Пакет Linalg. 
Использование модуля LinAlg и LinearAlgebra для решения основных задач аналитической геометрии

Пакет линейной алгебры Linalg содержит команды создания матриц и векторов, предлагает большой набор функций для работы со структурой этих объектов, для выполнения матричных и векторных операций и непосредственно для решения задач линейной алгебры: решение систем линейных алгебраических уравнений, нахождение собственных векторов и собственных векторов матрицы, приведение матриц к специальным формам. И все эти действия можно проводить с матрицами и векторами, элементы которых могут быть общими алгебраическими выражениями, получая результаты также виде алгебраических выражений.

Все команды пакета линейной алгебры работают с матрицами и векторами. В Maple матрицей считается двумерный массив, индексы которого изменяются от единицы. Аналогично, вектор — это одномерный массив с изменяющимся от единицы индексом. Определить матрицу или вектор в Maple можно двумя способами: либо с помощью команды array () стандартной библиотеки, или командами matrix () и vector () пакета Linalg.

Наиболее общий синтаксис команды array (), которая позволяет задавать многомерные массивы с индексами, изменяющимися в диапазонах целых чисел, следующий :

array (диапазоны, список опции);

Все параметры необязательны и могут создаваться в произвольном порядке. Параметр диапазоны представляет собой целочисленные диапазоны изменения индексов массивов, задаваемых через запятую, — размерность массива равна количеству заданных диапазонов. Значения элементов массива задаются параметром список в виде списка для одномерных массивов или списка списков для многомерных массивов. В качестве значений параметра опции можно применять symmetric, antisymmetric, indentity, diagonal. Они используются для задания массивов специального вида. Для задания векторов и матриц с помощью этой функции следует указать диапазоны изменения индексов, начинающиеся с единицы:

> with (linalg):

> vec:=array (1.13,[1,2,3,4,5,6,7,8,9,0,11,12,13]);

> matr:=array (1.3,1.3,[[1,2,5],[10,15,0],[3,6,7]]);

приведем более простой пример задания матриц и векторов:

> with (linalg):

> vec:=vector (13,[1,2,3,4,5,6,7,8,9,0,11,12,13]);

> matr:=matrix (3,3,[[1,2,5],[10,15,0],[3,6,7]]);

Для вычисления некоторых характеристик матриц нужно осуществлять преобразование самих матриц, например, прибавление к одной строке матрицы линейную комбинацию некоторых других, или выделять некоторые подматрицы, к примеру, для вычисления миноров матрицы.

Выяснить размерности матрицы помогут соответственно команды rowdim () и coldim (), а определить количество элементов вектора можно командой vecdim ().

> with (linalg):

> vec:=vector (13,[1,2,3,4,5,6,7,8,9,0,11,12,13]);

> matr:=matrix (3,3,[[1,2,5],[10,15,0],[3,6,7]]);

> vectdim (vec);

> coldim (matr);

Иногда необходимо удалять или добавлять в матрицу строки и столбцы. Удалить строки или столбцы с номерами от i до j из матрицы, А можно командами delrows (A, i. j) и delcols (A, i. j). Для удаления одной строки или одного столбца следует использовать диапазон i.i. Добавить строки или столбцы в матрицу, А можно командой extend (A, rows, cols, expr), в которой параметры rows и cols являются целыми числами, включая 0, Параметр expr — выражение, значение которого используется в качестве значений добавляемых элементов строк и столбцов.

> A:=matrix (3,3,[5,3,4,2,7,8,9,8,7]);

> delcols (A, 2.2);

> delcols (A, 1.1);

> F:=extend (A, 1,0,1);

Большая группа команд позволяет выделять из матрицы подструктуры: столбцы, строки, подматрицы и миноры. Для выделения строки с заданным номером следует применять команду row (A, i), а чтобы получить нужный столбец можно использовать команду col (A, j). Формирование подматрицы, состоящей из элементов столбцов с номерами от i1 до i2 и строк с номерами от j1 до j2, осуществляется командой submatrix (A, i1. i2,j1.j2) или аналогичная команда subvector (vec, i1. i2). Матрица минора элемента получается при помощи команды minor (A, i, j), где i — строки, j — столбцы.

> F:=matrix (3,3,[1,2,3,4,5,6,7,8,9]);

> row (F, 2);

> F1:=submatrix (F, 1.3,1.3);

> F2:=minor (F, 3,2);

Пакет Linalg содержит ряд команд, предназначенных для выполнения линейных преобразований над строками и столбцами исходной матрицы. Команда addcol (A, j1, j2, expr) создает новую матрицу из матрицы, А путем прибавления к столбцу j1 столбца j2, умноженного на значение expr. Команда addrow (A, i1, i2, expr) выполняет те же действия только со строками. Умножить столбец с номером j на значение выражения expr можно командой mulcol (A, j, expr), а то же самое действие для строки выполняется с помощью команды mulrow (A, i, expr). Для перестановки местами двух строк или столбцов используют команды swaprow (A, i1, i2) или swapcol (A, j1, j2).

Сложить две матрицы одинаковой размерности можно либо командой evalm (A+B), либо командой add (A, B). Умножение матрицы на матрицу (или вектор) выполняется командой multiply (A, B) или evalm (A&*B). Возвести матрицу в степень n можно при помощи команды evalm (A^n). Для вычисления обратной матрицы используют команду inverse (A), либо evalm (1/M). Транспонированная матрица вычисляется при помощи команды transpose (A). Определитель и ранг матрицы можно получить при помощи команд det (A) и rank (A). Для вычисления собственных чисел и векторов числовой квадратной матрицы можно воспользоваться командой Eigenvals (A, V), где A — матрица, для которой вычисляются собственные числа, а V — необязательный параметр. Для получения результата применения этой команды следует использовать команду evalf ().

> A:=matrix (3,3,[1,2,3,4,5,6,7,8,9]);

> evalf (Eigenvals (A, V));

> evalm (V);

Для получения собственных чисел символьных матриц и векторов следует использовать команды eigenvals (A) и eigenvects (A).

> A:=matrix (3,3,[1,2,3,4,5,6,7,8,9]);

> eigenvals (A);

> eigenvects (A);

В пакете Linalg есть специальная команда linsolve () решения систем линейных алгебраических уравнений. Эта команда решает матричное уравнение Аx=b.

Попробуем решить задачу решения систем линейных алгебраических уравнений.

> A:=matrix ([[1,2],[1,3]]);

> b:=vector ([1,-2]);

> linsolve (A, b);

Таким образом, пакет Linalg содержит более ста полезных команд выполнения матричных операций, а также структурных преобразований матриц.