Расчет оптимальной структуры плана производства продукции

Лабораторная работа № 1

Расчет оптимальной структуры плана производства продукции Мурашко В.В.

Цель работы:

· закрепление теоретических знаний по теме «Формирование производственной программы»;

· ознакомление с экономико-математической моделью задачи определения оптимальной структуры плана производства продукции в номенклатуре и стоимостных показателях по установленным критериям оптимальности на основе применения методов линейного программирования;

· приобретение практических навыков в формализации и решения подобных задач.

Ответы на контрольные вопросы:

1. Для каких целей разрабатываются экономические модели объектов или экономических явлений?

Для изучения различных экономических явлений используются их упрощенные формальные описания, называемые экономическими моделями. При разработке экономических моделей выявляют существенные факторы, определяющие суть исследуемого явления и абстрагируются от факторов, несущественных для решения поставленной проблемы. Модель — это условный образ объекта, построенный с целью упрощения его исследования. Она позволяет показать, что будет с изучаемым объектом через известный период, через месяц, квартал, год.

2. Назовите факторы, которые использованы при разработке модели задачи «определения оптимальной структуры плана производства продукции»

При разработке данной модели оптимизации структуры плана производства учитываются следующие факторы:

1) цены выпускаемых изделий остаются неизменными на протяжении планируемого периода и, таким образом, не зависят от объема продаж;

2) затраты, включаемые в себестоимость, остаются неизменными и не зависят от объема производства изделий;

3) воздействие на ситуацию случайных факторов не учитывается;

4) интересы субъекта хозяйствования ограничиваются одной целью;

5) все ресурсы, кроме отнесенных к лимитирующим по условию задачи, могут свободно приобретаться на рынке.

3. Что такое производственная программа?

Производственная программа (план производства продукции) в натуральном выражении характеризуется номенклатурой выпускаемой продукции с указанием количества единиц изделий по каждой позиции номенклатуры. Одновременно в плане производства разрабатываются и стоимостные показатели, которые выступают в качестве обобщающих, с их помощью определяется общий объем производства в стоимостном выражении за период, также на основании стоимостных показателей рассчитываются темпы роста, показатели производительности труда ряд других.

4. Что такое валовая, товарная, реализованная и чистая продукция?

Валовая продукция — общий объем выполненных работ на предприятии в стоимостном выражении за определенный период времени независимо от степени готовности продукции.

Реализованная продукция — это объем отгруженной и (или) оплаченной потребителем продукции в ценах предприятия без учета косвенных налогов.

Товарная продукция — объем полностью законченной производством продукции в ценах предприятия без учета косвенных налогов.

Чистая продукция — вновь созданная стоимость на предприятии. Включает оплату труда, отчисления в бюджет и социальные фонды, прибыль.

5. Назовите факторы, которые в действительности оказывают влияние на формирование программы, но не включены в модель задачи.

Факторы, оказывающие влияние на формирование производственной программы, но не включающиеся в модель задачи:

o спрос на рынке и его колебания;

o производственные мощности предприятия;

o изменение затрат на производство в зависимости от объема выпуска товаров;

o затруднения, связанные с приобретением сырья и материалов на рынке, поиском поставщиков.

6. Поясните понятие «критерий оптимизации», что он выражает, почему так называется?

Оптимизация предполагает выбор и обоснование критерия оптимальности. Критерий оптимальности представляет собой показатель, на который не наложены ограничения. Количественное значение критерия оптимальности является основой для принятия решения. В том случае, если несколько показателей выбираются в качестве критериев оптимальности, задача относится к классу многокритериальных.

7. Что выражает целевая функция, как она формируется?

Целевая функция — максимизируемая или минимизируемая величина, отражающая интересы лица, принимающего решения (ЛПР). Эту функцию принято называть целевой потому, ибо ее максимизация или минимизация часто есть формальное выражение какой-то цели ЛПР, например, максимизация объема производства продукции. Целевая функция позволяет определить конкретный показатель, который будет являться критерием оптимальности. В качестве критериев оптимальности могут быть использованы следующие показатели: «максимум выпуска продукции в натуральном выражении», «максимум реализованной продукции»; «максимум товарной продукции»; «максимум прибыли»; «минимум себестоимости»; другие критерии.

Целевые функции для решения однокритериальных задач представляются в виде равенств, стремящихся к максимизации или к минимизации:

· по критерию «максимум выпуска продукции в натуральном выражении»:

· по критерию «максимум выпуска товарной (реализованной) продукции»:

· по критерию «минимум себестоимости»:

· по критерию «максимум прибыли»:

8. Для каких целей определяются ограничения целевой функции?

При решении задачи оптимизации должны учитываться неизбежные ограничения на используемые ресурсы, которые формально записываются в виде линейных неравенств.

Ограничения по пропускной способности оборудования обусловлены располагаемым фондом времени работы оборудования в плановом периоде исходя из его количества, сменности работы предприятия, потерями времени на техническое обслуживание и прочее. В рассматриваемой постановке считаем, что эти расчеты выполнены по каждой группе оборудования на этапе определения производственной мощности предприятия, и по каждой группе предприятие располагает фондом времени работы в планируемом периоде. В систему ограничения включаем не все группы оборудования, на которых проходят обработку изделия, а только лимитирующие, ограничивающие пропускную способность предприятия или его структурных подразделений. В общем виде ограничение могут быть записаны в виде следующих неравенств:

1) Ограничения по лимитирующему оборудованию

2) Ограничения по материалам:

3) Ограничения по минимальному выпуску продукции:

4) Ограничения по максимальному выпуску продукции:

Xj X max j

Ограничения по неотрицательности

0 Xj.

производственный программа оптимальный план

9. На какой период разрабатывается «оптимальная структура плана производства продукции», почему?

Временной период, на который рассчитывается план производства, является коротким. Это такой временной отрезок, на протяжении которого остаются неизменными состав и стоимостные показатели основных средств предприятия. Другими словами, на протяжении этого периода не происходит изменения в составе оборудования, т. е. не выбывают действующие и не вводятся новые единицы оборудования, а также не изменяется численность работающих.

Таблица 1 — Нормы расхода и доступность лимитирующих ресурсов в плановом периоде

Таблица 2 — Значения цены, себестоимости и прибыли на единицу продукции

Расчет оптимальной структуры плана по критерию «максимум прибыли»

Используя исходные данные, формируем экономико-математическую модель.

Целевая функция:

П (X) = 17,1*Xi + 14,0*X₂ max

ОГР:

1) 1,31X₁ + 2,31X₂ 9300;

2) 1,87X₁ + 3,16X2 11 800;

3) 0,37X₁ + 0,38X₂ 2100;

4) 3,6X₁ + 1,82X₂ 14 600;

5) X₁? 100;

6) X₂? 50;

7) X₁? 0; X₂? 0.

Решим задачу графоаналитическим способом.

В двухмерной системе координат на оси абсцисс OXi откладываем в принятом масштабе объемы производства изделия X (1), на оси ординат ОХг — изделия X (2). Поскольку объемы производства не могут быть отрицательными, что подтверждается ограничением 7), решение будет находиться в области, ограниченной осями координат.

Все ограничения представляют уравнения прямых линий.

Определяем прямые, характеризующие наши ограничения и наносим эти прямые линии на график.

Оптимальный вариант плана производства находится в пределах заштрихованной области на рисунке 1.

Согласно правилам линейного программирования, экстремальными свойствами обладают только вершины многоугольника АВСД. Поэтому дальнейшим этапом решения задачи является определение значений переменных X1 и Х2 в этих четырех вершинах и расчет соответствующих величин целей функции.

Вершине, А соответствуют значения X1= 100, Х₂ = 50, отсюда П (Х) = 17,1*100 + 14*50 = 2410 тыс. руб.

Вершине В соответствуют значения X1 = 100, Х2 = 3675, отсюда П (Х) = 17,1*100 + 14*3675 = 53 160 тыс. руб.

Вершине С соответствуют значения X1 = 3028, Х₂ = 1942, отсюда П (Х) = 17,1*3028 + 14*1942 = 78 967 тыс. руб.

Вершине Д соответствуют значения X1 = 4030, Х2 = 50, отсюда П (Х) = 17,1*4030 + 14*50 = 69 613 тыс. руб.

Анализируя полученные результаты, приходим к выводу, что X1 = 3028, Х2 = 1942 удовлетворяют заданным ограничениям и это позволяет рассматривать их в качестве оптимальных для заданного критерия — максимизация прибыли. Таким образом, принимаем для планирования N_х1 = 3028 шт., N_х2 = 1942 шт. При этом плановая прибыль за от реализации изделий за период составит П = 78 967 тыс. руб.

По результатам расчета составим производственную программу на месяц, таблица 3.

Таблица 3 — План производства на месяц по критерию «максимум прибыли»

Произведем анализ использования лимитирующих ресурсов и рассчитаем загрузку в планируемом периоде оборудования и степень использования материального ресурса.

Рассчитаем коэффициент расходования лимитирующих ресурсов на запланированный период по каждому материалу.

Сталь: 1,31*3028 + 2,31*1942 = 8452,7 кг.

К_р = 8452,7/9300 = 0,91

Чугун: 1,87*3028 + 3,16*1942 = 11 799,08 кг.

К_р = 11 799,08/11 800 = 0,9999

Алюминий: 0,37*3028 + 0,38*1942 = 1858,32 кг.

К_р = 1858,32/2100 = 0,88

Станкоемкость: 3,6*3028 + 1,82*1942 = 14 435,24 кг.

К_з.об. = 14 435,24/14 600 = 0,99

Проведенный анализ показал, что имеются неиспользованные ресурсы. Увеличение резерва таких ресурсов, как алюминий и сталь, позволит более эффективно использовать остальные ресурсы, при этом увеличится программа выпуска, а следовательно, и прибыль.

Осуществим решение данной задачи симплекс методом с использованием пакета программ ЭВМ, например в меню электронной таблицы Exel, используя команду «Поиск решения» (рисунок 2) и сравним расчеты.

Рисунок 2 — Решение задачи с помощью команды Поиск решения

Анализируя полученные результаты, приходим к выводу, что X1 = 3093, Х2 = 1903 удовлетворяют заданным ограничениям и это позволяет рассматривать их в качестве оптимальных для заданного критерия — максимизация прибыли. Таким образом, принимаем для планирования N_х1 = 3093 шт., N_х2 = 1903 шт. При этом плановая прибыль от реализации изделий за период составит П = 79 544 тыс. руб.

Решив данную задачу двумя методами (графоаналитическим и с помощью команды Поиск решения), можно заметить, что конечные результаты практически совпадают: в первом случае X1 = 3028 шт., Х2 = 1942 шт., П = 78 967 тыс. руб., а во втором — X1 = 3093 шт., Х2 = 1903 шт., П = 79 544 тыс. руб. Однако все же следует признать, что более точный результат можно получить при использовании команды Поиск решения.

Расчет оптимальной структуры плана по критерию «максимум товарной продукции»

Целевая функция:

П (Х) = 36*X1 + 25,5* Х₂

ОГР:

1) 1,31X₁ + 2,31X₂ 9300;

2) 1,87X₁ + 3,16X2 11 800;

3) 0,37X₁ + 0,38X₂ 2100;

4) 3,6X₁ + 1,82X₂ 14 600;

5) X₁? 100;

6) X₂? 50;

7) X₁? 0; X₂? 0.

Как можно заметить, структура экономико-математической модели остается той же, что и для предыдущего решения, независимо от принятой целевой функции, что облегчает проведение многовариантных расчетов. График, содержащий линейные ограничения и область допустимых решений будет в точно такой, как и для предыдущего решения. Нам остается только для продолжения решения задачи определить значений переменных X₁ и Х₂ в четырех вершинах многоугольника АВСД и рассчитать соответствующие величины целей функции.

Вершине, А соответствуют значения X1= 100, Х₂ = 50, отсюда П (Х) = 36*100 + 25,5*50 = 4875 тыс. руб.

Вершине В соответствуют значения X1 = 100, Х2 = 3675, отсюда П (Х) = 36*100 + 25.5*3675 = 97 312,5 тыс. руб.

Вершине С соответствуют значения X1 = 3028, Х₂ = 1942, отсюда П (Х) = 36*3028 + 25,5*1942 = 158 529 тыс. руб.

Вершине Д соответствуют значения X1 = 4030, Х2 = 50, отсюда П (Х) = 36*4030 + 25,5*50 = 146 355 тыс. руб.

Анализируя полученные результаты, приходим к выводу, что X1 = 3028, Х2 = 1942 удовлетворяют заданным ограничениям и это позволяет рассматривать их в качестве оптимальных для заданного критерия — максимизация товарной продукции. Таким образом, принимаем для планирования N_х1 = 3028 шт., N_х2 = 1942 шт. При этом плановая величина товарной продукции за период составит ТП = 158 529 тыс. руб.

По результатам расчета составим производственную программу на месяц, таблица 4.

Таблица 4 — План производства на месяц по критерию «максимум товарной продукции»

Анализируя полученные данные, можно сделать вывод, что оба плана, рассчитанные по различным критериям оптимальности, являются оптимальными.

Выводы: выполнив данную лабораторную работу, ознакомилась с экономико-математической моделью задачи определения оптимальной структуры плана производства продукции в номенклатуре и стоимостных показателях по установленным критериям оптимальности на основе применения методов линейного программирования, приобрела практические навыки в формализации и решения подобных задач.

Задачу формирования и оптимизации производственной программы решила двумя методами: по критерию «максимум прибыли» и по критерию «максимум товарной продукции». В частности, провели расчеты различными методами: графическим, при помощи программы Exel. Анализ полученных результатов показал, что наиболее точное решение дает Поиск решения.

Расчет оптимальной структуры плана производство продукции производиться при Х1 = 3028 шт., Х2 = 1942 шт., при этом П = 78 967 тыс. руб.