебание i₀(t) соответствующей комплексной амплитудой.

2. Запишите комплексные сопротивления элементов цепи.

3. Найдите общее комплексное сопротивление относительно зажимов источника.

4. Применяя закон Ома в комплексной форме, вычислите комплексную амплитуду тока через источник напряжения или комплексную амплитуду напряжения на зажимах источника тока.

5. Определите комплексные амплитуды остальных токов цепи.

6. Запишите мгновенные значения всех вычисленных токов.

7. Составьте уравнение баланса средней мощности и убедитесь в правильности расчётов.

Рис. 3.1. Электрическая схема Решение Вычислим комплексное сопротивление реактивных элементов:

Сопротивление последовательно включённых конденсатора и сопротивления :

Сопротивление параллельно включённых индуктивности и сопротивления :

Сопротивление параллельно включённых резистора и сопротивления :

Найдём напряжения на зажимах источника тока:

Найдём токи в отдельных элементах схемы:

Проверяем правильность расчёта:

Мгновенные значения токов:

Найдём комплексную мощность, отдаваемую источником тока. Для этого напряжение источника умножим на комплексно-сопряжённый ток:

Найдём комплексную мощность, потребляемую пассивными элементами схемы. Для этого комплексное сопротивление каждого элемента умножаем на квадрат абсолютной величины тока в нём:

Проверяем баланс мощности:

Задача 4

электрическая цепь ток напряжение Найдите комплексную передаточную функцию H (jщ) цепи 1-го порядка и определите по ней частотные характеристики: амплитудно-частотную |H (jщ)| и фазочастотную И (щ).

Для этого:

1. Для RL цепи рис. 4.1 рассчитайте значения её параметров через M и N.

2. Найдите требуемую комплексную передаточную функцию H (jщ) в общем виде через её параметры R, L:

H (jщ) = U₂(jщ)/U₁(jщ) или H (jщ) = I₂(jщ)/U₁(jщ) [1/Ом],

где U₁(jщ) — воздействие на электрическую цепь; U₂(jщ) или I₂(jщ) — реакция электрической цепи на воздействие.

3. Запишите в общем виде через параметры R, L выражения для амплитудно-частотной |H (jщ)| и фазочастотной И (щ) = arg H (jщ) характеристик.

4. По заданным значениям R, L и конечному значению частоты щ_к = 10⁶ рад/с по полученным выражениям для АЧХ и ФЧХ рассчитайте их значения в диапазоне частот 0? щ? 4щ_к. Приведите таблицу вычислений, выбирая для расчёта не менее 11 точек (рекомендуемые для вычисления частоты: 0; щ_к/4; щ_к/3; щ_к/2; 2щ_к/3; щ_к; 1,5щ_к; 2щ_к; 2,5щ_к; 3щ_к; 4щ_к).

5. Постройте графики АЧХ и ФЧХ. На графиках должны быть отмечены расчётные точки с численными метками, отложенными вдоль осей, указаны масштабы.

Рис. 4.1 Электрическая схема Решение Выведем в общем виде формулу для передаточной функции схемы:

Расчёты для 11 указанных в задании точек представлены в табл. 4.1.

Таблица 4.1

Результаты расчётов

Как видно из таблицы, выбранный диапазон частот не показателен, так как уже во второй точке диапазона передаточная функция практически достигает своего предельного значения для бесконечно большой частоты.

Рассчитаем значения модуля и фазы передаточной функции в диапазоне 0…0,1 щ_к (табл. 4.2).

Таблица 4.2

Результаты расчётов

АЧХ и ФЧХ схемы в диапазоне 0…0,1щ_к, построенные с помощью математического пакета MathCAD, показаны на рис. 4.2 и 4.3.

Рис. 4.2 АЧХ схемы в диапазоне 0…0,1щ_к

Рис. 4.3 ФЧХ схемы в диапазоне 0…0,1щ_к

Задание 5

Найдите закон изменения напряжения и тока на реактивном элементе u_C(t), i_C(t) после коммутации при условии, что до коммутации в цепи был установившийся режим.

Для этого:

1. Для схемы рис. 5.1 рассчитайте параметры через M и N.

2. Составьте для схемы, получившейся после коммутации, систему уравнений по законам Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений и получите одно дифференциальное уравнение относительно u_C(t).

3. Найдите путём решения полученного дифференциального уравнения искомую реакцию цепи u_C(t), по которой определите i_C(t).

4. Постройте графики функций u_C(t), i_C(t).

Рис. 5.1 Электрическая схема Решение Рассчитаем напряжение на конденсаторе в установившемся режиме до коммутации. Тока через конденсатор нет, поэтому сопротивления можно рассматривать как делитель напряжения:

Рассчитаем напряжение на конденсаторе в установившемся режиме после коммутации. Тока через конденсатор нет, поэтому сопротивления можно рассматривать как делитель напряжения:

Найдём зависимость тока в конденсаторе от текущего напряжения на нём:

Учитывая, что получим дифференциальное уравнение или Обозначим

Получим линейное дифференциальное уравнение первого порядка Решением этого уравнения является выражение где c — постоянная интегрирования, которую найдём из граничных условий:

Окончательно получим Ток в конденсаторе находим по формуле

Графики функций и постоенные с помощью математического пакета MathCAD, показаны на рис. 5.2 и 5.3, где напряжения показаны в вольтах, токи — в амперах, время — в секундах.

Рис. 5.2 График функции

Рис. 5.3 График функции

Задание 6

Воздушная длинная линия без потерь состоит из двух участков с одинаковым волновым сопротивлением с, напряжение на входе линии .

Первичные параметры каждого участка выбраны так, что фазовая скорость V_ф, а, следовательно, и длина волны л на всех участках одинакова. В соответствии со схемой рис. 6.1 рассчитайте параметры линии и нагрузок через M и N.

1. Рассчитайте входное сопротивление Z_вх2 и определите режим работы линии длиной ₂.

2. Рассчитайте сопротивление нагрузки линии длиной как параллельное соединение Z₁ и Z_вх2 и вычислите значение коэффициента отражения линии длиной .

3. Рассчитайте входное сопротивление Z_вх1 и определите режим работы линии длиной ₁.

4. Рассчитайте действующие значения токов и напряжений в линии: ₁, ₂, ₂, ₂, ₂.

5. Рассчитайте распределение действующего значения напряжения вдоль каждого участка линии, выбрав не менее пяти расчётных точек в промежутке от y = 0 до y = л/4. Постройте отдельно для каждого участка линии графики распределения действующего значения напряжения в пределах изменения y: 0? y? ₁; 0? y? ₂.

6. Рассчитайте значение коэффициента бегущей волны К_БВ в линии длиной ₁.

Рис. 6.1 Электрическая схема

7. Определите значение сопротивления R, которое надо подключить вместо Z₁, чтобы в линии длиной ₁ установился режим бегущей волны. Нарисуйте качественный график распределения действующего значения напряжения вдоль линии длиной ₁ при выбранном R.

Решение Расчёт начнём со второй линии. Найдём коэффициент отражения:

Входное сопротивление линии определим по формуле Рассчитаем сопротивление нагрузки первой линии длиной как параллельное соединение и :

Вычислим значение коэффициента отражения первой линии:

Рассчитаем входное сопротивление первой линии:

Рассчитаем действующие значения токов и напряжений в линии:

Используя математический пакет MathCAD построим графики действующего значения напряжения вдоль первой и второй линий по формулам:

Графики приведены на рис. 6.2 — 6.4.

Рассчитаем значение коэффициента бегущей волны К_БВ в первой линии:

Определим какое сопротивления R надо подключить вместо Z₁, чтобы в первой линии установился режим бегущей волны.

Рис. 6.2 График функции

Рис. 6.3 График функции

Рис. 6.4 График функции (более крупный масштаб по вертикальной оси) График распределения действующего значения напряжения вдоль линии длиной ₁ при выбранном R построим с помощью математический пакет MathCAD по формуле График показан на рис. 6.5.

Рис. 6.5 График функции в режиме бегущей волны

Приложения Приложение, А Файл «1−2.xmcd» — расчёты в MathCAD по задачам 1, 2.

Приложение Б Файл «3.xmcd» — расчёты в MathCAD по задаче 3.

Приложение В Файл «4.xmcd» — расчёты в MathCAD по задаче 4.

Приложение Г Файл «5.xmcd» — расчёты в MathCAD по задаче 5.

Приложение Д Файл «6.xmcd» — расчёты в MathCAD по задаче 6.