Отрезок на прямой определяется двумя равноправными точками — его концами. Различают также направленный отрезок, т. е. отрезок, относительно концов которого известно какой из них первый (начало), а какой — второй (конец).
Определение: Направленный отрезок (или упорядоченная пара точек) называется вектором.
Вектор обычно обозначается символом, где, А — начало, а В — конец направленного отрезка, либо одной буквой (в некоторых учебниках буква выделяется полужирным шрифтом; при этом стрелка опускается a). На чертеже вектор изображается стрелкой. Начало вектора называют точкой его приложения.
Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной. Для обозначения длины вектора (его абсолютной величины) пользуются символом модуля. Так и обозначают длины соответствующих векторов.
Вектор единичной длины называют ортом.
К векторам будем относить и так называемый нулевой вектор, у которого начало и конец совпадают. Считается, что нулевой вектор не имеет определенного направления и имеет длину равную нулю. Это позволяет обозначать нулевой вектор вещественным числом 0 (нуль).
Векторы, расположенные либо на одной прямой, либо на параллельных прямых называются коллинеарными. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору. Среди коллениарных векторов различают одинаково направленные (сонаправленные) и противоположно направленные векторы.
Векторы называются компланарными, если они лежат либо на одной плоскости, либо на прямых, параллельных одной и той же плоскости.
Следствие: Для любого вектора и для любой точки А, существует, и притом единственная, точка B такая, что .
Мы не будем различать двух равных векторов, имеющих разные точки приложения. Такие векторы называются свободными (в отличие от скользящих и связанных векторов, встречающихся в других науках).
Понятие равенства векторов обладает следующими свойствами:
- 1. (рефлексивность).
- 2. Из того, что, следует (симметричность).
- 3. Из того, что и, следует (транзитивность).