История развития арифметики

Развитие элементов мыслительной деятельности, которые лежат в основе процесса счета, проходит ряд промежуточных этапов. К ним относятся:

• — умение узнавать один и тот же предмет и различать предметы в подлежащей счету их совокупности;
• — умение устанавливать исчерпывающее разложение этой совокупности на элементы, отличимые друг от друга и вместе с тем равноправные при счете (пользование именованной «единицей» счета);
• — умение устанавливать соответствие между элементами двух множеств вначале непосредственно, а затем сопоставлением их с элементами раз и навсегда упорядоченной совокупности объектов, т. е. совокупности объектов, расположенных в определенной последовательности.

Элементами такой стандартной упорядоченной совокупности становятся слова (числительные), применяемые при счете предметов любой качественной природы и отвечающие образованию отвлеченного понятия числа. При самых различных условиях можно наблюдать сходные особенности постепенного возникновения и усовершенствования перечисленных навыков и отвечающих им арифметических понятий.

Сначала счет оказывается возможным лишь для совокупностей из сравнительно небольшого числа предметов, при этом орудием счета служат зарубки на дереве («бирочный» счет), счетные камешки, четки, пальцы рук и т. п., а также множества, заключающие постоянное число элементов, например: «глаза» — как синоним числительного «два», кисть руки («пясть») — как синоним и фактическая основа числительного «пять» и т. п.

Предполагается, что в далеком прошлом подобным образом считали наши предки.

Лет сто пятьдесят назад американские индейцы при счете пользовались пальцами рук и ног. Вместо один говорили «палец» и обязательно показывали его, вместо два говорили «два пальца» и показывали их: пять у них — «рука», шесть — «рука и один палец» и т. д.

Эскимосы из Северной Канады в 19 веке вместо 20 говорили «человек» (по числу пальцев), вместо 100 — «пять человек».

Некоторые индейские племена в Бразилии считали только до пяти, т. е. до числа пальцев на одной руке. А все, что больше пяти, у них «много».

До недавнего времени в Австралии были племена, у которых для счета употреблялись только два числительных: один и два. Другие числа составлялись из этих. Например, 3 = два-один, 4 = два-два, 5 = два-два-один и т. д.

Словесный порядковый счет (раз, два, три и т. д.), прямую зависимость которого от пальцевого счета (последовательное произнесение названий пальцев, частей рук) в некоторых случаях можно проследить непосредственно, связывается в дальнейшем со счетом групп, содержащих определенное число предметов. Это число образует основание соответствующей системы счисления (обычно в результате счета по пальцам двух рук), равное 10. Встречаются, однако, и группировки по 5, по 20 (французское 80 — «quatre-vingt» = 4*20), по 40, по 12 («дюжина»), по 60 и даже по 11 (Новая Зеландия). В эпоху развитых торговых отношений способы нумерации (как устной, так и письменной) естественно были очень схожи у общавшихся между собой племен и народностей. Именно это обстоятельство сыграло решающую роль в установлении и распространении применяемой в настоящее время системы нумерации (счисления), принципа поместного (поразрядного) значения цифр и способов выполнения арифметических действий. По-видимому, аналогичными причинами объясняется и общеизвестное сходство имен числительных в различных языках, например: два — duo (латин.), two (англ.), dva (санскр.), дэп (греч.).

Знания и навыки по приемам счета и вычислениям накапливались одновременно во многих странах древнего мира (Древнего Востока): Вавилоне, Китае, Индии, Египте.

Источником первых достоверных сведений о состоянии арифметических знаний являются письменные документы Древнего Египта (папирусы математические). Например, египетский папирус Ринда (названный по имени его владельца Г. Ринда) относится к 20 веку до н.э. Папирусы математические — это сборники задач с указаниями их решений, правил действий над целыми числами и дробями со вспомогательными таблицами без каких бы то ни было пояснений теоретического характера. Решение некоторых задач производится по существу с помощью составления и решения уравнений; встречаются также арифметические и геометрические прогрессии.

О довольно высоком уровне арифметической культуры вавилонян за 2−3 тыс. лет до н.э. позволяют судить клинописные математические тексты. Письменная нумерация вавилонян в клинописных текстах представляет собой своеобразное соединение десятичной системы (для чисел, меньших 60) с шестидесятеричной, с разрядными единицами 60, 60І, и т. д. Наиболее существенным показателем высокого уровня арифметики является употребление шестидесятеричных дробей с распространением на них той же системы нумерации, аналогично современным десятичным дробям. Техника выполнения арифметических действий у вавилонян, в теоретическом отношении аналогичная обычным приемам в десятичной системе, осложнялась необходимостью прибегать к обширным таблицам умножения (для чисел от 1 до 59). В сохранившихся клинописных материалах, представлявших собой, по-видимому, учебные пособия, находятся, кроме того, и соответствующие таблицы обратных чисел (двузначные и трехзначные, т. е. с точностью до 1/60І и 1/60і), применявшиеся при делении.

Накопленные в странах Древнего Востока сокровища математических знаний были развиты и продолжены учеными Древней Греции.

У древних греков практическая сторона арифметики не получила дальнейшего развития; применявшаяся ими система письменной нумерации с помощью букв алфавита была значительно менее приспособлена для выполнения сложных вычислений, нежели вавилонская (показательно, в частности, что древнегреческие астрономы предпочитали пользоваться шестидесятеричной системой). С другой стороны, древнегреческие математики положили начало теоретической разработке арифметики в части, касавшейся учения о натуральных числах, теории пропорций, измерения величин и — в неявной форме — также и теории иррациональных чисел.

Много имен ученых, занимавшихся арифметикой в античном мире, сохранила нам история — Анаксагор и Зенон, Евклид, Архимед, Эратосфен и Диофант. Яркой звездой сверкает здесь имя Пифагора (6 в. до н.э.).

В «Началах» Евклида (3 в. до н.э.) имеются сохранившие свое значение и до сих пор доказательство бесконечности числа простых чисел, основные теоремы о делимости, алгоритмы для нахождения общей меры двух отрезков и общего наибольшего делителя двух чисел (алгоритм Евклида), доказательство несуществования рационального числа, квадрат которого равен 2 (иррациональность числа v2), и изложенная в геометрической форме теория пропорций. К рассматривавшимся теоретико-числовым задачам относятся задачи о совершенных числах (Евклид), пифагоровых числах, а также — уже в более позднюю эпоху — алгоритмы для выделения простых чисел (решето Эратосфена) и решения ряда неопределенных уравнений 2-й и более высоких степеней (Диофант).

Существенную роль в образовании понятия бесконечного натурального ряда чисел сыграл «Псаммит» Архимеда (3 век до н.э.), в котором показывается возможность именовать и обозначать сколь угодно большие числа. Труды Архимеда свидетельствуют о довольно высоком искусстве в получении приближенных значений искомых величин; так, им описано извлечение корня из многозначных чисел, нахождение рациональных приближений для иррациональных чисел.

Римляне не продвинули вперед технику вычислений, оставив, однако, дошедшую до нашего времени систему нумерации (римские цифры), мало приспособленную для производства действий и применяемую в настоящее время почти исключительно для обозначения порядковых чисел.

Трудно проследить преемственность в развитии математики в отношении предыдущих, более древних культур; однако, чрезвычайно важные этапы в развитии арифметики связываются с культурой Индии, окавшей влияние как на страны Передней Азии и Европы, так и на страны Дальнего Востока (Китай, Япония). Помимо применения алгебры к решению задач арифметического содержания, наиболее существенная заслуга индийцев — введение позиционной системы счисления (с применением десяти цифр, включая нуль для обозначения отсутствия единиц в каком-либо из разрядов), сделавшей возможной разработку сравнительно простых правил выполнения основных арифметических действий.

Человек, умевший хорошо вычислять, был в Индии славен и почитаем. Индийский народ хранит легенды и обычаи, свидетельствующие об отношении народа к математике и к людям, овладевшим ею. Так, например, по древнему обычаю отец только тогда соглашался отдать дочь замуж, когда жених мог доказать свое искусство в спорте, письме и арифметике. Подобных обычаев было немало.

В средние века развитие арифметики также связано с Востоком: Индией, странами арабского мира и Средней Азии. Ученые средневекового Востока не только сохранили в переводах наследие древнегреческих математиков, но и содействовали распространению и дальнейшему развитию достижений индийцев, от которых пришли к нам цифры, которыми мы пользуемся, нуль и позиционная система счисления. Методы выполнения арифметических действий, в значительной мере еще далекие от современных, но уже использующие преимущества позиционной системы счисления, с 10 века стали постепенно проникать в Европу, раньше всего в Италию и Испанию.

Благодаря развитию торговли и влиянию восточной культуры начиная с 13 века повышается интерес к арифметике и в Европе. Первая печатная книга по арифметике была издана в Италии в 1478 году.

Примерно с 16 века развитие чисто арифметических вопросов влилось в русло алгебры. Начиная с этого времени основные арифметические правила осознаются уже окончательно с позиций алгебры.

Сравнительно медленный прогресс арифметики в средние века сменяется к началу 17 века быстрым усовершенствованием приемов вычисления в связи с возросшими практическими запросами к технике вычислений (задачами мореходной астрономии, механики, усложнившиеся коммерческие расчеты и т. п.). Дроби со знаменателем 10, употреблявшиеся еще индийцами (при извлечении квадратных корней) и неоднократно обращавшие на себя внимание и европейских ученых, применялись сначала в неявной форме в тригонометрических таблицах (в форме целых чисел, выражающих длины линий синуса, тангенса и т. д. при радиусе, принятом за 10 в пятой степени). Впервые (1427 г.) подробно описал систему десятичных дробей и правила действий над ними аль-Каши, работавший в Самаркандской обсерватории Улугбека. Запись десятичных дробей, по существу совпадающая с современной, встречается в сочинениях С. Стевина (1585 г.) и с этого времени получает повсеместное распространение. К той же эпохе относится изобретение логарифмов в начале 17 века Дж. Непером. В начале 18 века приемы выполнения и записи вычислений приобретают современную форму.

В России до начала 17 века применялась нумерация, сходная с греческой; хорошо и своеобразно была разработана система устной нумерации, доходившая до 50-го разряда. Из русских арифметических руководств начала 18 века наибольшее имела «Арифметика» Л. Ф. Магницкого (1703 г.). Наряду с вопросами нумерации, изложением техники вычисления с целыми числами и дробями (в том числе десятичными) и соответствующими задачами в этом руководстве содержатся и элементы алгебры, геометрии и тригонометрии, а также ряд практических сведений, относящихся к коммерческим расчетам и задачам навигации. Изложение арифметики приобретает уже более или менее современный вид у Л. Эйлера и его учеников.