Расчет переходных процессов в дискретных системах управления

Предмет:.

" Теория автоматического управления" .

Тема:.

" Расчет переходных процессов в дискретных системах управления" .

Рассмотрим схему дискретной системы автоматического управления, приведенную на рис. 1.

Рис. 1

Для выхода системы можно записать следующие соотношения между входным и выходным сигналом

(1)

Выражение для выходной величины во временной форме имеет вид

(2)

Определим переходную функцию дискретной системы. Дискретное преобразование единичного воздействия x (t) = 1 (t)равно x (z) = z/(z-1)..

Переходную функцию определим из соотношений

(3)

Получили выражение для расчета переходной функции дискретной системы.

Определим функцию веса дискретной системы. Дискретное изображение единичного импульса x (t) = (t) равно x (z) = 1.

Весовую функцию определим из соотношений

(4)

Получили выражение для расчета функции веса дискретной системы.

Установившееся значение временных характеристик можно определить с помощью теоремы о конечном значении дискретной функции.

Для переходной функции

. (5)

Для весовой функции

(6)

Определим связь между переходной функцией и функцией веса дискретной системы. Для области zможно записать следующие соотношения.

Откуда

(7)

Как следует из выражения (7) функция веса в каждый дискретный момент времени может быть определена как разность между текущим и предыдущим значением переходной функции.

Пример 1. Для заданной системы (рис. 2.) рассчитать переходный процесс, если x (t) = 1 (t)..

Рис. 2.

Решение Выходной дискретный сигнал равен:

При этом Если x (t) = 1 (t) то. Для.

Подставим x (z) и K (z,) в выражение для выходного дискретного сигнала Определим значения полюсов — z_k их число — n и кратность — m: z₁ = 1; n = 1; m = 2..

Выражение для переходного процесса имеет вид:

Пример 2. Рассчитать переходный процесс в заданной дискретной системе (рис. 3.), если x (t) = 1 (t)..

Решение:

Выходной дискретный сигнал равен:

При этом

.

Если x (t) = 1 (t), то .

Для

Подставим x (z) и K (z,) в выражение для выходного дискретного сигнала

Выражение для переходного процесса имеет вид:

Пример 3. Рассчитать переходный процесс в заданной дискретной системе (рис. 4), если x (t) = 1 (t)..

Рис. 4

Решение:

Выходной дискретный сигнал равен:

При этом

Если x (t) = 1 (t), то .

Если, то, где

Подставим x (z) и K (z,) в выражение для выходного дискретного сигнала

Определим значения полюсов — z_k их число — n и кратность — m:.

z₁ = 1; z₂ = d; n = 2; m = 1.

Выражение для переходного процесса имеет вид:

Пример 4. Рассчитать переходный процесс в заданной дискретной системе (рис. 5), если x (t) = 1 (t).

Рис. 5.

Решение:

Выходной дискретный сигнал равен:

При этом Если x (t) = 1 (t), то .

Передаточная функция соединения равна:

Дискретная передаточная функция соединения равна:

Подставим x (z) и K (z,) в выражение для выходного дискретного сигнала Определим значения полюсов — z_k их число — n и кратность — m: z₁ = 1; n = 1; m = 2..

Выражение для переходного процесса имеет вид:

Пример 5. Рассчитать переходный процесс в заданной дискретной системе (рис. 6), если x (t) = 1 (t).

Рис. 6.

Решение:

Определим передаточную функцию разомкнутой непрерывной части:

Выполним дискретное преобразование:

Передаточная функция замкнутой дискретной системы:

Подставим x (z) и K_з(z,) в выражение для выходного дискретного сигнала Определим значения полюсов — z_k их число — n и кратность — m:.

z₁ = 1, z₂ = 1 - k_v T = A, n = 2, m = 1.

Выражение для переходной функции имеет вид:

Пример. Для заданной системы (рис. 7) рассчитать переходный процесс, если x (t) = 1 (t), а алгоритм функционирования цифровой части описывается уравнением:

X Y

Рис. 7

Решение: Исходную схему можно представить в виде (рис. 8)

Рис. 8

Определим передаточную функцию разомкнутой непрерывной части

Выполним дискретное преобразование

Определим передаточную функцию цифрового автомата, в соответствии с алгоритмом его функционирования

Определим передаточную функцию разомкнутой дискретной системы:

Передаточная функция замкнутой дискретной системы:

где s₁, s₂ корни характеристического уравнения

при этом s₁+ s₂ = 1+a+k_v T; s₁ s₂ = a.

Подставим x (z) и K_з(z,) в выражение для выходного дискретного сигнала

Определим значения полюсов — z_k их число — n и кратность — m.

z₁=1, z₂=s₁, z₃=s₂, n=2, m=1.

Выражение для переходной функции имеет вид:

Литература

Бронштейн И.Н., Семендяев К. Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов. — М.: Наука, 1989.

Васильев В.И., Ильясов Б. Г. Интеллектуальные системы управления: Теория и практика: Учеб. пособие для вузов. Издательство: Радиотехника, 2009. — 392 с.

Голенцев Э., Клименко С. В. Информационное обеспечение систем управления. ФЕНИКС, 2002. — 350 с.

Долятовская В.Н., Долятовский В. А. Исследование систем управления, 2004. — 255 с.