Расчет показателей надежности и законов их распределения

Федеральное агентство по образованию (Рособразование)

Архангельский государственный технический университет

Кафедра эксплуатации автомобилей и МЛК

(наименование кафедры)

Расчётно-графическая работа

По дисциплине

Основы теории надежности и диагностики

На тему

Расчет показателей надежности и законов их распределения

Руководитель

Кузнецов Н.И.

Архангельск

Задание

По данным, (они представляют собой ресурсы автомобилей или их агрегатов до капитального ремонта в тысячах километров пробега), необходимо:

— определить среднее арифметическое значение ресурса автомобиля до капитального

ремонта;

— рассчитать среднее квадратическое отклонение ресурса;

— определить коэффициент вариации ресурса;

— построить эмпирический закон распределения ресурса;

— подобрать теоретический закон;

— проверить согласие теоретического и эмпирического законов распределений;

— определить доверительный интервал для математического ожидания ресурса.

1. Расчет параметров экспериментального распределения

Число классов статистического ряда определяем по формуле (11):

где N — общее число наблюдений

Принимаем .

Размах выборки для нашего ряда

Значение классового промежутка находим по формуле (12):

Для удобства вычислений принимаем .

Середина классов W — полусумма начала данного класса и начала следующего класса. Середины крайних классов принимаем близкими к наименьшему и наибольшему значениям случайной величины.

Начало Wa и конец Ww класса находим по формулам:

где h-принятая точность измерения случайной величины.

Результаты расчетов сведены в таблицу 1.

Таблица 1 — Cоставление статистического ряда

2. Вычисление среднего арифметического значения и среднего квадратического отклонения

Среднее арифметическое значение случайной величины способом произведений вычисляем по формуле

(13)

где, А — условная средняя, середина модального или близкого к нему класса;

S1 — первая сумма,

а — условные отклонения середин классов, выраженные в классовых промежутках,

Среднее квадратическое отклонение определяем по формуле

(14)

где с — сумма взвешенных квадратов центральных отклонений середин классов от средней ряда, выраженная в квадратах классов промежутков,

;

S2 — вторая сумма,

Результаты расчетов сведены в таблицы 2 и 3.

Таблица 2 — Вспомогательные вычисления для определения

Таблица 3

3. Определение вида закона распределения случайной величины

распределение экспериментальный случайный величина

Закон распределения случайной величины определяют в следующей последовательности:

— выравнивают эмпирический ряд одним из теоретических распределений;

— производят оценку различий эмпирического и теоретического распределений по критериям 2 или .

3.1 Экспоненциальный закон распределения

Теоретические частоты для распределения определяют по формуле

где — экспоненциальная функция, значения которой табулированы;

— условные отклонения середин классов,

.

Результаты расчетов сведены в таблицу 4, выравнивание статистического ряда по экспоненциальному закону приведено на рисунке 1.

Таблица 4 — Выравнивание статистического ряда по экспоненциальному закону

Рисунок 1 — Выравнивание статистического ряда по экспоненциальному закону распределения

3.1.1 Оценка различий эмпирического и теоретического распределений

Методика оценки различий эмпирического и теоретического распределений для различных законов распределения одна и та же.

Для проверки согласованности теоретического и эмпирического распределений чаще всего используют критерий 2 Пирсона, величину которого рассчитывают по формуле

где 02 — стандартные значения критерия, его значения находят по специальным таблицам в зависимости от числа степеней свободы v;

 — эмпирические и теоретические частоты классов соответственно.

Первичное v1 и вторичное v2 числа степеней свободы определяют по следующим формулам:

;; .

где r1, r2 — числа классов до и после объединения классов с малыми теоретическими частотами.

Крайние классы с частотой < объединяют с соседними классами (- минимально допустимая теоретическая частота крайних классов в зависимости от начального числа степеней свободы)

Различия распределений могут считаться случайными, если эмпирический критерий не достигает требуемого порога вероятности. Необходимо ориентироваться на три уровня вероятности: при малой ответственности исследований 1 >= 0,999; при обычной 2 >= 0,99; при большой 3 >= 0,95.

Таблица 5 — Определение различий законов распределения

Следовательно, 02: 13,3; 18,5 при соответственно, 0,99, 0,999

Таким образом, при =0,99 и 0,999 ответственности испытаний 2 больше 02, то есть эмпирическое распределение противоречит экспоненциальному закону распределения.

3.2 Нормальный закон распределения

Таблица 6 — Выравнивание статистического ряда по нормальному закону

Рисунок 2 — Выравнивание статистического ряда по нормальному закону распределения

Таблица 7 — Определение различий законов распределения

Следовательно, 02:11,1; 15,1; 20,5 при соответственно 0,95, 0,99, 0,999

Таким образом, при =0,99 и 0,999 ответственности испытаний 2 меньше 02, то есть эмпирическое распределение не противоречит нормальному закону распределения.

3.3 Распределение Вейбула

Таблица 8 — Выравнивание статистического ряда по распределение Вейбула

Рисунок 3 — Выравнивание статистического ряда по распределению Вейбула

Таблица 9 — Определение различий законов распределения

Следовательно, 02: 15,1; 20,5 при соответственно, 0,99, 0,999

Таким образом, при =0,99 и 0,999 ответственности испытаний 2больше 02, то есть эмпирическое распределение противоречит распределения Вейбула.

Вывод: Эмпирическое распределение соответствует нормальному закону распределения.

4. Определение доверительного интервала для математического ожидания случайной величины

В рассмотренном способе оценки числовых характеристик случайных величин неизвестный параметр определялся одним числом. Такая оценка называется точечной. При оценке надежности машин и оборудования часто требуется не только найти для заданного параметра числовое значение, но и оценить его точность и достоверность. Пусть для параметра X (например, математического ожидания) получена по результатам выборочного обследования точечная оценка этого параметра X.

Требуется определить ошибку замены параметра X его точечной оценкой X. Назначим некоторую вероятность (= 0,9) и определим такое значение ошибки > 0, для которого .

Это равенство означает, что с вероятностью неизвестное значение параметра X попадает в интервал .

Интервал называется доверительным, а — доверительной вероятностью.

Рассмотрим зависимости, используемые при построении доверительных интервалов для параметров случайной величины, распределенной по нормальному закону.

Для математического ожидания границы доверительного интервала определяют по формуле

где t — коэффициент распределения Стьюдента, определяемый по таблицам в зависимости от доверительной вероятности и числа степеней свободы или размера выборки N -1, (t= 1,658)

Доверительный интервал для математического ожидания ресурса согласно формуле:

Iв=(4,812; 5,848)

Вывод:

Таким образом, точное значение ресурса автомобилей или их агрегатов до капитального ремонта с вероятностью 0,99 находится в пределах от 4,812 до 5,848 тыс. км пробега.

Список использованных источников

1. Кузнецов Н. И., Абакумов Н. В. Надежность машин и оборудования: Методические указания и задания к выполнению расчетных работ и задач. — Архангельск: Изд-во АГТУ, 2001. — 36 с.

2. Кузнецов Н. И., Абакумов Н. В. Надежность машин и оборудования: Нормативно справочный материал к выполнению расчетных работ и задач. — Архангельск: Изд-во АГТУ, 2003. — 14 с.