Говорят, что целое число a делится на целое число b, отличное от 0, если такое целое число с, определенное однозначно, что a=b*c.
Свойства: евклид лемма арифметика позиционный.
- 1) Отношение делимости рефлексивно, т. е.. Действительно, число 1, а=а*1
- 2) Отношение делимости транзитивно, т. е. если
Из этого следует, что a=(c*k)*t=c*(k*t)=c*m.
А это значит, что ас.
- 3) Если аb, то (-a)b, (-a)(-b), a (-b)
- 4) Если ac и bc, то (ab)c
a=c*t, b=c*k (ab)=c*tc*k=c*(tk)(ab)c.
НО: обратное утверждение неверно.
- 5) Если ab и cZ (произвольное число), то (a*c)b
- 6) Если каждое из чисел a1, a2… an делится на b, то (r1a1+…+rnan)b, где r1,…, rnZ
- 7) Если ac, b неc, то (a+b)нес
Пусть (a+b)=t и tc, t-a=b это противоречит условию.
- 8) 0на любое число, 0
- 9) Всякое целое число1, т.к. всякое число можно записать в виде а=1*а
- 10) На 0 делить нельзя: а=0*с, если а0, то это равенство неверно; если а=0, то имеем 0=0*с, сZ — в этом случае нарушается условие единственности определения с.
- 11) Если ab, то. a=b*c,, где b, cZ
Теорема о делении с остатком
Разделить целое число, а на целое число b0, это значит найти такие целые числа q и r, что a=bq+r, 0.
Теорема: в кольце целых чисел всегда возможно выполнение деления с остатком и причем единственным образом.
Доказательство:
1) Существование:
Рассмотрим целые числа кратные b. Это числа -2b,-b, b,2b… и пусть bq-последнее кратное b, не превышающее число а, тогда оно является наибольшим среди записанных кратных. В этом случае b (q+1)>a. Получили:
bqa.
Пусть a-bq=r. Тогда получим: a=bq+r, причем 0r<
Это доказательство проходит для случая b>0.
Теперь пусть b0.
Тогда a=(-b)*q+r, a=b*(-q)+r, где 0r<-b, -b=, где b<0, 0r<
Таким образом, деление с остатком возможно при любых, а и b0
2) Единственность:
Предположим, что это не так:
a=bq1+r1 и a=bq2+r2;
bq1+r1=bq2+r2;
b (q1-q2)=r2-r1; где 0r1, r2<;
=;
, где 0r2-r1r1.
Равенство возможно, если, =>q1=q2, r1=r2.
Следовательно, деление с остатком однозначно: q-неполное частное, r-остаток.
