Кинетическое уравнение Больцмана

Рассмотрим одноатомный идеальный разреженный газ. Состояние его молекул будем определять тремя координатами г (x, y₉z)

и тремя компонентами импульса р(р_х9р_у9р_х). Число частиц с координатами, лежащими в интервале от г до г + dr и импульсами в интервале от р до р + dp можно записать в виде.

Условие нормировки

указывает, что полное число частиц в газе равно N.

В результате столкновений частиц газа друг с другом, их импульсы изменяют свои значения, соответственно меняется и число частиц в элементе фазового объёма dr. Можно сказать, что частицы постоянно входят в выделенный элемент фазового объёма и выходят из него. Так как число входящих или выходящих частиц пропорционально величине объёма, то можно записать, что.

где hdT равно числу частиц, входящих в единицу времени в элемент объёма dГ, a adT — соответственно выходящих из него. Учитывая соотношение (8.8), получим.

Величину b-a = I(/) по причине, которая станет понятна ниже, называют интегралом столкновений. Найдём для нее явное выражение. Начнём с вычисления величины а. Для этого заметим следующее. Частица с импульсом р (из общего числа частиц cln) за единицу времени столкнётся со всеми частицами, имеющими импульс pi и находящимися в цилиндре, высота которого численно равна и_отн = |v, — v|, а площадь основания равна do, где do = o[a, v_()nm)dCl — дифференциальное сечение рассеяния — величина, определяющая число частиц, движущихся со скоростью v_omH, имеющих прицельное расстояние, а и рассеянных в единицу времени в элементе телесного угла dCl.

Число же частиц, находящихся в единице объема и имеющих импульс в интервале от pi до pi + dp равно f (p_t, r, t)dp_t. Следовательно, число столкновений, которые испытывает одна частица с импульсом р определяется произведением v_onMdcf (p_l, r, t)dp_i. Уможив это число на dn — число частиц с импульсом р получим полное число парных столкновений, происходящих за единицу времени между частицами с импульсами р и частицами с импульсами pi.

Столкновение частицы с импульсом р приводит к изменению ее импульса, при этом импульс р| второй частицы может быть любым. Поэтому, чтобы получить интересующую нас величину а, нужно проинтегрировать последнее равенство по проекциям вектора pi и значениям телесного угла Q. Тогда.

Учитывая, что dpdr = dr, получим окончательно,.

Для вычисления величины b рассмотрим столкновения типа (р₂, р₃) —> (p2>Pi)> то есть такие столкновения частиц с импульсами р₂ и рз, в результате которых частица с импульсом р₃ приобретает импульс, равный р|. Понятно, что эти столкновения увеличивают число частиц в объёме dT. Число таких столкновений в единицу времени равно.

Воспользуемся теперь гем обстоятельством, что столкновения типа (р₂, рз) -> (р₂, р 1) являются обратными по отношению к тем столкновениям, которые рассматривались при вычислении а. Поэтому можно считать, что v'_omH = v_omH, dp₂dp3 ⁼ dpdp и а' = а. Тогда выражение (8.13) примет вид.

Интегрируя это соотношение по pi и Q, получим для искомой величины b следующий результат.

С учетом полученных выражений (8.12) и (8.14) уравнение (8.11) принимает вид.

Соотношение (8.15) называют кинетическим уравнением Больцмана.

Часто оказывается полезной приближенная форма этого уравнения. Для её получения заметим, что если функция /мало отличается от своего равновесного значения f₀ и время релаксации системы т также мало, то.

и уравнение Больцмана принимает вид.

Его часто называют т-приближением уравнения Больцмана.

§ 3. ⁽J/-теорема Больцмана Рассмотрим однородный идеальный газ, представляющий замкнутую систему. В силу однородности газа с//дг = 0, а в силу его замкнутости и F равно нулю. Следовательно, уравнение Больцмана (8.15) для такого газа будет иметь вид.

Введём функцию И, которая в неравновесных системах играет ту же роль, что и энтропия, определив её равенством.

Продифференцируем выражение (8.18) по времени:

Поскольку In х — монотонно возрастающая функция, то произведение (лг->')(1пл—1п у) будет неотрицательным при любых значениях переменных л* и у. Поэтому подынтегральная функция в (8.20) — положительно определённая величина и, следовательно,.

Таким образом, мы приходим к выводу о том, что функция Я, как и энтропия, может только возрастать. Согласно своему определению (8.17), сама величина Я отрицательна, поэтому её максимальное значение равно нулю. Из выражения (8.20) следует, что максимальное значение Я будет достигнуто при выполнении равенства

Вспоминая соотношения (8.12) и (8.14), нетрудно видеть, что соотношение (8.21) будет справедливо тогда, когда прямые процессы рассеяния частиц газа полностью уравновесят обратные, то есть в условиях детального равновесия. Итак, если идеальный газ находится в неравновесном состоянии, то, в результате столкновений его молекул, он обязательно перейдёт в равновесное состояние. Существенно, что процесс перехода осуществляется необратимым образом, поскольку функция Я не может убывать.