Расчет одно-и трехфазных электрических цепей переменного тока

Расчет однои трехфазных электрических цепей переменного тока

1.

Введение

электрическая цепь переменный ток Электротехника — это наука о производстве, передаче и преобразовании электрической энергии. Энергия — это количественная мера движения и взаимодействия всех форм материи. Для любого вида энергии можно назвать материальный объект, который является ее носителем.

Электрическая энергия широко применяется и это объясняется ее ценными свойствами — возможностью преобразования в любые другие виды энергии. В промышленности с применением электродвигателей стало возможным отказаться от неудобного группового трансмиссионного привода и перейти на индивидуальный привод Электрическую энергию можно получить из любого другого вида энергии или путем промежуточных преобразований. Для этого используют природные энергетические ресурсы — реки и водопады, океанские приливы, органическое ядерное топливо, солнечную радиацию, ветер. На электростанциях непосредственно механическая энергия преобразуется в электрическую, с помощью механических генераторов. На тепловых электростанциях же, используется энергия органического топлива. Тепловая энергия, полученная при сжигании топлива, поступает на тепловые турбины, превращается в механическую, а затем передается генераторам.

Передача и распределение электрической энергии повсеместное использование при концентрации природных ресурсов в отдельных районах привело к необходимости передачи ее на большие расстояния, это осуществляется с помощью применения металлических проводов. При наличии проводов поле достигает высокой концентрации, поэтому передача осуществляется с высоким КПД. Исходя из того, следует, что предмет ТОЭ является одним из самых важных предметов, он является основой для дальнейшего прохождения предметов радиоэлектронной области.

2. Краткие сведения из теории

2.1 Линейные электрические цепи постоянного тока Источник ЭДС — это источник, характеризующийся электродвижущей силой и внутренним сопротивлением. Идеальным называется источник ЭДС, внутреннее сопротивление которого равно нулю.

Разветвленная схема — это сложная комбинация соединений пассивных и активных элементов.

Участок электрической цепи, по которому проходит один и тот же ток, называется ветвью. Место соединения двух и более ветвей электрической цепи называется узлом. Узел в схеме обозначается точкой.

Последовательным называется такое соединение участков цепи, при котором через все участки проходит одинаковый ток. При параллельном соединении все участки цепи присоединяются к одной паре узлов, находятся под одним и тем же напряжением.

Любой замкнутый путь, включающей в себя несколько ветвей, называется контуром.

Ток, протекающий через сопротивление R, пропорционален падению напряжения на сопротивлении и обратно пропорционален величине этого сопротивления.

Закон Ома: ме6жду основными параметрами цепи устанавливается строго определенная зависимость — ток на пассивном участке цепи прямо пропорционален приложенному к этому участку напряжению и обратно пропорционален его сопротивлению.

U = I/R

Так же имеется закон Ома для всей ветви, и он записывается вот так:

I = E/(r+R)

Также для расчета линейных электрических цепей постоянного тока используются два закона Кирхгофа, вот так они звучат:

Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма токов в любом узле цепи равна нулю:

?I = 0

Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма ЭДС вдоль любого замкнутого контура равна алгебраической сумме падений напряжений в этом контуре:

?Е = ?IR

Законы Кирхгофа применяются для расчета сложных электрических цепей, содержащих несколько источников ЭДС.

ЭДС в контуре берется со знаком «+», если направление совпадает с обходом контура, если не совпадает, то со знаком «-».

Падение напряжения на сопротивлении контура берется со знаком «+», если направления токов в нем совпадает с обходом контура, а если не совпадает, то берется со знаком «-». Метод эквивалентного генератора используется для исследования работы какого-либо участка в сложной электрической цепи, а также сокращает громоздкие вычисления. В этом методе мы отключаем одну ветвь и вычисляем напряжение холостого хода и потом напряжение на отключенной ветви.

2.2 Нелинейные электрические цепи постоянного тока Электрическая цепь, в которой есть нелинейные элементы, называется нелинейной цепью. Для нелинейных электрических цепей остаются справедливыми законы Ома и Кирхгофа. Расчет таких цепей осуществляется графическим методом. График, выражающий зависимость тока от напряжения I (U), называется вольтамперной характеристикой. В линейной электрической цепи сопротивления ее элементов не зависят от величины или направления тока или напряжения. Вольтамперные характеристики линейных элементов (зависимость напряжения на элементе от тока) являются прямыми линиями. В нелинейной электрической цепи сопротивления ее элементов зависят от величины или направления тока или напряжения.

Нелинейные элементы имеют криволинейные вольтамперные характеристики, симметричные или несимметричные относительно осей координат.

2.3 Однофазные линейные электрические цепи переменного тока Переменными называются токи, изменение которых по величине и направлению повторяется периодически через равные промежутки времени t.

Электрическая энергия необратимо преобразуется в другой вид энергии. Реактивное сопротивление емкости обратно пропорционально частоте и емкости. Действующее значение переменного тока широко применяется при расчете цепей переменного тока. Это значение равно величине такого постоянного тока, который за время, равное одному периоду переменного тока, выделяет в том же сопротивлении такое же количество тепла, что и переменный ток. Значение переменного тока в любой момент времени называется мгновенным значением и имеет вид:

I = I_m*sin (wt + ?_i)

Векторная диаграмма — это совокупность векторов действующих или амплитудных значений синусоидальных величин вращающихся против часовой стрелки с одинаковой угловой частотой.

2.4 Трехфазные электрические цепи переменного тока Трехфазная система ЭДС называется системой трех переменных ЭДС одинаковой частоты, сдвинутых друг относительно друга по фазе так, что сумма трехфазных углов равна 2рили 360°. Трехфазная система применяется во всем мире, для передачи и распределения энергии.

Отдельные обмотки трехфазного приемника называются фазами.

При соединении звездой в точках перехода фазные и линейные токи одинаковы между собой в каждой фазе.

При соединении треугольником обмотки генератора образуют замкнутый контур, в котором действует сумма трех ЭДС.

2.5 Переходные процессы в линейных электрических цепях В электрических цепях возможны включения и отключения отдельных ветвей, короткие замыкания участков цепи, различного рода переключения. Любые изменения в электрических цепях можно представить в виде переключений или коммутаций. Характер коммутации указывается в схеме с помощью рубильника со стрелкой. По направлению стрелки можно судить, замыкается или размыкается рубильник.

При коммутации в цепи возникают переходные процессы, т. е. процессы переходов тока и напряжений от одного установившегося значения к другому.

Изменения токов и напряжений вызывают одновременное изменение энергии электрического и магнитного полей, связанных с элементами цепи — емкостями и индуктивностями. Однако энергия электрического поля и энергия магнитного поля могут изменяться только непрерывно, так как скачкообразное изменение потребовало бы от источника бесконечно большой мощности. На этом рассуждении основаны законы коммутации.

Первый закон: в любой ветви с индуктивностью ток не может изменяться скачком и в момент коммутации сохраняет значение, которое он имел непосредственно перед моментом коммутации:

iL (0+) = iL (0-),

где — iL (0+) — ток в ветви с индуктивностью в момент коммутации, сразу после коммутации. Знак «+» в формуле обычно не записывается. Время переходного процесса отсчитывается от момента коммутации;

iL (0-) — ток в индуктивности непосредственно перед коммутацией.

Второй закон: напряжение на емкости сразу после коммутации сохраняет то значение, которое оно имело непосредственно перед моментом коммутации:

uc (0+) = uC (0-),

где uc (0+) — напряжение на емкости в момент коммутации;

uc (0-) — напряжение на емкости непосредственно перед моментом коммутации.

Допущения, применяемые при анализе переходных процессов:

— полагают, что переходной процесс длится бесконечно большое время:

— считают, что замыкание и размыкание рубильника происходит мгновенно, без образования электрической дуги;

— принимают, что к моменту коммутации предыдущие переходные процессы в цепи закончились.

3. Расчетная часть

3.1 Расчет линейных электрических цепей постоянного тока Дано: Е₁ = 20 В; Е₂ = 30 В; R₁ = 64 Ом; R₂ = 43 Ом; R₃ = 31 Ом; R₄ = 25 Ом; R₅ = 52 Ом; R₆ = 14 Ом; r₀₁ = 1 Ом; r₀₂ = 2 Ом.

Решение

3.1.1 Метод узловых и контурных уравнений Составим систему уравнений, применяя законы Кирхгофа для определения токов во всех ветвях.

При расчете этим методом произвольно задаем направления токов в ветвях I₁, I₂, I₄, I₅, I₆.

В этой цепи 4 узла (1, 2, 3, 4) значит число уравнений: n — 1 = 4 — 1 = 3:

— узел 1: I₁ + I₂ = I₃, I₁ + I₂ — I₃ = 0

— узел 2: I₁ + I₆ = I₄, I₁ + I₆ — I₄ = 0

— узел 3: I₄ + I₅ = I₃, I₄ + I₅ — I₃ = 0

Всего в системе должно быть шесть уравнений, т.к. в цепи шесть ветвей. Три уже есть. Три недостающих составляем для линейно независимых контуров. Чтобы они были независимы, в каждый следующий контур надо включить хотя бы одну ветвь, не входящую в предыдущие.

Задаемся обходом каждого контура и составляем уравнения по II закону Кирхгофа:

— контур 1−2-3−1 обход по часовой стрелке:

Е₁ = I₁(R₁ + r₀₁) +I₄R₄ + I₃R₃;

— контур 1−3-4−1 обход против часовой стрелки:

Е₂ = I₂(R₂ + r₀₂) + I₃R₃ + I₅R₅;

— контур 3−2-4−3 обход против часовой стрелке:

0 = I₆R₆ + I₄R₄ — I₅R₅

ЭДС в контуре берется со знаком «+», если направление ЭДС совпадает с обходом контура, если не совпадает — знак «-».

Мы получим систему из шести уравнений

I₁ + I₂ — I₃ = 0

I₁ + I₆ — I₄ = 0

I₄ + I₅ — I₃ = 0

Е₁ = I₁(R₁ + r₀₁) +I₄R₄ + I₃R₃

Е₂ = I₂(R₂ + r₀₂) + I₃R₃ + I₅R₅

0 = I₆R₆ + I₄R₄ — I₅R₅

3.1.2 Определим токи во всех ветвях схемы, используя метод контурных токов Метод контурных токов основан на использовании II закона Кирхгофа. Это позволяет уменьшить число уравнений в системе на (n — 1).

Стрелками указываем выбранные направления контурных токов I_к1, I_к2, I_к3 в контурных ячейках. Направление контуров принимаем таким же. Составляем уравнения и решаем систему уравнений матрицей.

Е₁ = I_к1(R₁ + r₀₁ + R₄ + R₃) + I_к2R₃ + I_к3R₄

Е₂ = I_к2(R₂ + r₀₂ + R₅ + R₃) + I_к1R₃ — I_к3R₅

0 = I_к3(R₄ + R₅ + R₆) + I_к1R₄ — I_к2R₅

Подставим в уравнения численные значения ЭДС и сопротивлений:

20 = 121I_к1 + 31I_к2 + 25I_к3

30 = 31I_к1 + 128I_к2 — 52I_к3

0 = 25I_к1 — 52I_к2 + 91I_к3

Решим систему уравнений с помощью матрицы. Вычислим определитель системы? и частные определители ?1, ?2, ?3.

Вычисляем контурные токи:

I_к1 = = = 0,0662 А;

I_к2 = = = 0,2747 А;

I_к3 = = = 0,1387 А Найдем действительные токи ветвей:

I₁ = I_к1 = 0,0662 А;

I₂ = I_к2 = 0,2747 А;

I₃ = I_к1 + I_к2 = 0,0662 + 0,2747 = 0,3409 А;

I₄ = I_к1 + I_к3 = 0,0662 + 0,1387 = 0,2049 А;

I₅ = I_к2 — I_к3 = 0,2747 — 0,1387 = 0,1360 А;

I₆ = I_к3 = 0,1387 А

3.1.3 Определение токов методом наложения Определяем частные токи от ЭДС Е1, при отсутствии ЭДС Е2

Находим сопротивления цепи методом «свертывания». Преобразовываем треугольник сопротивлений R_2, r_02, R_5, R₃ в эквивалентную звезду.

R_а = = = 12,5937 Ом

R_б = = = 18,2812 Ом

R_в = = = 10,8984 Ом Определяем эквивалентное сопротивление цепи:

R_{б, 6} = R_б + R₆ = 18,2812 + 14 = 32,2812 Ом

R_{а, 4} = R_а + R₄ = 12,5937 + 25 = 37,5937 Ом

R_{б, 6, а, 4} = = = 17,3677 Ом

R_экв = R₁ + R_в + R_{б, 6, а, 4} = 64 + 10,8984 + 17,3677 = 92,2661 Ом Ток источника:

I^I₁ = = = 0,2144 А Для расчета оставшихся токов по закону Ома находим напряжение U_ху:

U_{х, у} = I^I₁* R_{б, 6, а, 4} = 0,2144*17,3677 = 3,7236 В

I^I₄ = = = 0,0990 А

I^I₆ = = = 0,1153 А Для расчета оставшихся токов цепи используем законы Кирхгофа:

Е₁ = I^I₄R₄ + I^I₃R₃ + I^I₁(R₁ + r₀₁)

I^I₃ = = = 0,1157 А

I^I₂ = I^I₁ — I^I₃ = 0,2144 — 0,1157 = 0,0987 А

I^I₅ = I^I₂ — I^I₆ = 0,0987 — 0,1153 = -0,0166 А Определяем частные токи от ЭДС Е2, при отсутствии ЭДС Е1

Находим сопротивления цепи методом «свертывания». Преобразовываем треугольник сопротивлений R_1, r_01, R_3, R₄ в эквивалентную звезду.

R_а = = = 16,6528 Ом

R_б = = = 13,4297 Ом

R_в = = = 6,4049 Ом Определяем эквивалентное сопротивление цепи:

R_{б, 6} = R_б + R₆ = 13,4297 + 14 = 27,4297 Ом

R_{в, 5} = R_в + R₅ = 6,4049 + 52 = 58,4049 Ом

R_{б, 6, в, 5} = = = 18,6641 Ом

R_экв = R₂ + R_а + R_{б, 6, в, 5} = 43 + 16,6528 + 18,6641 = 78,3169 Ом Ток источника:

I^II₂ = = = 0,3735 А Для расчета оставшихся токов по закону Ома находим напряжение U_ху:

U_{х, у} = I^II₂* R_{б, 6, в, 5} = 0,3735*18,6641 = 6,9710 В

I^II₅ = = = 0,1193 А

I^II₆ = = = 0,2541 А Для расчета оставшихся токов цепи используем законы Кирхгофа:

Е₂ = I^II₅R₅ + I^II₃R₃ + I^II₂(R₂ + r₀₂)

I^II₃ = = = 0,2254 А

I^II₄ = I^II₅ — I^II₃ = 0,1193 — 0,2254 = -0,1061 А

I^II₁ = I^II₄ + I^II₆ = -0,1061 + 0,2541 = 0,1480 А Вычисляем токи ветвей исходной схемы, выполняя алгебраические сложения токов, учитывая их направления.

I₁ = I^I₁ — I^II₁ = 0,2144 — 0,1480 = 0,0664 А

I₂ = I^I₂ — I^II₂ = 0,0987 — 0,3735 = -0,2748 А

I₃ = I^I₃ + I^II₃ = 0,1157 + 0,2254 = 0,3411 А

I₄ = I^I₄ — I^II₄ = 0,0990 — (-0,1061) = 0,2051 А

I₅ = I^I₅ — I^II₅ = -0,0166 — 0,1193 = -0,1359 А

I₆ = I^I₆ — I^II₆ = 0,1153 — 0,2541 = -0,1388 А Составим баланс мощностей для заданной схемы. Источники Е1 и Е2 вырабатывают электрическую энергию, так как направление ЭДС и тока в ветвях с источниками совпадают, то баланс мощностей для заданной цепи запишется так:

Е₁I₁ + Е₂I₂ = I₁²(R₁ + r₀₁) + I₆²R₆ + I₄²R₄ + I₂²(R₂ + r₀₂) + I₅²R₅ + I₃²R₃

Подставляем числовые значения и вычисляем

20*0,0664 + 30*0,2748 = 0,0664²*65 + 0,1388²*14 + 0,2051²*25 + 0,2748²*45+0,1359²*52 + 0,3411²*31

9,572 Вт = 9,573 Вт С учетом погрешности расчетов баланс мощностей получился.

Результаты расчетов токов представим в виде таблицы и сравним.

Расчет токов ветвей обоими методами с учетом ошибок вычислений практически одинаков.

3.1.4 Расчет цепи методом эквивалентного генератора Определим ток в первой ветви методом эквивалентного генератора. Для решения задачи методом эквивалентного генератора разделим электрическую цепь на две части: потребитель (исследуемая ветвь с ЭДС Е₁ и сопротивлением R₁, в которой требуется определить величину тока) и эквивалентный генератор (оставшаяся часть цепи, которая для потребителя Е₁ и R₁ служит источником электрической энергии, т. е. генератором) Изображаем схему эквивалентного генератора в режиме холостого хода, т. е. при отключенном потребителе Е₁ и R₁ от зажимов «а» и «б».

I₁ = (E₁ + E_экв)/(R₁ +r_0экв),

где — E_экв — ЭДС эквивалентного генератора, ее величину определяют как напряжение на зажимах генератора в режиме холостого хода, E_экв = U_хх;

r_0экв — внутреннее сопротивление эквивалентного генератора, его величина рассчитывается как эквивалентное сопротивление пассивного двухполюсника относительно исследуемых зажимов.

Для нахождение токов холостого хода используем метод контурных токов.

0 = I_к3(R₅ + R₆ + R₄) — I_к2R₅

Е₂ = I_к2(R₅ + R₃ + R₂ + r₀₂) — I_к3R₅

0 = 91I_к3 — 52I_к2

30 = 128I_к2 — 52I_к3

I_к2 =

0 = 91I_к3 ;

I_к3 = 0,1743 А

I_к2 = 0,3051 А

I_хх1 = I_к3 = 0,1743 А

I_хх2 = I_к2 = 0,3051 А Найдем эквивалентное сопротивление r_0экв, преобразуя треугольник сопротивлений R_5, R_3, R_2, r₀₂ в эквивалентную звезду, используя пункт 3.1.3

R_а = 12,5937 Ом, R_б = 18,2812 Ом, R_в = 10,8984 Ом

R_{б, 6} = R_б + R₆ = 18,2812 + 14 = 32,2812 Ом

R_{а, 4} = R_а + R₄ = 12,5937 + 25 = 37,5937 Ом

R_{б, 6, а, 4} = = = 17,3677 Ом

r_0экв = R_{б, 6, а, 4} + R_в = 17,3677 + 10,8984 = 28,2661 Ом Находим ЭДС эквивалентного генератора, зная ток холостого хода

E_экв = (I_хх1 + I_хх1)*(R₃ + R₄) = (0,1743 + 0,3051)*56 = 26,8464 В Зная ЭДС и внутреннее сопротивление эквивалентного генератора, вычисляем ток в исследуемой ветви

I₁ = = = -0,0642 А

3.1.5 Построение потенциальной диаграммы Построим потенциальную диаграмму для любого замкнутого контура, включающего в себя обе ЭДС.

Возьмем контур АБВГДА. Зададимся обходом контура по часовой стрелке. Заземлим одну из точек контура, пусть это будет точка А. Потенциал этой точки равен нулю ?_А = 0.

Зная величину и направление токов ветвей и ЭДС, а также величины сопротивлений, вычислим потенциалы всех точек контура при переходе от элемента к элементу. Начнем обход от точки А.

?_А = 0

?_Б = ?_А + Е₁ — I₁r₀₁ = 0 + 20 — 0,0662*1 = 19,9338 В

?_В = ?_Б — I₁R₁ = 19,9338 — 0,0662*64 = 15,6970 В

?_Г = ?_В + I₆R₆ = 15,6970 + 0,1387*14 = 17,6388 В

?_Д = ?_Г + I₂ R₂ = 17,6388 + 0,2747*43 = 29,4509 В

?_А = ?_Д — Е₂ + I₂r₀₂ = 29,4509 — 30 + 0,2747*2? 0 В Строим потенциальную диаграмму. По оси абсцисс откладываем сопротивления контура, в той последовательности, в которой производим обход контура, прикладывая сопротивления друг к другу, по оси ординат — потенциалы точек с учетом их знака.

3.2 Расчет нелинейных электрических цепей постоянного тока Расчет цепи производим графическим методом. Для этого в общей системе координат строим ВАХ нелинейных и линейного элементов

I₁ = f (U₁), I₂ = f (U₂), I₃ = f (U₃)

Дано: U = 120 В, R₃ = 40 Ом Найти: I₁-? I₂-? I₃-? U₁-? U₂-? U₃-?

ВАХ линейного элемента строим по уравнению I = U_R/R, она представляет собой прямую, проходящую через начало координат. Для определения координаты второй точки ВАХ линейного элемента задаемся произвольным значением напряжения. U_R = 48 В, тогда соответствующее значение тока равно I₃ = U_R/R₃ = 120/40 = 3 А. Соединив полученную точку с началом координат, получаем ВАХ линейного элемента I₃ = f (U₃).

Далее строим общую ВАХ цепи с учетом схемы соединения элементов. В цепи соединение смешанное. Поэтому графически «сворачиваем» цепь. Начинаем с разветвленного участка. Нелинейные элементы соединены параллельно, их ВАХ I₁ = f (U₁) и I₂ = f (U₂). С учетом этого строим общую для них ВАХ. Для этого задаемся напряжением и складываем токи при этом напряжении. В результате получаем множество точек и по ним строим ВАХ I₃ = f (U_1,2).

Далее мы имеем характеристики линейного элемента I₃ = f (U₃) и нелинейного I₃ = f (U_1,2), которые соединены между собой последовательно. Строим для них общую ВАХ. В данном случае задаемся током и складываем напряжения. По полученным точкам строим ВАХ цепи I₃ = f (U).

Дальнейший расчет цепи производим по полученным графикам.

Чтобы найти токи и напряжения на всех элементах цепи, поступаем так: по оси напряжений находим значение напряжения, равное 120 В (точка «а»).Из этой точки восстанавливаем перпендикуляр до пересечения с общей ВАХ I₃ = f (U) (точка «в»). Из этой точки «в» опускаем перпендикуляр на ось тока (точка «с»). Отрезок «ос» дает нам искомое значение общего тока I₃ = 2,25 А. Перпендикуляр, опущенный из точки «в», пересекает ВАХ I₃ = f (U₃) и I₃ = f (U_1,2) в точках «f» и «d». Опуская перпендикуляры из этих точек на ось напряжения, получим напряжения на каждом участке цепи: U_1,2 = 30 В; U₃ = 90 В, но U_1,2 = U₁ = U₂, т.к. нелинейные элементы соединены параллельно. Перпендикуляр, опущенный из точки «f» на ось напряжений, пересекает ВАХ I₁ = f (U₁) и I₂ = f (U₂) в точках «n» и «m». Опустив перпендикуляры из этих точек, получаем токи I₁ = 0,75 А и I₂ = 4,25 А.

В результате имеем следующие значения токов и напряжений на всех элементах цепи: I₁ = 0,75 А; I₂ = 4,25 А; I₃ = 2,25 А; U₁ = 30 В; U₂ = 30 В; U₃ = 90 В.

3.3 Расчет линейных однофазных цепей переменного тока

Дано: U_m = 54В; ш_u =; R₁ = 10Ом; R₂ = 20Ом; L₁ = 31,8мГн; L₂ = 50,9мГн;

С₁ = 318мкФ; С₂ = 199мкФ Определить: x_l1; x_l2; x_c1; x_c2; I₁; I₂; I₃; I₄

Реактивное сопротивление элементов цепи

X_l1 = 2ПfL₁ = 2*3,14*50*31,8*10^-3 = 9,98 Ом? 10 Ом

X_l2 = 2ПfL₂ = 2*3,14*50*50,9*10^-3 = 15,98 Ом ?20 Ом

X_c1 = 10 Ом

X_c2? 25 Ом Расчет токов в ветвях цепи выполняется методом эквивалентных преобразований Находим комплексные сопротивления ветвей, затем участков цепи и всей цепи

Z₁ = -jX_с1 = -j10 = 10e^-j90° Ом

Z₂ = R₂ = 20 = 20e^j0° Ом

Z₃ = jL₁ = j10 = 10e^j90° Ом

Z₄ = -jX_c2 = -j25 = 25e^-j90° Ом

Z₅ = jL₂ = j20 = 20e^j90° Ом

Z₆ = R₁ = 10 = 10e^j0° Ом

Z_4,5 = = = = = 100e^j90° = j100 Ом

Z_2б4б5 = Z₂+Z_4,5 = 20+j100 = 101,98e^j78,4° Ом

Z_3,2,4,5 = = = = 9,12e^j89° =0,15+j9,11 Ом

Z_экв = Z₁+Z_3,2,4,5,+Z₆ =4,02-j2,07+10=-j10+0,15+j9,11+10=10,15-j0,89=10,18e^-j5° Ом

Выразим действующее значение напряжений в комплексной форме

U = U_m/e^jш = 54/e^j60° = 38,29e^j60° В Выражаем токи ветвей и общий ток цепи Э₁ = Э₆

Э₁ = = = 3,76e^-j65° A

Определим напряжение U_bd

U_bd = Э₁*Z_3,2,4,5 = 3,76e^j65°*9,12e^j89° = 34,29e^j154° В Определим токи Э₂; Э₅

Э₂ = = = 0,33e^j75б6° А Э₅ = = = 3,42e^j64° А Определим напряжение U_cd

U_cd = Э₂*Z_4,5 = 0,33e^j75б6°*100e^j90° = 33e^j165б6° В Определим токи Э₃; Э₄

Э₃ = = = 1,32e^j255б6° А Э₄ = = = 1,65e^j75б6° А Уравнение мгновенного значения тока источника

i = Im*sin (щt+ш_i1)

i = *3,76sin (щt+65°) = 5,3sin (щt+65°) A

Баланс мощностей Комплексная мощность цепи

S = U*I₁* = 38,29e^j60°*3,76e^-j65°= 143,97e^-j5° = 143,4-j12,53 ВА Где: S_ист = 143,97 ВА; P_ист = 143,4 ВА; Q_ист = 12,53 ВА Активная P_пр и реактивная Q_пр мощность приёмников

P_пр = I²₂R₂+I²₆R₁ = 0,33²*20+3,76²*10 = 2,17+141,37 = 143,54 Вт

Q_пр=I²₁*(-x_c1)+I²₅x_l1+I²₃(-x_c2)+ I²₄x_l2 =3,76²*(-10)+3,42²*10+1,32²*(-25)+1,65²*20=

— 141,37+116,96−43,56+54,45 = -13,52 Вар

P_ист? P_пр 143,4 Вт? 143,54 Вт

Q_ист? Q_пр 12,53 Вар? -13,52 Вар Напряжения на элементах схемы замещения цепи

U_ab = I₁*x_c1 = 3,76*10 = 37,6 В

U_bd = I₅*x_l1 = 3,42*10 = 34,2 В

U_df = I₆*R₁ = 3,76*10 = 37,6 В

U_bc = I₂*R₂ = 0,33*20 = 6,6 В

U_dc = I₄*x_l2 = 1,65*20 = 33 В Строим топографическую векторную диаграмму по комплексной плоскости Выбираем масштаб: MI = 1 А/см; Mu = 10 В/cм

ІI₁ = = = 3,76 см

ІI₂ = = = 0,33 см

ІI₃ = = = 1,32 см

ІI₄ = = = 5,4 см

ІI₅ = = = 3,42 см

ІI₆ = = = 3,76 см

ІU = = = 3,82 см

ІU_ab = = = 2,7 см

ІU_bd = = = 3,42 см

ІU_dc = = = 3,3 см

ІU_df = = = 3,7 см

ІU_bc = = = 0,66 см На комплексной плоскости в масштабе откладываем векторы токов в соответствии с расчетными значениями, при этом положительные фазовые углы отсчитываем по оси (+1) против часовой стрелки, а отрицательные по часовой стрелки. Так, вектор тока Э₁ = 3,76e^j65° A повёрнут относительно оси (+1) на угол 65 и длина его 3,76 см вектор тока Э₂ = 0,33e^j75,6° А повернут относительно оси (+1) на угол 75,6 и длина его 0,33 см и т. д.

Топографическая векторная диаграмма напряжений характерна тем, что каждой точки диаграммы соответствует определенная точка соответствующей цепи. Построение векторов напряжения ведём, соблюдая порядок расположения элементов цепи и ориентируя векторы напряжений относительно векторов тока: на активном сопротивлении ток и напряжение совпадают по фазе, на индуктивном элементе напряжение опережает ток на 90°, а на емкостном ток опережает напряжение на 90°. Направление обхода участков цепи выбираем, как принято, противоположно положительному направлению токов.

3.4 Расчёт трёхфазных электрических цепей переменного тока

3.4.1 Расчёт трёхфазных электрических цепей переменного тока при соединении потребителя треугольником Дано: U_л = 380В; R_сa =100 Ом; R_ab = 80 Ом; xl_ca = 150 Ом; xc_ab = 60 Ом;

xc_cb = 50 Ом Определить:

Э_ab; Э_bc; Э_ca; Э_a; Э_b; Э_c; P; Q; S-?

Модуль фазных напряжений при соединение треугольником равны линейным напряжениям.

U_л= 380 В т. е. U_ab=U_bc=U_ca= 380 В Комплексные напряжения запишем из условия, что вектор U_аb совмещён с действительной осью комплексной плоскости.

U_аb = U_фe^j0° = 380e^j0° В

_bc = U_фe^-j120° = 380e^-j120° В

U_ca = U_фe^j120° = 380e^j120° В Определяем комплексы фазных напряжений

Z_ab = R_ab-jxc_ab = 80-j60 = 100e^-j36,5° Ом

Z_bc = -jxc_bc = -j50 = 50e^-j90° Ом

Z_ca = R_ca+jxl_ca = 100+j150 = 180,27e^j56,5° Ом Определяем фазные токи Э_аb = = = 3,8e^j36,5° = 3,8cos36,5°+3,8sin36,5° = 3,07+j2,23 A

модуль I_аb = 3,8 А; аргумент ?_ab = 36,5°

Э_bc = = = 7,6e^-j30° = 7,6cos (-30°)+7,6sin (-30°) = 6,77-j3,44 A

модуль Э_bc = 7,6 A; аргумент ?_bc = -30°

Э_сa = = = e2,1^j83,8° = 2,1cos63,8°+2,1sin63,8° = 0,95+j1,87 A

модуль Э_сa = 2,1 А; аргумент ?_сa = 63,8°

Линейные токи определяем из уравнений, записанных по первому закону Кирхгофа для узлов A;B;C.

Э_a = Э_ab-Э_ca = 3,07+j2,23−0,95-j1,87 = 2,12+j0,36 = 2,15e^j9,3° A

модуль Э_a = 2,15 А; аргумент ?_a = 9,3°

Э_b = Э_bc-Э_ab = 6,77-j3,44−3,07-j2,23 = 3,7-j5,67 = 6,77e^-j56,5° A

модуль Э_b = 6,77 А; аргумент ?_b = -56,5°

Э_c = Э_ca-Э_bc = 0,95+j1,87−6,77+j, 34 = -5,82+j5,31 = 7,87e^-j42,2° A

модуль Э_c = 7,87 А; аргумент ?_c = -42,2°

Вычисляем мощности фаз и всей цепи

S_ab=U_ab*I_ab*=380*3,8e^-j36,5°=1444e^-j36,5°=1444cos (-36,6°)+1444sin (-36,6°)=

=1212,96-j783,22ВА Где: S_ab = 1444 ВА; P_ab = 1212,96 Вт; Q_ab = -783,22 Вар

S_bc=U_bc*I_bc*=380e^-j120°*7,6e^j30°=2888e^-j90°=2888cos (-90°)+2888sin (-90°)=

=451,68-j2852,18 ВА Где: S_bc = 2888 ВА; P_bc = 451,68 Вт; Q_bc = -2852,18 Вар

S_ca=U_ca*I_ca*=127e^j120°*2,1e^-j83,8°=798e^j56,2°=798cos56,2°+798sin56,2°=

=446,24+j661,54 ВА Где: S_сa = 798 ВА; P_сa = 446,24 Вт; Q_сa = 661,54 Вар

S = S_ab+S_bc+S_сa = 1212,96-j783,22+451,68-j2852,18+446,24+j661,54 =

=2110,88-j2973,86 = 3646,86e^j63,1° ВА Где: S = 3646,86 ВА; P = 2110,88 Вт; Q = -2973,86 Вар Построение векторной диаграммы Выбираем масштаб: MI = 4; Mu = 30

Lu_ab = Lu_bc = Lu_ca = = = 12,66 см

LI_ab = = = 0,95 см

LI_bc = = = 1,9 см

LI_ca = = = 0,52 см

3.5 Исследование переходных процессов в электрических цепях Дано: U = 50 В; R =10⁴ Ом; C = 50 мкФ;

Определить: I = f (t); U_с = f (t); t; Wэ Быстрота заряда конденсатора зависит от параметров цепи и характеризуется постоянной времени заряда конденсатора.

ф = R*C = 50*10^-6*10⁴ = 0,5 с На основании второго закона коммутации получены законы, характеризующие напряжения и ток при заряде конденсатора.

U_с = U_уст+U_cв = U-U = U (1-)

I = i_cв = = I

Где: Uнапряжение источника

U_уст = Uустановившиеся напряжение при заряде конденсатора

U_cв = -U — свободная составляющая напряжения при заряде конденсатора Зарядный ток равен свободной составляющей, т.к. ток установившегося режима = 0(I_уст = 0)

Длительность заряда конденсатора

T = 5*ф = 5*0,5 = 2,5c

Значение напряжений при заряде конденсатора.

t=0; U_c0 = u (1-) = 50(1-) = 0 В

t=ф; U_c1 = U (1-) = 50(1-e^-1) = 31,6 В

t=2ф; U_c2 = U (1-) = 50(1-e^-2) = 43,2 В

t=3ф; U_c3 = U (1-) = 50(1-e^-3) = 47,5 В

t=4ф; U_c4 = U (1-) = 50(1-e^-4) = 49,05 В

t=5ф; U_c5 = U (1-) = 50(1-e^-5) = 49,65 В Вычисляем значение зарядного тока

I = = = 0,005 A

t=0; i₀ = I = 0,005 A

t=ф; i₁ = I = 0,005e^-1 = 0,0018 A

t=2ф; i₂ = I = 0,005e^-2 = 0,0006 A

t=3ф; i₃ = I = 0,005e^-3 = 0,0002 A

t=4ф; i₄ = I = 0,005e^-4 = 0,9 A

t=5ф; i₅ = I = 0,005e^-5 = 0,5 A

Энергия электрического поля координат

Wэ = = = 0,0011 Дж

Заключение

Законы Кирхгофа не требуют никаких преобразований схемы и пригодны для расчёта любой цепи. Метод контурных токов основан на использование только второго закона Кирхгофа. Это позволяет уменьшить число уравнений на n-1. Метод эквивалентного генератора используется для исследования работы какого-либо участка в сложной электрической цепи.

Метод расчёта нелинейных (неуправляемых) электрических цепей постоянного тока производится графическим методом. Свойства не линейных неуправляемых элементов определяется видом ВАХ. При расчёте сложный цепей с одним источником целесообразно использовать метод преобразований сложной цепи в простейшую. Трёхфазная система применяется во всём мире для передачи и распределения энергии, обеспечивая наиболее экономическую передачу электрической энергии, что позволяет создать надёжные в работе и простые по устройству электродвигатели, генераторы и трансформаторы. Выбор схемы трёхфазного приёмника производится путём сравнения номинального напряжения обмоток приёмника с номинальным напряжением сети. Соединения обмоток звездой позволяет экономить материалы для электрической изоляции обмоток так как на обмотки попадает напряжение в раз меньше чем при схеме треугольника. Поэтому в высоко чувствительных установках принято применять звезду, а там где большие токи выгодней применять треугольник.

1. Ф. Е. Евдокимов «Теоретические основы электротехники», Москва, «Энергия», 1998

2. И. И. Мансуров, В. С. Попов «Теоретическая электротехника», Москва, «Энергия», 1996

3. Г. В. Зевке, П. А. Цанкин, А. В. Нетушил, С. В. Страхов «Основы теории цепей», Москва, Энергоатомиздат, 1989