Матричная форма записи метода контурных токов

Уравнения метода контурных токов выводятся из уравнений, составленных, по второму закону Кирхгофа. Подставим в матричное уравнение (3.18) уравнение (3.14), соответствующее первому закону Кирхгофа, переписав его предварительно таким образом.

(3.19).

(3.20).

или.

(3.21).

Можно показать, что с помощью транспонированной контурной матрицы [В]^Т токи ветвей схемы [/^в] могут быть выражены через матрицу контурных токов [/^к].

(3.22).

где [/^к]-столбцовая матрица контурных токов. Тогда выражение (3.21) примет вид.

(3.23).

или в более компактной форме.

(3.24).

где.

— матрица контурных сопротивлений; - матрица контурных ЭДС.

Матрицы уравнения (3.23) более просты для составления, поэтому уравнением (3.23) пользуются при решении на ЭВМ.

После решения уравнения (3.23) относительно контурных токов схемы решают последовательно уравнение (3.22) относительно токов ветвей и (3.19) относительно токов в резисторах.

Пример 3.1. В схеме рис. 3.1 определить токи в резисторах методом контурных токов, если.

E₁ = 48 В; R₁ = 4 Ом;

E₂ = 10 В; R₂ = R₅ = 6 Ом;

E₃ = 40 В; R₃ = 1 Ом;

J = 2 А; R₄ =2 Ом.

Решение

1. Запишем матрицы для решения уравнения (3.23), исходя из графа схемы (рис. 3.2). Римскими цифрами I и II обозначены контуры. Указаны направления обхода контуров.

Контурная матрица.

Диагональная матрица сопротивлений ветвей.

Транспонированная контурная матрица.

Столбцовые матрицы:

контурных токов.

ЭДС ветвей.

токов источников токов.

2. Перемножаем матрицы [В] и [R^в].

3. Получаем матрицу контурных сопротивлений.

где.

R _ik — собственные и взаимные сопротивления контуров.

4. Запишем матрицу контурных ЭДС, воспользовавшись ранее найденным произведением матриц [В] на [R^B].

5. Далее рассмотрим матричное решение уравнения (3.24) с помощью обратной матрицы [R^K]^-1.

Для этого умножим слева на матрицу [R^K]^-1 все слагаемые уравнения (3.24).

Обратная матрица.

где — определитель матрицы [R^K]; _mn — алгебраические дополнения;

Отсюда.

6. Определим контурные токи Следовательно.

I₁^K = 1 А; I₂^K = 3 А.

7. Определим токи в ветвях схемы. Решаем уравнение (3.22).

8. Определим токи в резисторах (3.19).

т. е. I₁ = 1 A, I₂ = 3 A, I₃ = 2 A, I₄ = 3 A, I₅ = - 5 A,.