Обратная задача кинематики многозвенного манипулятора

Рассмотрим еще одну задачу. На этот раз из области управления манипулятором робота — обратную кинематическую задачу, в которой требуется определить управление, исходя из заданного целевого положения манипулятора. При этом будем считать, что нас интересует лишь заданная конечная точка, а направление схвата может быть произвольным. Более того, будем полагать, что движение звеньев манипулятора осуществляется в одной плоскости.

Итак, пусть имеется n-звенный манипулятор. Известны длины звеньев a₁, a₂, …a_n.

Рис. 7. n-звенный манипулятор

Требуется определить углы поворота звеньев ₁, ₂, … _n для того, чтобы позиционировать конец последнего звена (схват) в заданную точку M (x_n, y_n).

Координаты i-го звена определяются естественным образом:

или (5).

Рассмотрим, как решается задача для двухзвенного манипулятора в терминах Н-вычислений. Далее приведены результаты вычислительных экспериментов, проведенных В. Н. Солодовниковым и Д. А. Смалем с помощью программы Undef, реализующей решение задач методом недоопределенных вычислений.

Допустим, что длина звеньев манипулятора равна 1 и нам нужно позиционировать его в точку M (1.25, 1.25). Такая система описывается уравнениями.

(6).

Здесь x и y — углы поворота первого и второго звена.

Рис. 8. Двухзвенный манипулятор

Эти уравнения накладывают ограничения на углы в неявной форме. Множество функции интерпретации системы (6) будут выглядеть так:

(7).

Очевидно, что существует 2 решения: одно из них изображено на рисунке, а второе симметрично относительно прямой x = y. Оценочно можно сказать, что одно из решений (для угла x, например) лежит в интервале [0, 0.4] радиан, а второе — в интервале [0.5, 2]. В силу симметрии для угла y можно задать такие же начальные условия в виде мультиинтервала. Таким образом, получаем:

x = {[0;0.4][0.7;2]},.

y = {[0;0.4][0.7;2]}.

Одной из вычислительных особенностей решения такой системы является введение дополнительных ограничений. Функции arccos и arcsin могут порождать бесконечное количество интервалов с периодом 2, поэтому для борьбы с этим введены ограничения на множество значений этих функций — от 0 до 2.

Результатом расчетов являются следующие мультиинтервалы (8 шаг итерации, точность = 10^-6):

x = {[1.27 209, 1.27 209] [1.27 209, 1.27 209] [0.298 703, 0.298 703]},.

y = {[0.298 703, 0.298 703] [0.298 703, 0.298 703] [1.27 209, 1.27 209]},.

т.е. заданная точка может быть достигнута манипулятором, только если угол x равен 0.298 703 радиан или 1.27 209 радиан. Угол y, как и предполагалось, принимает такие же значения.

Характерной особенностью этой задачи является то, что вид решения зависит от числа звеньев и количества степеней из свободы. В простейшем случае двухзвенного манипулятора существует не больше двух его положений, в которых достигается заданная точка. Однако уже в случае работы манипулятора в трехмерном пространстве имеется бесконечное множество решений, которые образуют кривую в трехмерном пространстве.