Элементарные функции по Лиувиллю

Жозеф Лиувилль (фр. Joseph Liouville; 24 марта 1809 — 8 сентября 1882) — французский математик. Систематически исследовал разрешимость ряда задач, дал строгое определение понятию элементарной функции и квадратуры. В частности, исследовал возможность интегрирования заданной функции, алгебраической или трансцендентной, в элементарных функциях, и разрешимость в квадратурах линейного уравнения 2-го порядка. Доказал, что специальное уравнение Риккати интегрируется в квадратурах только в тех случаях, которые были даны еще Бернулли. В честь Лиувилля были названы поверхность Лиувилля и сеть Лиувилля, дробный интеграл Лиувилля, а также несколько математических теорем.

Рассматривая функции комплексного переменного, Лиувилль определил элементарные функции несколько шире. Элементарная функция переменной —аналитическая функция, которая может быть представлена как алгебраическая функция от и функций, причём является логарифмом или экспонентой от некоторой алгебраической функции от, является логарифмом или экспонентой от некоторой алгебраической функции от и и так далее.

Например, — элементарная функция в этом смысле, поскольку она является алгебраической функцией. Функция тоже является элементарной, поскольку её можно представить в виде:

где .

Не ограничивая общности рассмотрения, можно считать функции алгебраически независимы, то есть если алгебраическое уравнение выполняется для всех, то все коэффициенты полинома равны нулю.