Описание корреляционного метода идентификации

Суть корреляционного метода идентификации заключается в анализе реакции исследуемого объекта на случайное воздействие с характеристиками, приближенными к характеристикам «белого шума», с целью определения передаточной функции объекта. В основе метода лежит уравнение статистической идентификации линейного динамического объекта (уравнение Винера-Хопфа):

(4.1).

где w (t) — импульсная характеристика (ИХ) объекта;

Bv (t) — автокорреляционная функция (АКФ) сигнала v (t), поступающего на вход объекта;

Byv (t) — взаимная корреляционная функция (ВКФ) сигналов на выходе (y (t)) и входе (v (t)) объекта.

Использование в качестве входного сигнала случайного воздействия с бесконечным и равномерным амплитудным спектром, равным единице, и нулевым математическим ожиданием («белый шум») сводит соотношение (4.1) к более простому:

(4.2).

Таким образом, вычисляя ВКФ двух сигналов, одним из которых является «белый шум», поданный на вход исследуемого линейного объекта, а вторымвыходная реакция объекта на него, можно получить импульсную характеристику исследуемого объекта.

На основе корреляционных функций сигналов на входе и выходе объекта можно получить не только ИХ объекта, но и его частотную характеристику (ЧХ). Применив преобразование Фурье (ПФ) по отношению к уравнению свертки (4.1), можно получить следующее соотношение:

(4.3).

Откуда амплитудная комплексная частотная характеристика исследуемого объекта при условии использования «белого шума» в качестве входного сигнала может быть определена следующим образом:

Т.е., подвергнув преобразованию Фурье ВКФ входного и выходного сигналов объекта при условии, что входным сигналом является «белый шум», можно получить АЧХ исследуемого объекта.

Другой способ определения комплексной ЧХ, характеризующийся меньшими вычислительными затратами по сравнению с выше рассмотренным вариантом, состоит в получении необходимой информации, минуя процедуры вычисления АКФ и ВКФ, на основании соотношения (4.5):

(4.5).

Использование соотношения (4.5) для определения ЧХ объекта более предпочтительно, поскольку требует меньшего количества вычислений, и обеспечивает более высокую точность в связи с уменьшением ошибок округления в промежуточных результатах.

Практическая реализация «белого шума» сопряжена с рядом трудностей, связанных с его бесконечной продолжительностью и бесконечным спектром. В практических случаях используют не сам «белый шум», а приближенную аппроксимацию этого идеального сигнала. Одним из самых легко реализуемых вариантов является псевдослучайный бинарный сигнал — нуль-последовательность максимальной длины (НПМД). Характеристики данного сигнала в определенном частотном диапазоне, определяемом частотой следования и объемом последовательности, близки к характеристикам «белого шума».

«Белый шум» — некоррелированный случайный сигнал с бесконечным и равномерным спектром — используется в качестве специального входного воздействия при идентификации линейных динамических систем методами корреляционных функций.

Существует ряд методик, позволяющих сформировать псевдослучайную числовую последовательность, приближенно аппроксимирующую «белый шум». Одной из наиболее широко применяемых и простых с точки зрения реализации является методика формирования так называемой нуль-последовательности максимальной длины (НПМД) псевдослучайной бинарной (т.е. базирующейся всего на двух вариантах чисел, например, 0 и 1) последовательности, характеризующейся относительно небольшим периодом повтора и автокоррелляционным интегралом, удовлетворительно аппроксимирующим дельта-функцию. Данное свойство НПМД позволяет использовать ее в качестве входного шума в корреляционных методах.

Задача заключается в формировании последовательности из нулей и единиц, удовлетворяющей следующим условиям:

• — количество нулей в последовательности должно приближаться к количеству единиц;
• — при сдвиге копии формируемой последовательности относительно его оригинала на любое количество членов сумма почленных произведений должна быть минимальной за исключением случая с нулевым сдвигом; в последнем случае сумма почленных произведений должна быть максимальной;
• — последовательность должна иметь как можно больший период повтора.

Схема формирования заданной последовательности предполагает использование тактируемого m-разрядного регистра сдвига с обратной связью и операторов суммирования по модулю 2.

Рисунок 1.1 Схема формирования НПМД.

В данной схеме приняты следующие обозначения:

Di — оператор задержки на i циклов квантования ;

? — оператор суммирования по модулю 2 ;

x — двоичная переменная (0 или 1).

Максимальная длина неповторяющейся числовой последовательности, формируемой с помощью данной схемы, составляет N=2m-1 (m — количество разрядов регистра сдвига, при этом одно состояние — со всеми нулевыми значениями — является неприемлемым, тупиковым для данной схемы). В дальнейшем последовательность циклически повторяется.

В зависимости от количества разрядов m используемого регистра сдвига для получения НПМД следует воспользоваться значениями с выходов определенных разрядов.

Сформированная таким образом НПМД характеризуется средним значением, равным N/2. Количество единиц в НПМД на одну больше, чем количество нулей. АКФ данной последовательности несколько отличается от импульса дельта-функции.

Рисунок 1.2 Автокорреляционные функции НПМД (а), НПМДО (б).

Более качественной аппроксимацией «белого шума» является нулевая последовательность максимальной длины с отрицательными элементами (НПМДО). В качестве элементов последовательности используются значения 1 и -1. Ее среднее значение, как и в случае с идеальным «белым шумом», равняется нулю, АКФ по форме близка к дельта-функции.

Практическая реализация рассматриваемого метода средствами цифровой техники предполагает использование комплекса следующих технических средств:

• — источник псевдослучайного сигнала, аппроксимирующего «белый шум»;
• — коррелятор, реализующий операцию вычисления ВКФ по отношению к последовательности дискретных данных (входной шум и выходной сигнал исследуемого объекта) в реальном масштабе времени;
• — элементы выборки-хранения, преобразующие непрерывные сигналы на входе и выходе объекта в последовательность дискретных фиксированных отсчетов с заданным шагом.

В качестве источника входного псевдослучайного сигнала может быть использовано устройство на основе последовательного регистра сдвига, реализованное по приведенной схеме. Выходом данной схемы является некоррелированный двоичный сигнал НПМДО, длительность которого определяется количеством последовательных регистров.

Коррелятор представляет собой устройство, реализующее операции логического сдвига, умножения и суммирования по отношению к элементам исходных дискретных последовательностей: входной (псевдослучайный шум) и выходной (реакция исследуемой системы). Группа элементов задержки может быть реализована на основе параллельного сдвигового регистра. При достаточно большом объеме анализируемых входной и выходной последовательностей на выходе каждого сумматора накапливается величина, соответствующая значению дискретной ВКФ Byv при фиксированном значении задержки iи. Параллельное наблюдение за состоянием каждого из сумматоров позволяет получить последовательность дискретных данных, представляющих собой ВКФ сигналов на входе и выходе исследуемого объекта.

Основу устройства выборки-хранения составляет коммутатор — элемент, передающий сигнал со входа на выход в момент поступления управляющего синхросигнала и фиксирующий его значение в ячейке хранения информации. В цифровом исполнении устройство выборки-хранения дополняется аналогово-цифровым преобразователем.

Рисунок 1.3 Схема практической реализации алгоритма вычисления ВКФ.

Рассмотренная схема позволяет произвести в реальном времени вычисление дискретной ВКФ. Точность результата (качество импульсной характеристики объекта) будет зависеть от быстродействия устройства выборки-хранения (интервала дискретизации Дt), а также от количества отдельных каналов коррелятора n. Информация о ВКФ может быть использована для непосредственной идентификации либо для дальнейшей обработки (например, получения частотных характеристик объекта).