Принятие решений в условиях риска и неопределенности

Элементы неопределенности, присущие функционированию и развитию многих экономических процессов, обуславливают появление ситуаций, не имеющих однозначного исхода (решения).

Это обстоятельство усложняет процесс принятия решений в условиях неопределенности и предопределяет необходимость использования соответствующих методов, которые дают возможность по заданным целям и ограничениям получить приемлемые для практики (оптимальные или рациональные) управленческие решения.

Как известно, в зависимости от степени неопределенности различают ситуации риска и ситуации неопределенности. При этом ситуация риска, являясь разновидностью неопределенной ситуации, характеризуется тем, что в результате каждого действия могут быть получены различные результаты, вероятность которых известна или может быть оценена.

На методы принятия решений в условиях риска существенным образом накладывает отпечаток многообразие критериев и показателей, посредством которых оценивается уровень риска.

В самом общем виде постановка и решение задачи оптимизации решений, принимаемых в условиях риска, может быть представлена следующим образом:

• § имеется m возможных решений Р₁, Р₂,…, Р_m;
• § условия обстановки точно неизвестны, однако о них можно сделать n предположений О₁, О₂,…, O_n;
• § результат, так называемый выигрыш а_ij., соответствующий каждой паре сочетаний решений Р и обстановки О может быть представлен в виде таблицы эффективности (табл. 1).

Наличие выигрышей, являющихся показателями эффективности решений при различных условиях обстановки, позволяет определить потери в результате принятия неоптимальных решений — в случае, когда ожидаемое условие обстановки (имеющее вероятностный характер) не произошло.

Порядок определения потерь будет рассмотрен нами в дальнейшем в процессе решения конкретной задачи.

Табл. 1. Таблица эффективности.

При выборе решения в качестве критерия риска используется приведенный ранее показатель:

.

Предпочтение отдается решению, имеющему наименьший средневзвешенный показатель риска, определяемый как сумма произведений вероятностей различных вариантов обстановки на соответствующее им значение потерь:

.

Рассмотрим следующую задачу.

Пусть, например, предприятие готовится к переходу на новые виды продукции, при этом возможны четыре решения Р₁, Р₂, Р₃, Р₄ каждому из которых соответствует определенный вид выпуска или их сочетание.

Результаты принятых решений существенно зависят от обстановки, которая в значительной мере неопределенна.

Пусть варианты обстановки характеризует структура спроса на новую продукцию, которая может быть трех типов: О₁, О₂, О₃.

Выигрыш, характеризующий относительную величину результата (доходы, прибыль и т. п.), соответствующий каждой паре сочетаний решений Р и обстановки О, представлен в табл. 2.

Таблица 2. Эффективность выпуска новых видов продукции.

Из табл. 2 видно, что при обстановке О₃ решение Р₂ в три раза лучше, чем Р₃, а решение Р ₁ неодинаково для обстановки О₁ и О₃ и т. д.

Необходимо найти такую стратегию (линию поведения) — решение Р, которая по сравнению с другими является наиболее выгодной (целесообразной).

Для нахождения таких решений применяется специальный показатель потерь, который свидетельствует, насколько выгодна применяемая нами стратегия в данной конкретной обстановке с учетом степени ее неопределенности. Потери рассчитываются как разность между ожидаемым результатом действий при наличии точных данных обстановки и результатом, который может быть достигнут, если эти данные неопределенны.

Например, если точно известно, что наступит обстановка О₁, следует принимать решение Р₄, которое в данной обстановке обеспечит наибольший выигрыш — 0,80. Но поскольку точно неизвестно, какую обстановку ожидать, полагая, что наступит обстановка О₂ можно остановиться на решении Р_3, которое при данной обстановке дает выигрыш 0,82. Если мы приняли решение Р₃ (в надежде на обстановку О₂), а наступила обстановка О ₁, то мы получаем выигрыш, равный 0,35 (вместо 0,80 при принятии решения Р₄). Таким образом, потери при принятии решения Р ₃ и наступлении обстановки О₁, (Н₃₁) составляют 0,80−0,35=0,45.

В общем случае потери Н_ij, соответствующие каждой паре сочетаний решений Р_i и обстановки Q_j, определяются как разность между максимальным выигрышем и выигрышем по конкретному решению при данной обстановке.

Так, в соответствии с данными табл. 3, при обстановке О ₁ максимальный выигрыш составляет 0,80, а выигрыш по решениям Р₁ — Р₄ составляет соответственно: 0,25; 0,75; 0,35; 0,80.

Тогда при обстановке О₁ потери по:

решению Р₁ (Н₁₁) составят 0,80−0,25 = 0,55;

решению Р₂ (Н₂₁) составят 0,80−0,75 = 0,05;

решению Р₃ (Н₃₁) составят 0,80−0,35 = 0,45;

решению Р₄ (Н₄₁) составят 0,80−0,80 = 0,00.

Полученные таким образом потери для всех решений при всех вариантах обстановки представлены в табл. 3.

Приведенная таблица потерь существенно дополняет таблицу эффективности.

Так, основываясь на таблице эффективности, можно прийти к выводу, что решение Р₁ при обстановке О₂ равноценно решению Р₄ при обстановке О₃. Однако анализ указанных решений с использованием данных таблицы 3 показывает, что они составляют соответственно 0,47 и 0,05.

Такая существенная разница объясняется тем, что способ решения Р₁ при обстановке О₂ имеет эффективность 0,35, в то время как при этой же обстановке можно получить эффективность до 0,82.

Таблица 3. Величина потерь при выпуске новых видов продукции.

Решение Р₄, при обстановке О₃ реализует почти всю возможную эффективность 0,35 из 0,40. Следовательно, решение Р₁, при обстановке О₂ значительно (почти в 10 раз) хуже, чем решение Р₄ при обстановке О_3.

Так, пусть вероятность первого варианта обстановки Р₁= 0,5, второго — 0,3 и третьего — 0,2, тогда показатель риска для каждого из решений составит:

R₁ = 0,55 * 0,5 + 0,47 * 0,30 + 0,00 * 0,2 = 0,416.

R₂= 0,05 * 0,5 + 0,62 * 0,3 + 0,10 * 0,2 = 0,231.

R₃ = 0,45 * 0,5 + 0,00 * 0,3 + 0,30 * 0,2 = 0,285.

R₄ = 0,00 * 0,5 + 0,72 * 0,3 + 0,05 * 0,2 = 0,226.

Следовательно, решение Р₄ для данных условий является наименее рискованным.

Такой подход к принятию решений в условиях риска позволяет получить лишь вероятностные (средневзвешенные) результаты анализа возможных вариантов. В отдельных случаях, в силу вероятностного характера экономических процессов, возможно получение результатов, отличных от планируемых (принятых на основе рассмотренного подхода). Вместе с тем использование рассмотренного метода значительно повышает степень достоверности оценок и результатов по сравнению с подходами к принятию решений без количественной оценки вариантов. Можно с уверенностью сказать, что при использовании указанного подхода улучшение результатов достигается посредством сокращения количества неудачных исходов в числе многократных хозяйственных циклов.

При принятии решений в условиях неопределенности, когда вероятности возможных вариантов обстановки неизвестны, могут быть использованы ряд критериев, выбор каждого из которых, наряду с характером решаемой задачи, поставленных целевых установок и ограничений, зависит также от склонности к риску лиц, принимающих решения.

К числу классических критериев, которые используются при принятии решений в условиях неопределенности, можно отнести:

• — принцип недостаточного обоснования Лапласа;
• — максиминный критерий Вальда;
• — минимаксный критерий Сэвиджа.
• — критерий обобщенного максимина (пессимизма-оптимизма) Гурвица.

Принцип недостаточного обоснования Лапласа используется в случае, если можно предположить, что любой из вариантов обстановки не более вероятен чем другой. Тогда вероятности обстановки можно считать равными и производить выбор решения так же, как и в условиях риска — по минимуму средневзвешенного показателя риска.

Т. е. предпочтение следует отдать варианту, который обеспечивает минимум в выражении:

.

где n — количество рассматриваемых вариантов обстановки/.

Рассмотрим выбор вариантов в условиях неопределенности с использованием принципа недостаточного обоснования Лапласса на исходных данных приведенного в таблице 2.

При учете трех вариантов обстановки (n = 3) вероятность каждого варианта составляет 0,33.

Тогда, с учетом приведенных данных о потерях для каждой пары сочетаний решений Р и обстановки О (табл. 3) и вероятности каждого варианта обстановки, равной 0,33, средневзвешенный показатель риска для каждого из решений будет составлять:

R₁ = 0,55 * 0,33 + 0,47 * 0,33 + 0,00 * 0,33 = 0,3366.

R₂= 0,05 * 0,33 + 0,62 * 0,33 + 0,10 * 0,33 = 0,2541.

R₃ = 0,45 * 0,33 + 0,00 * 0,33 + 0,3 * 0,33 = 0,2475.

R₄= 0,00. 0,33 + 0,72 * 0,33 + 0,05 * 0,33 = 0,2541.

В качестве оптимального следует выбрать вариант решения Р₃ Как видим, в исходном примере наилучшим с точки зрения принятого критерия (средневзвешенного показателя риска) было решение Р₄.

Таким образом, изменение вероятности наступления вариантов обстановки привело к изменению варианта решения, которому следует отдать предпочтение.

Максиминный критерий Вальда используется в случаях, когда требуется гарантия, чтобы выигрыш в любых условиях оказывался не менее, чем наибольший из возможных в худших условиях.

Наилучшим решением будет то, для которого выигрыш окажется максимальным из всех минимальных при различных вариантах условий.

Критерий, используемый при таком подходе, получил название максимина. Его формализованное выражение:

.

Как видим, в качестве исходных данных при выборе вариантов решений по критерию Вальда являются выигрыши а_ij, соответствующие каждой паре сочетаний решений Р и обстановки О.

Воспользуемся приведенным ранее примером (в частности, матрицей эффективности решений, представленной в табл. 2) для иллюстрации выбора оптимального варианта по критерию Вальда.

Минимальная отдача по вариантам выделена «красным» шрифтом в таблице 4.

Из табл. 4. следует, что максимальный из минимальных результатов равен 0,25 и, следовательно, предпочтение необходимо отдать варианту Р ₁ обеспечивающему этот результат.

Это максимальный гарантированный результат (выигрыш), который может быть получен в условиях имеющихся исходных данных. Выбрав решение Р₁ мы независимо от вариантов обстановки получим выигрыш не менее 0,25. При любом другом решении, в случае неблагоприятной обстановки, может быть получен результат (выигрыш) меньше 0,25.

Таблица 4. Эффективность выпуска новых видов продукции.

Так, при выборе решения Р₂ полученный выигрыш, в зависимости от наступившего варианта обстановки, будет колебаться от 0,2 до 0,75. Для решений Р₃ и Р₄ границы, в которых будет колебаться выигрыш, составят соответственно 0,10 0,82 и 0,20 0,80.

Данный критерий прост и четок, но консервативен в том смысле, что ориентирует принимающего решение на слишком осторожную линию поведения. Так, этот критерий никак не учитывает, что в случае принятия решения Р₁, (т.е. при ориентации на выигрыш 0,25), максимальный выигрыш не превышает 0,4. В то время как выбирая, например, решение Р₄, при гарантированном выигрыше 0,20 в случае благоприятной обстановки можно получить выигрыш, равный 0,80.

Поэтому критерием Вальда, главным образом, пользуются в случаях, когда необходимо обеспечить успех при любых возможных условиях.

Минимаксный критерий Сэвиджа используется в тех случаях, когда требуется в любых условиях избежать большого риска.

В соответствии с этим критерием предпочтение следует отдать решению, для которого потери максимальные при различных вариантах условий окажутся минимальными. Его формализованное выражение:

.

где Н_ij, — потери, соответствующие i-му решению при j-м варианте обстановки.

Этот критерий также относится к разряду осторожных. Однако, в отличие от критерия Вальда, который направлен на получение гарантированного выигрыша, критерий Сэвиджа минимизирует возможные потери.

Здесь в качестве исходных данных при выборе решений выступают потери (Н_ij), соответствующие каждой паре сочетаний решений Р и обстановки О.

Для иллюстрации выбора по критерию Сэвиджа воспользуемся приведенным выше примером (в частности, матрицей потерь).

Максимальные потери по вариантам выделены «жирным» шрифтом в таблице 5.

Из табл. 5. следует, что минимальные из максимальных потерь составляют 0,45 и, следовательно, предпочтение необходимо отдать варианту Р₃ обеспечивающему эти потери.

Выбор варианта решения Р₃ гарантирует, что в случае неблагоприятной обстановки потери не превысят 0,45. В то время как для решений Р₁, Р₂ и Р₄ в случае неблагоприятной обстановки, потери составят соответственно: 0,55; 0,62 и 0,72.

Таблица 5. Величина потерь при выпуске новых видов продукции.

Из табл. 5. следует, что минимальные из максимальных потерь составляют 0,45 и, следовательно, предпочтение необходимо отдать варианту Р₃ обеспечивающему эти потери.

Выбор варианта решения Р₃ гарантирует, что в случае неблагоприятной обстановки потери не превысят 0,45. В то время как для решений Р₁, Р₂ и Р₄ в случае неблагоприятной обстановки, потери составят соответственно: 0,55; 0,62 и 0,72.

Основным исходным допущением этого критерия является предположение о том, что на наступление вариантов обстановки оказывают влияние действия разумных противников (конкурентов), интересы которых прямо противоположны интересам лица, принимающего решение. Поэтому, если у противников (конкурентов) имеется возможность извлечь какие-либо преимущества, то они это обязательно сделают. Это обстоятельство заставляет лицо, принимающее решение, обеспечить минимизацию потерь вследствие этих действий.

Критерий обобщенного максимина (пессимизма — оптимизма) Гурвица используется, если требуется остановиться между линией поведения в расчете на худшее и линией поведения в расчете на лучшее.

В этом случае предпочтение отдается варианту решений, для которого окажется максимальным показатель G, определяемый из выражения:

.

где k — коэффициент, рассматриваемый как показатель оптимизма (0 k 1), при k = 0 — линия поведения в расчете на лучшее, при к = 1 — в расчете на худшее;

а_ij — выигрыш, соответствующий i-му решению при j-м варианте обстановки.

Нетрудно убедиться, что при k = 1 критерий Гурвица совпадает с критерием Вальда, т. е. ориентация на осторожное поведение. При k = 0 — ориентация на предельный риск, т.к. большой выигрыш, как правило, сопряжен с большим риском. Значения k между 0 и 1 являются промежуточными между риском и осторожностью и выбираются в зависимости от конкретной обстановки и склонности к риску лица, принимающего решение.

В таблице 6. приведены значения показателя G для различных вариантов решений в зависимости от величины коэффициента k.

Как видим, с изменением коэффициента k изменяется вариант решения, которому следует отдать предпочтение.

Нами рассмотрены наиболее общие (классические) методы, которые позволяют обосновывать и принимать решение при неопределенности экономических данных и ситуаций, недостатке фактической информации об окружающей среде и перспективных ее изменений.

Следует отметить, что разработанные экономической теорией и практикой, способы и приемы решения задач в условиях риска и неопределенности не ограничиваются перечисленными методами. В зависимости от конкретной ситуации в процессе анализа используются и другие методы, способствующие решению задач, связанных с минимизацией риска.

Таблица 6. Значение показателя G для различных k.

Некоторые из них, в частности, использование среднеквадратического отклонения () и коэффициента вариации (V) как меры риска будут рассмотрены ниже.