Система массового обслуживания типа (M/M/1): (GD//)

В модели (M/M/1):(GD//) имеется единственный узел обслуживания (обслуживающий прибор), а на вместимость блока ожидания и емкость источника требований никаких ограничений не накладывается. Входной и выходной потоки являются пуассоновскими с параметрами и соответственно.

Прежде всего получим уравнение в конечных разностях для рn (t), т. е. для вероятности того, что в интервале времени t в системе находится n требований (клиентов). После этого при надлежащих условиях перейдем к пределам пи t и получим формулу для рn, соответстветствующих сиационарному режиму исследуемого процесса.

Уравнения в конечных разностях для рn (t) выводятся на основе тех же соображений, которые приводились в связи с рассмотрением моделей чистого рождения и чистой гибели. Для достаточно малого, но не равного нулю h (>0) запишем.

Вероятность поступления в систему n (n>0) требований в интервале t+h [обозначим эту вероятность через рn (t+h)] складывается из следующих вероятностей:

• а) в конце временного интервала t в системе находится n требований, а Р в интервале h не происходит ни поступлений, ни выбытий
• б) в конце временного интервала t в системе находится (n-1) требований, а Р в интервале h происходит одно поступление, но не происходитвыбытий
• в) в конце временного интервала t в системе находится (n+1) требований, а Р в интервале h не происходит не одного поступления, но происходит одно выбытие.

При этом предполагается, что события происходят случайным образом и в интервале h происходит не более одного события (поступления или выбытия). Тогда, складывая указанные выше вероятности и учитывая то обстоятельство, что для достаточно малого значения h вероятность реализации в данном интервале одновременно двух и боле событий можно положить равной нулю, будем иметь для n>0.

Для n=0 вероятность того, что в интервале h не произойдет ни одного выбытия, естественно, равняется единице. Следовательно,.

Перенесем теперь (в предыдущем соотношении) рn в левую часть и разделим левую и правую части полученного в результе уравнения на величину h. Переходя к пределу h0, получим следующее дифференциальные уравнения:

Заметим, что при выводе этой системы дифференциально-разностных уравнений не было сделано никаких аппроксимаций. В этой связи подчеркнем, что аппроксимацию, которая заключается в замене е-h величиной (1-h), не следует принимать в расчет, поскольку при предельном переходе h0 все слагаемые высоко порядка (h2 и выше) все равно обратились бы в нуль.

Решение приведенных выше дифференциально-разностных уравнений позволяет в принципе найти значения всех вероятностей рn (t), которые описывают стохастический процесс, не обязательно являющийся (в общем случае) стационарным. Заметим, что как метод получения такого решения, так и само решение выглядят весьма сложными и громоздкими.

Можно доказать, что стационарное решение существует при t, когда. В предложение, что условие действительно выполняется, нетрудно получить уравнения для стационарного процесса; в этом случае при t необходимо иметь в виду, что р’n (t)0, а рn (t) рn для любого n=0, 1, 2 … В результате будем иметь.

Решение приведенной выше системы уравнений имеет следующий следующий вид:

где. В рассматриваемом случае распределение является геометрическим.

Выражение для LS получается путем элементарных преобразований:

Заметим, что сходимость n обеспечивается за счет выполнения неравенства <1. Используем теперь выведенные ранее формулы, получаем.

Пример. Собранные сведения о режиме функционирования одного из дисплейных классов показывают, что студенты посещают этот класс в соответствии с пуассоновским распределением, а средняя интенсивность прибывающих в класс студентов равна 5 студентов в час. Продолжительность выдачи задания и размещения студента в классе, естественно, различна для каждого студента, но, как показали наблюдения, подчиняются экспоненциальному закону со средним значением, равным 10 мин на одного студента.

Для анализа процесса обслуживания студентов в дисплейном классе с указанными выше операционными характеристиками можно использовать результаты, полученные для модели типа (M/M/1):(GD//); при этом следует считать емкость источника, генерирующего заявки на обслуживание, неограниченной, а помещение, отведенное для ожидающих обслуживания студентов, способно разместить всех прибывших в класс студентов.

В рассматриваемом случае =5 студентов в час, а =60/10=6 студентов в час. Поскольку ==5/6, т. е. меньше единицы, система может функционировать в стационарном режиме. Чтобы иметь представление о том, какое количество ЭВМ необходимо организовать в дисплейном классе, требуется вычислить Lq по формуле.

Однако известно, что Lq интерпретируется как математическое ожидание, так что количество ожидающих обслуживания студентов в произвольно выбранный момент времени может оказаться либо меньше, либо больше четырех. Поэтому следует подойти к решению задачи определения количества ЭВМ для обслуживания прибывших студентов с позиции «разумного» обеспечения местами для работы, например, задавшись целью обеспечить одновременно работой 80% прибывающих студентов. Это эквивалентно выполнению условия.

где sподлежащее определению количество ЭВМ.

Используя формулу для рn, можно записать.

Учитывая, что получаем S+10,2. Прологарифмировав обе части данного неравенства (при =5/6), будем иметь.

Поскольку значение log (5/6) отрицательное, деление на log (5/6) правой и левой частей приведенного выше неравенства изменяет знак неравенства, т. е. s получаем.

Таким образом, для одновременного размещения по крайней мере 80% студентов минимальное число ЭВМ должно быть приблизительно в два раза больше найденного выше значения Lq.

Можно получить и другую важную информацию о функционировании дисплейного класса. Нетрудно вычислить долю времени, в течение которого дисплейный класс вынуждено бездействует. Для этого достаточно определить вероятность такого события равняется р0=1−0,17; т. е. можно утверждать, что доля времени, в течение которого дисплейный класс будет простаивать, составляет 17%. С другой стороны, для оценки времени размещения студента в дисплейном классе необходимо знать сколько времени студент ожидает освобождение компьютера. В данном случае значение этого показателя, обозначенного через WS, равняется.

Как видно, значение WS оказалось большим, так что возникает необходимость изыскать ресурсы для увеличения скорости обслуживания.

Найдем вероятность того, что пришедший студент будет вынужден ждать, пока его не обслужат. Так как вероятность того, что дисплейный класс будет пустовать равно 0,17, то необходимая вероятность равна 1-р0=0,83.

Если параметр будет 12 мин, то система перейдет из стационарной в неустановившуюся, так как очередь со временем будет увеличиваться. Такое же явление будет получено, если интенсивность потока будет больше 5, а скорость обслуживания останется равной 10 мин. По этому нужно стремиться к уменьшению времени обслуживания.