Расчет математического ожидания и дисперсии

1. Пароль для входа в компьютерную базу данных состоит из 7 цифр. Какова вероятность правильного набора пароля с первого раза, если: д) на нечетных местах комбинации стоят одинаковые цифры Решение:

P (A) =

n — общее число исходов.

Допустим на нечетных местах стоит 0₀_0₀_0

На трех других местах может быть: n0= комбинаций (10 цифр, 3 места), если на нечетных местах стоит 1, и т. д.

n= n0+n2+…+n0=10•=

m= число благоприятных исходов

m=0

P (A) = =0,0001

Ответ: 0,0001

2. Девять карточек, пронумерованных цифрами от 1 до 9, расположены друг за другом в случайном порядке. Определить вероятности следующих событий: Г) каждая из последних 4 карточек имеет номер больше 3

Будем использовать классическое определение вероятности:

где m — число исходов, благоприятствующих осуществлению события, а n — число всех элементарных равновозможных исходов.

Сразу вычислим, что — число различных способов разложить карточки.

Найдем число исходов, благоприятствующих этому событию. Номер больше трех имеют карточки: 4,5,6,7,8,9, всего 6 карточек. Выбираем на последнее место карточку 6 способами (любую из этих шести), на предпоследнее место карточку 5 способами (любую из оставшихся пяти, одна уже выбрана), на третье с конца место карточку 4 способами, на четвертое с конца место карточку 3 способами. Получили всего способов разложить последние 4 карточки так, чтобы их номер был больше 3. Теперь раскладываем оставшиеся 5 карточек 5≠120 способами. Итого получаем 120*360=43 200 способов.

Тогда вероятность .

Ответ: 0,119

3. Отрезок AB разделен точкой C в отношении 3:7. На этот отрезок наудачу бросается 5 точек. Найти наивероятнейшее число точек, попавших на отрезок AC и вероятность именно такого числа точек на отрезке AC

Бросается 5 точек n=5

Вероятность попасть на АС для одной точки Р== 0,3

1)-наивероятнейшее число точек, попавших на АС

npq ?< np +p

p= 0,3; q=1-p=0,7

5• 0,3−0,7? < 5• 0,3+ 0,3

0,8? < 1,8

=1

2) Вероятность именно такого числа точек на АС

(1)=?

Применим формулу Бернулли.

(K) =.. ;

(1)=.. = •0,3 •= 5 • 0,3• = 0,36

Ответ: 0,36

4. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятности отказа первого, второго и третьего элементов соответственно равны 0,2, 01 и 0,6. Найти вероятность того, что не отказал первый элемент, если известно, что отказали какие-то два элемента

Решение. =0,2 =0,1 =0,6 — отказ.

= 1- =0,8 =0,4- не отказ.

Событие Аотказали какие-то два

— первый отказал Р ()=0,2=

(А)=+ 0,2•0,1•0,4+ 0,2•0,9•0,6=0,116

— первый не отказал Р=0,8=

(А)= 0,048

По формуле полной вероятности

P (A)=0,2•0,116+0,8•0,048=0,0616

Искомую вероятность найдем по формуле Байеса:

()= =

Ответ: 0,62

5. Бросаются две игральные кости. Найти для произведения очков на выпавших гранях: математическое ожидание; дисперсию

Решение. Введем независимые случайные величины и равные, соответственно, числу очков, выпавших на первой и на второй кости. Они имеют одинаковые распределения:

Найдем математическое ожидание

.

Найдем дисперсию

.

Тогда математическое ожидание суммы числа очков, которые могут выпасть при одном бросании двух игральных костей равно

.

Дисперсия суммы числа очков, которые могут выпасть при одном бросании двух игральных костей равна (так как бросания костей независимы):

.

Ответ: 7; 35/6.

6. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х соответственно равны 30 и 4. Найти вероятность того, что Х в 5 испытаниях ровно 3 раза примет значение, заключенное в интервале (29, 31)

Решение. Используем формулу

где математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение б=29, в=31.

P (29<�х<31)=Ф (=Ф (0,25)-(0,25)= Ф (0,25)+Ф (0,25) = 2•Ф (0,25) = 2•0,3413•0,25 = 0,17 065 Ответ: 0,17 065

7. В порядке серийной выборки из 1000 контейнеров бесповторным отбором взято 10 контейнеров. Каждый контейнер содержит равное количество однотипных изделий, полученных высокоточным производством. Межсерийная дисперсия проверяемого параметра изделия равна 0,01. Найти: границы, в которых с вероятностью 0,99 заключено среднее значение проверяемого параметра во всей партии, если отобрано 50 контейнеров, а общая средняя равна 5

При беспроводном отборе применяется формула:

n=

N=1000 n==5

p=0,99 ?0,98

Подставим:

5=

5=

5000+0,049=98

0,049=98

Т.к. х=5, то интервал 50,14