Решение задач методами математического анализа

Задача 1

Уровень квалификации рабочих механического завода характеризуется следующими данными:

Определить средний уровень квалификации по каждому цеху:

а) токарей; б) фрезеровщиков; в) общей совокупности.

Решение: запишем таблицу Таблица 1. Данные об уровне квалификации рабочих.

Вычислим средний уровень квалификации по каждому цеху по формуле средней арифметической взвешенной:

• 1 =Х1 *fi / Х1 = 318 / 120 = 2,65
• 2 =Х2 *fi / Х2 = 312 / 126 = 2,476
• 3 =Х3 *fi / Х3 = 198 / 80 = 2,475
• 4 =Х4 *fi / Х4 = 200 / 90 = 2,222

В целом средний разряд =Хi *fi / X i = (318 + 312 + 198 + 200) / (120 + 126 + 80 + 90) = 1028 / 416 = 2,471.

Ответ. Средний разряд токарей 1 -го цеха равен 2,65, 2 — го цеха — 2,476, фрезеровщиков 1-го цеха — 2,475, 2-го цеха — 2,222., в целом по заводу средний разряд составил 2,471.

Вывод. Для расчета применили формулу.

• 1) средней арифметической взвешенной, т.к. известен знаменатель, но неизвестен числитель fi,
• 2) средней гармонической взвешенной, т.к. известен числитель данного отношения средней, но неизвестен знаменатель / Xi.

Cредний % выполнения плана составил 101,818%, т. е. план перевыполнен на 1,818%.

Средний % продукции высшего сорта составил 91,821%.

Задача 2

Добыча руды в объединении за разные годы составила, тыс.т.:

Определить среднегодовые темпы роста и прироста добычи руды за периоды 2000;2002 гг.,.

2003;2004 гг. и 2000;2004 гг.

Решение Определим Среднегодовые темпы роста добычи руды в объединении за периоды а) 1999;2002гг.

= * 100% = 100* = 100*(395 / 298)1/3 = 1,099*100 =109,9%.

б) 2003;2004 гг.

= * 100% = 100* = 100*(310 / 395) = 0,785*100 =78,5%.

б) 2000;2004гг.

= * 100% = 100* = 100*(310 / 298)1/ 5 = 1,008*100 = 100,8%.

Вывод. Показатели среднегодового темпа роста указывают на то, что происходило увеличение добычи руды за рассматриваемый период с 1999;2002 г. г. 109,9% и с 2000;2004 г. г. 100,8%, снижение добычи в период с 2003;2004гг 78,5%.

Задача 3

арифметический взвешенный индекс ряд распределение Продажа картофеля на рынках двух городов характеризуется следующими данными:

Вычислите: 1) Индекс цен переменного состава; 2) индекс цен постоянного состава 3) индекс структурных сдвигов. Поясните различия между полученными индексами.

Решение. Перепишем таблицу в виде:

Таблица — Данные о ценах и объемах продажи картофеля на рынках двух городов.

Определим индекс цен переменного состава по формуле:

= =: , =: ;

= = = 181,818 руб. = = 54 000 / 220 = 245,455 руб.,.

=: = = 0,741 (74,1%).

Вывод. 1) Средняя цена реализации картофеля на рынках по 2- городам в целом снизилась на (100 — 74,1) = 25,9%.

2) Индекс постоянного состава:

Ip = = = 0,784 (78,4%).

= 300*140 + 200*300 = 42 000 + 60 000 = 102 000 тыс. руб.

В отчетном периоде цены в среднем снизились на (100,0 — 78,4) = 21,6%.

3) Индекс структурных сдвигов:

I стр =: = = 231,818: 245,455 = 0,944 (94,4%).

Структурные сдвиги в реализации объема картофеля по отдельным городам вызвали снижение средней цены в отчетном периоде на (100 — 94,4) = 5,6%.

Связь индексов:

= Ip I стр, = 0,784 * 0,944 = 0,741.

Полученные результаты показывают, что рост в декабре средней цены продажи картофеля на 25,9% обусловлен: с одной стороны снижением цен на 5,6% в результате структурных сдвигов в объеме реализации, и с другой — снижением в среднем на 21,6% цен по отдельным городам.

Задача 4

По приведенным данным постройте ряды распределения:

a) предприятия отрасли по проектной мощности.

Построить ряды распределения предприятий по проектной мощности.

Вариационный ряд имеет вид:

Найдем Математическое ожидание.

= = 1573,4 / 25 = 62,936.

найдем размах выборки.

R =Xmax — Xmin = 200 — 14 = 186.

длина интервала.

h = R / 6 = 186 / 6 = 31.

Запишем таблицу, где.

x0 = xmin = 14, x1 = x0 +h = 14+31 = 45,.

x2 = x1 +h = 45 + 31 = 76, x3 = x2 +h = 76+31 = 107,.

x4 = x3 + h = 107 + 31 = 138,.

x5 = x4 +h = 138+31 = 169, x6 = x5+h = 169+31 = 200 = x max.

Решение построим ряд распределения Запишем таблицу в виде Таблица 1 — Распределение предприятий по проектной мощности.

Рисунок — Гистограмма частот Вывод. По данной отрасли максимальное число предприятий (12) относятся к проектной мощности (14−45), минимальное к проектной мощности (138−169) — 0 предприятий. Средняя проектная мощность 62,936 тыс.шт.

Задача 5

Имеются данные по предприятию химической промышленности:

Вычислить относительные величины выполнения плана:

• а) по каждому виду продукции в натуральном выражении;
• б) по всей продукции предприятия в стоимостном выражении.

Решение:

Таблица — Данные по предприятию.

Процент выполнения плана по каждому виду в натуральном выражении по формуле:

.

Пример: = 102,4% (см. таблицу, колонка № 6).

Процент выполнения плана по всей продукции в стоимостном выражении.

(5160,6 + 9257,6 +8066,4) 100 / (5040 + 9024 + 7800) = 22 484,6 *100 / 21 864 = 102,839%.

Вывод: По предприятию в отчетном периоде по сравнению с базисным план перевыполнен в натуральном выражении на 2,4%, 2,6%, 3,4% соответственно по каждому виду продукции, в целом по всей стоимости план перевыполнен на 2,839%.

Елисеева, И.И., Егорова, И. И и др. Статистика: Учебник/ Под ред.проф. И. И. Елисеевой. — М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2004. 448 с.

Ефимова, М.Р., Петрова, Е.В., Румянцев, В. Н. Общая теория статистики: Учебник. — М.: ИНФРА — М, 1996 — 416 с.

Общая теория статистики: Статистическая методология в изучении коммерческой деятельности: Учебник/ Под ред. О. Э. Башиной, А. А. Спирина. — 5-е изд., доп. и перераб. — М.: Финансы и статистика, 1999. — 440 с.

Теория статистики: Учебник/ Под. ред. Проф. Р. А. Шмойловой. — 3-е изд., перераб. — М.: Финансы и статистика, 1999. — 560 с.