Закат греческой математики

Во 2 веке до н.э. расцвет греческой науки прекратился. Это было неизбежно: толпу на улицах имперских столиц теперь волновали совсем иные проблемы, чем квадратура круга или движение Марса среди звезд. Математика стала игрой для избранных, и приток талантливой молодежи в ряды ученых сократился. Поэтому уменьшилось число крупных астрономов и геометров, живущих одновременно и побуждающих друг друга к новым открытиям. Теперь юноши постигали науку по книгам, а не по лекциям или письмам действующих исследователей. Эти книги годами или десятилетиями пылились в библиотеках в ожидании достойного читателя. Так исчезло могучее ученое сообщество Эллады; осталась редкая россыпь гениев, не способных жить без научного творчества и способных заниматься им в одиночку.

Самый яркий представитель этого поколения — Гиппарх из Никеи — жил между 190 и 120 годами до н.э. В юности он побывал в Александрии — но не встретил там великих ученых и поселился на острове Родос, построив там астрономическую обсерваторию. Через полвека после смерти Архимеда Гиппарх принял его дело в свои руки. Но подход Гиппарха к математике был несколько иным. Он не придавал большого значения геометрическим построениям и доказательствам, а старался по возможности заменить их расчетами. Так Гиппарх заложил основы алгебры и алгебраической (то есть, вычислительной) астрономии. Это было за 1000 лет до появления слова «алгебра» и за 700 лет до изобретения позиционной записи чисел.

Начал Гиппарх с составления новой карты звездного неба. Используя угловые координаты звезд (введенные Евдоксом), Гиппарх сравнил свою карту с теми, которые были составлены в Афинах и Александрии на два века раньше. Оказалось, что за это время все звезды сдвинулись в одну сторону на один и тот же малый угол. Значит, звездное небо обращается вокруг Земли не равномерно — либо сама Земля вращается вокруг своей оси не равномерно, а покачиваясь, подобно волчку! Итак, сложное движение звезд разлагается в сумму двух равномерных вращений по окружности. Может быть, и планеты движутся так же — но еще сложнее? Попробуем разложить их наблюдаемое движение среди звезд в сумму нескольких равномерных вращений с разными центрами!

Гиппарх был великий вычислитель: он попробовал это сделать, и у него получилось. Так в науке появилась модель эпициклов. Согласно ей, каждая планета укреплена на некой сфере, которая катится по другой сфере, та — по третьей… и так далее, а центр последней сферы равномерно вращается вокруг Земли. Например, для Венеры и Меркурия хватает одного эпицикла: они обращаются вокруг Солнца, а вместе с ним вокруг Земли. Но для Марса, Юпитера и Сатурна требуется несколько промежуточных эпициклов: их центры не отмечены на небе какими-либо яркими точками.

Ответ на второй вопрос математики получили лишь в начале 19 века — когда Шарль Фурье разложил любую периодическую функцию в ряд Фурье из синусов и косинусов. Оказалось, что Гиппарх делал то же самое: он разлагал периодическое движение планет в сумму равномерных круговых движений. Но Гиппарх довольствовался конечным набором слагаемых, обеспечивающим достаточную точность расчетов и предсказаний.

Оценки размеров Солнца и Луны, полученные Аристархом, также не убеждали Гиппарха. Но проверить их стоило — и Гиппарх занялся этим, используя простые геометрические соображения. Эратосфен вычислил диаметр Земли. Находясь на ее поверхности и вращаясь вместе с нею, астроном в течение ночи сдвигается на расстояние, близкое к земному диаметру. Из-за этого смещения астроному кажется, что близкая к нему Луна сдвигается на фоне далеких звезд. При этом одни звезды (заслоненные «вечерней» Луной) становятся видимы ближе к утру, а другие — наоборот. Имея карту неба с точными координатами около 1000 звезд, Гиппарх сумел измерить кажущийся сдвиг Луны за ночь, а вместе с ним — и отношение расстояния до Луны к земному диаметру [24].

Оно равно 30: таков был первый успех вычислительной астрономии в измерении космических расстояний. Следующий крупный успех — измерение расстояний до планет — пришел к астрономам лишь в 17 веке, после появления телескопов и точных маятниковых часов. А для будущей алгебры Гиппарх оставил другое ценное наследство: первые таблицы длин хорд, стягивающих дуги данной угловой меры. Сейчас мы называем их таблицами синусов; но это слово появилось на много веков позже.

Итак, Гиппарх первый подошел к созданию алгебры и тригонометрии. Но основателем алгебры с большей справедливостью можно считать Диофанта из Александрии: он первый начал составлять и решать алгебраические уравнения. Было это в 3 веке н.э. — когда Римская империя переживала первый кризис, а подпольная христианская религия распространилась по всему Средиземноморью. Античная ученость сохранилась лишь на редких островках — вроде Александрийской библиотеки, которая понесла огромный урон еще в 47 году до н.э. Тогда Цезарь пытался возвести Клеопатру на египетский трон; вспыхнула война, пожар уничтожил весь египетский флот и большую часть свитков библиотеки. Но математикам легче восстановить утраченное знание, чем историкам или литераторам. Поэтому в эпоху Диофанта ни одно достижение геометрии еще не было забыто. В арифметике же появилось нечто новoе, неведомое Евклиду и Эратосфену: отрицательные числа.

Диофант уже свободно работал с ними; он знал, что «минус, умноженный на минус, дает плюс». Возможно, что именно он угадал это не очевидное правило — хотя понять его геометрический смысл удалось лишь в 17 веке, когда европейские математики привыкли к комплексным числам. Но понятием нуля и позиционной записью целых чисел Диофант не владел.

Напротив, открытия Гиппарха сохранились не случайно. Ведь астрономия во все века была популярнее математики — ввиду ее родства с неизменно процветающей астрологией. А у Гиппарха нашелся через 300 лет достойный ученик — Клавдий Птолемей. Он составил удачный учебник: «Мегале Математике Синтаксис», где изложил систему Гиппарха со всеми необходимыми обоснованиями. Это пособие приобрело огромную популярность среди астрономов и астрологов, встало вровень с великой книгой Евклида. В переводе с греческого название книги Птолемея звучит: «Правила Великого Учения». Столь длинное название средневековые европейцы сократили до второго слова: Математика, или «Учение». Так мы называем теперь геометрию, арифметику, алгебру и все науки, которые позднее родились на стыке со строгой античной мудростью [25].