Аксиомы и парадокс Эрроу

Эрроу были проведены аксиоматические исследования принципов выработки группового решения на основе индивидуальных предпочтений группы экспертов. Для каждой задачи принятия группового решения (Х= {х₁,…, х_n}, { }_i€M){>1 _Л/) правило группового решения порождает групповое упорядочение (предпочтение)? на множестве альтернатив X.

На основе анализа ситуаций, возникающих при выработке группового решения, Эрроу сформулировал пять аксиом, которым должно удовлетворять результирующее предпочтение (групповое решение) ?. Каждое из этих условий представляется естественным требованием, предъявляемым к коллективному выбору. Однако совместное их выполнение невозможно, что и было установлено Эрроу:

Далее приведены сформулированные Эрроу условия.

• 1. Универсальность. Правило группового решения определено для всех возможных наборов индивидуальных предпочтений { }_i€M на X.
• 2. Положительная связь групповых и индивидуальных предпочтений. Пусть {}_i€M и {'}_i€M — два набора индивидуальных предпочтений на X,? и ?' — соответствующие групповые упорядочения, х_j — некоторая альтернатива (х_j € X). Если для каждого i€M сужения отношений и ' на X/ { х_j} совпадают, а альтернатива х_j не менее предпочтительна по ', чем по, по отношению к любой другой альтернативе х_к€ X, то из х_j > х_к и х_j? х_к должны следовать соответственно х_j > 'х_к и х_j ?' х_к .
• 3. Независимость от посторонних альтернатив. Если X с X' и для каждого i€M сужения на X' индивидуальных предпочтений и ' совпадают, то должны совпадать и сужения групповых предпочтении и '.
• 4. Суверенность экспертов. Для каждой пары альтернатив х_j€X и х_к €X найдется набор индивидуальных предпочтений {}_i€M, доказывающий, что х_j > х_к .
• 5. Отсутствие диктатора. Не должно быть такого эксперта i€M, чтобы для каждой пары альтернатив х_j€X и х_к €X из х_j х_к следовало х_j > х_к при любых предпочтениях остальных экспертов.

Содержательный смысл этих аксиом частично уже отражается в их названиях, которые приняты в теории групповых решений.

Аксиома универсальности 1 требует, чтобы система голосования была достаточно обшей для возможности учета всех вариантов распределения голосов экспертов. Иногда эту аксиому называют аксиомой результативности, поскольку требуется, чтобы правило группового решения приводило к какому-то результату при любых исходных данных. Аксиому универсальности иногда формулируют в виде условия транзитивности группового предпочтения. В этом случае транзитивность не включается в определение правила группового решения.

Аксиома 2 требует, чтобы групповое решение определялось на основе индивидуальных предпочтений, т. е. если каждый эксперт меняет свое предпочтение в пользу некоторой альтернативы или предпочтение остается неизменным, то групповое предпочтение может измениться также лишь в пользу этой альтернативы. В соответствии с аксиомой необходимо, чтобы коллективный выбор в точности повторял единогласное мнение всех экспертов. Если, например, каждый из экспертов считает, что альтернатива х_j лучше альтернативы х_к, то и система группового принятия решения должна приводить к этому результату.

Необходимость использования аксиомы независимости от посторонних альтернатив З в групповых решениях обусловливается тем, что в ходе выборов список кандидатов может сокращаться. В этом случае потребуются новые выборы, если правило не удовлетворяет аксиоме независимости от посторонних альтернатив.

Пусть эксперт считает, что из пары альтернатив х₁ и х₂ лучшей является х₁. Это предпочтение не должно зависеть от отношения эксперта к другим альтернативам. Часто аксиома З нарушается судьями в фигурном катании. Давая сравнительные оценки двум сильным фигуристам х₁ и х₂, они стараются учесть возможность хорошего выступления сильного кандидата х₃, оставляя ему шансы стать победителем. Отличное выступление в произвольном катании фигуриста х₃, имевшего ранее не очень высокий результат в обязательной программе, может повлиять на оценки фигуристов х₁ и х₂. Если х₂ имел отличный результат в обязательной программе, судьи иногда ставят его ниже фигуриста х₁ при примерно равном их выступлении, чтобы повысить шансы фигуриста х₃.

Аксиома суверенности экспертов 4 утверждает, что выборы не должны быть пустой формальностью, где результат голосования не зависит от самого голосования. Наоборот, любая альтернатива при соответствующих предпочтениях экспертов должна быть предпочтительнее по групповому упорядочению.

При выполнении аксиомы 5 предполагается отсутствие эксперта, мнение которого является определяющим независимо от мнения остальных экспертов. Данная аксиома отсутствия диктатора 5 представляется необходимым атрибутом демократичности принятия решений в обществе.

Теорема Эрроу (о невозможности). Если число экспертов не меньше двух, а число альтернатив не меньше трех, то аксиомы 1— 5 несовместимы, т. е. нет правила группового решения, удовлетворяющего этим аксиомам.

Рассмотрение парадокса Эрроу завершим несколькими замечаниями.

Отметим, что аксиомы положительной связи (2) и суверенности граждан (4) можно заменить на одну аксиому — оптимальности по Парето.

Формулировка теоремы о невозможности допускает различные модификации. Одна из них имеет следующий вид: аксиомы 1−5 несовместимы с конечностью множества индивидов и альтернатив.

Данное утверждение не означает, что в бесконечном случае проблема диктатора исчезает. Диктатор (индивидуум или коалиция) может не существовать, но тогда все же существует «сколь угодно точное приближение» к диктатору.

Диктаторское правило аналогично лексикографическим правилам. Если диктатору безразличны некоторые альтернативы, то по ним групповое решение будет определяться следующим по рангу диктатором и т. д.

С точки зрения реальной жизни важно знать, насколько часто нарушаются все эти три условия одновременно. При моделировании всех возможных распределений голосов экспертов и сохранении условий демократичной и решающей системы голосования было показано, что рациональность нарушается примерно в 6−9% случаев.