Гидростатика. 
Гидравлика, водоснабжение и канализация

ГИДРОСТАТИЧЕСКОЕ ДАВЛЕНИЕ И ЕГО СВОЙСТВА. УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ЖИДКОСТИ

Гидростатика — раздел гидравлики, изучающий законы равновесия покоящейся жидкости.

Жидкость, находящаяся в покое, подвергается действию внешних сил двух категорий: массовых и поверхностных. К массовым относятся силы, пропорциональные массе жидкости (сила тяжести, сила инерции). К поверхностным относятся силы, распределенные по поверхности, ограничивающей любой мысленно выделенный объем жидкости, и пропорциональные площади этой поверхности (сила давления, центробежная сила).

Под действием внешних сил в каждой точке жидкости возникают внутренние силы, характеризующие ее напряженное состояние (давление в точке).

Рассмотрим некоторый объем покоящейся жидкости (рис. I.2). Мысленно разделим этот объем на две части произвольной плоскостью АВСD и отбросим верхнюю часть. Для сохранения равновесия нижней части к плоскости АВСD необходимо приложить силы, заменяющие действие верхней части объема жидкости на нижнюю.

Возьмем на плоскости АВСD произвольную точку а и выделим около нее малую площадку. В центре этой площадки действует сила P, представляющая собой равнодействующую сил, приложенных к различным точкам площадки. Если значение силы P разделить на площадь, то получим среднее значение давления на единицу площади:

(9).

В гидравлике силу P называют суммарной силой гидростатического давления, а отношение — средним гидростатическим давлением.

Если уменьшать площадку, то среднее гидростатическое давление будет стремиться к некоторому пределу, выражающему гидростатическое давление в точке:

. (10).

Иначе говоря, гидростатическое давление в точке является пределом отношения силы давления, действующей на элементарную площадку, к ее площади, если она стремится к нулю.

Гидростатическое давление измеряется в единицах силы, деленных на единицу площади. В системе СИ за единицу давления принят паскаль (Па) — равномерно распределенное давление, при котором на площадь 1 м² действует сила 1 Н.

Гидростатическое давление обладает двумя свойствами.

1. Гидростатическое давление всегда направлено по внутренней нормали к площадке, на которую оно действует. Это свойство доказывается от противного.

Рассмотрим некоторый объем покоящейся жидкости, внутри которого проведена поверхность КК (рис. 1.3). Возьмем на этой поверхности произвольную точку А. Предположим, что гидростатическое давление в точке А направлено не по нормали, а под углом к поверхности. В этом случае гидростатическое давление р можно разложить на две составляющие: нормальную р_п и касательную к поверхности КК- Однако, если бы существовала касательная составляющая гидростатического давления то частицы жидкости вышли бы из равновесия и жидкость не находилась бы в покое. Следовательно, касательная составляющая должна быть равна нулю, а гидростатическое давление будет направлено перпендикулярно поверхности.

Гидростатическое давление всегда направлено по внутренней нормали. Если бы оно было направлено по внешней нормали, как это показано на рис. I.3 в точке В, то, поскольку жидкость не оказывает сопротивления растягивающим напряжениям, частицы ее должны были бы прийти в движение, что противоречит принятому условию о нахождении жидкости в покое.

Рис. 1 Схема к доказательству второго свойства гидростатического давления

2. Гидростатическое давление в любой точке жидкости действует одинаково по всем направлениям, т. е. не зависит от угла наклона площадки, на которую оно действует.

Выделим в объеме жидкости, находящейся в покое, точку А как начало координат и вершину тетраэдра, имеющего грани площадью , , и (рис. I.4). На грани тетраэдра действуют силы гидростатического давления , , и , где ,, ; и - средние гидростатические давления, действующие на грани.

Кроме сил давления на тетраэдр действует сила тяжести G, проекция которой на ось х, а также на ось у равна нулю, а на ось z составляет , т. е. очень мала и ею можно пренебречь.

Тетраэдр будет находиться в покое, если суммы проекций все-: действующих сил на оси координат будут равны нулю. Уравнение равновесия по оси х будет иметь следующий вид:

(11).

аналогичны уравнения равновесия по осям у и z.

Проекции площади на координатные плоскости yAz, хАz и хАу составляют:

; ;. (12).

Если сделать замену, то уравнение равновесия по оси х будет иметь следующий вид:

(13).

аналогичны уравнения равновесия по осям у и z.

Рис. 2 Схема к выводу уравнений равновесия жидкости

После сокращения получим р_х = р_п; р_у = р_n; р_z = р_п или.

(13).

Это равенство доказывает второе свойство гидростатического давления.

Для вывода уравнений равновесия жидкости выделим в покоящейся жидкости бесконечно малый прямоугольный параллелепипед с ребрами dх, dу и dz (рис. 2). На параллелепипед действуют силы гидростатического давления и массовые силы. На грани площадью dуdz будут действовать средние гидростатические давления.

p_x и (14).

где — частная производная р_х по х, характеризующая изменение давления на единицу длины в направлении оси х, т. е. приращение среднего давления р_х на длине dх. На другие грани, по аналогии, будут действовать средние гидростатические давления:

p_y и p_z и.

Равнодействующую массовых сил обозначим G, а ее проекции на координатные оси, отнесенные к единице массы, обозначим X, У и Z. Сумма проекций всех сил на ось х имеет вид:

(15).

Проекции на оси у и z имеют аналогичный вид.

После преобразования запишем: — др_х/дх + Хс = 0, а разделив обе части равенства на плотность жидкости с, получим уравнения равновесия жидкости в общем виде:

(16).

Эти уравнения выражают закон распределения гидростатического давления. Приведем их к виду, удобному для интегрирования. Умножив каждое соответственно на dх, dу и dz и сложив вместе, получим:

(17).

Выражение в скобках есть полный дифференциал гидростатического давления р, т. е.

(18).

При с = const правая часть уравнения является тоже полным дифференциалом функции U=f (x, y, z), частные производные которой будут Функцию U называют потенциалом сил, необходимым для сохранения равновесия жидкости. Силами, имеющими потенциал, являются сила инерции и сила тяжести.

Если в выражение (1.6) подставить значения X, У и Z, то получим.

или (19).

Интегрируя это уравнение, запишем.

(20).

где С — постоянная интегрирования.

Если известны давление р₀ и потенциальная функция U₀ для точки жидкости, то уравнение принимает вид:

(21).

Из уравнений (20) и (21) находим.

(22).