Метод сведения линейной системы к одному уравнению более высокого порядка

(Этот метод применим как для однородной, так и для неоднородной системы линейных дифференциальных уравнений.).

Один из методов интегрирования линейной системы заключается в сведении системы к одному уравнению n-ого порядка с одной неизвестной функцией. Продемонстрируем это на примере системы двух уравнений.

(6).

Дифференцируя (по x) обе части первого уравнения системы (6), находим:

откуда, заменяя производные y1', y2' их выражениями из самой системы, имеем:

.

Группируя в правой части, получим уравнение вида:

(7).

где коэффициенты b1, b2 и d1 определенным образом выражаются через коэффициенты aij и q1 и их производные. Комбинируя уравнение (7) с первым уравнением системы (6), получим:

(8).

Предположим, что в рассматриваемой области изменения x определитель:

.

отличен от нуля. Тогда систему (8) можно решить относительно y1 и y2, т. е. выразить y1и y2 через y'1 и y"2.

В результате приходим к уравнениям вида:

(9).

.(10).

Первое из них представляет собой линейное дифференциальное уравнение второго порядка с одной неизвестной функцией y1(t). Заметим, что если в исходной системе (6) все коэффициенты aij постоянны, то уравнение (9) также является уравнением с постоянными коэффициентами.