Принцип Эджворта--Парето. 
Концептуальные и математические основы системной методологии принятия решений

Далее понадобятся два понятия, непосредственно связанные с множеством возможных вариантов Y .

Определение 3. Множество парето-оптимальных вариантов (множество Парето) обозначается P (Y) и определяется равенством:

P (Y) = {y* Y| не существует yY, такого, что yy*} .

Определение 4. Множество недоминируемых вариантов обозначим Ndom (Y) и определим равенством:

Ndom (Y) = {y*Y| не существует yY, y? y*, такого, что Sel ({y, y*}) = {y}}.

Теорема (принцип Эджворта—Парето). Для любой функции выбора Sel (), подчиненной аксиомам 1−3, справедливо включение:

Sel (Y) P (Y) .

Доказательство. Зафиксируем произвольную функцию выбора Sel (), удовлетворяющую аксиомам 1−3.

Сначала установим справедливость включения:

Z-Sel (Y) Ndom (Y).

С этой целью произвольно выберем вариант y? Sel (Y) и предположим противное: y?? Ndom (Y). Тогда по определению 4 найдется такой вариант y? Y, что y?? y? и Sel ({y?, y??}) = {y?}. Благодаря аксиоме 3 последнее равенство влечет y?? Sel (Y). Это противоречит начальному допущению y?? Sel (Y). Таким образом, включение (4) доказано.

Теперь проверим включение.

Ndom (Y) P (Y).

Для этого произвольно выберем вариант y Ndom (Y). Допустим противное: y P (Y). Отсюда по определению 3 следует, что найдется такой вариант y? Y, для которого верно соотношение y? y. В условиях доказываемой теоремы благодаря лемме справедлива аксиома Парето. На основании этой аксиомы из соотношения y? y вытекает равенство Sel ({y, y?}) = {y?}, причем y? y?. Следовательно, yNdom (Y). Полученное не совместимо с начальным предположением yNdom (Y). Таким образом, включение (5) выполнено. Из (4)-(5) немедленно следует (3).

Теорема доказана Замечание. Как указано ранее, в (3) считается, что Sel (Y)? .

Теорему 1 можно выразить следующим образом: произвольный выбор из множества возможных вариантов, подчиненный аксиомам 1−3, должен осуществляться в пределах множества Парето.

В целом требования, накладываемые аксиомами 1−3 на характер осуществляемого выбора, можно интерпретировать как разумное поведение лица, принимающего решение (ЛПР) в процессе выбора. Поэтому согласно доказанной теореме принцип Эджворта — Парето всегда выполняется, если поведение ЛПР разумно. А поскольку именно разумное поведение является наиболее распространенным, то этим обстоятельством можно объяснить чрезвычайно широкое и успешное применение «наивного» принципа Эджворта — Парето в принятии решений, теории игр, математической экономике и других областях, когда в любой задаче многокритериального выбора поиск наилучшего решения предлагается ограничить лишь пределами множества Парето.