Решение линейных систем дифференциальных уравнений

Решение методом сведения линейной системы к одному уравнению более высокого порядка

Решение видоизмененным методом Эйлера

Пример1.

Решение. Составляем характеристическое уравнение:

Или:

.

Находим корни:

Решение системы ищем в виде:

и:

.

Составим систему (3) для корня и определяем и :

или:

Откуда:

.

Полагая, получаем. Таким образом, мы получили решение системы:

Составим далее систему (3) для корня и определяем и :

Откуда и =1, =1. Получаем второе решение системы:

Общее решение системы будет:

Пример 2.

Решение:

Составим характеристическое уравнение матрицы системы:

или:

Находим его корни:

Составим систему (3) для корня и определяем и :

или:

Таким образом:

Откуда:

.

Полагая, получаем .

Таким образом, мы получили решение системы:

Составим далее систему (3) для корня и определяем и :

Откуда и =1, =1.

Получаем второе решение системы:

Общее решение системы будет:

Пример 3.

Решение:

Составим характеристическое уравнение матрицы системы:

Раскрывая определитель, находим:

Составим систему (3) для корня.

одно из которых — следствие двух других. Возьмем, например, первые два уравнения:

Отсюда:

Приняв k=¼, получаем собственный вектор (2;1;-2).

При л=2 имеет систему:

Используя первые два уравнения (третье — их следствие), находим:

Полагая k=1, находим собственный вектор (7;3;-8).

При л=3 имеет систему:

Из последнего уравнения находим Подставляем это значение p1 в первое уравнение и находим:

Приняв, получаем: т. е. собственный вектор (3; 1; -3).

Фундаментальная система решений:

Общее решение записываем в виде:

Решение:

Составляем характеристическое уравнение:

или:

и находим его корни:

Подставляем:

в систему (3) и определяем и :

или:

Откуда:

.

Полагая, получаем:

.

Пишем решение (7):

Подставляя:

в систему (3), находим:

.

Получим вторую систему решений (8):

Перепишем решения:

или:

За системы частных решений можно взять отдельно действительные части и отдельно мнимые части:

.

Общим решением системы будет:

Пример 5.

Решение:

Составляем характеристическое уравнение:

или:

Характеристические числа: л1=1, л2=i, л3= - i.

При л1=1 для определения собственного вектора получаем систему уравнений:

Эта система определяет собственный вектор (1; 1; 0).

При л2=i получаем систему уравнений:

Эта система определяет собственный вектор (1; i; 1-i).

При л3= - i получаем систему уравнений:

Эта система определяет собственный вектор (1; -i; 1+i).

Значению л1=1 соответствуют решения:

Значению л2=i соответствуют решения:

Значению л3= - i соответствуют решения:

Отделяя действительные части, получим решения:

Пример 6.

Решение:

Характеристическое уравнение:

Имеет единственный корень л=2 (кратности 2). Ему соответствует единственный собственный вектор:

.

Поэтому решение в этом случае будем искать в виде:

Подставляя выражения для y1 и y2 в исходную систему, находим.

Отсюда получаем систему:

Решая её, находим:

где P1, P2 — произвольные постоянные.

Пример 7.

Решение:

Составим характеристическое уравнение системы.

Раскрывая определитель, получаем:

Данное уравнение после несложных преобразований принимает вид:

Отсюда находим: (простой корень), ему соответствует собственный вектор:

.

и (корень кратности 2), которому соответствуют два линейно независимых собственных вектора:

.

Следовательно, общее решение системы имеет вид: