Аппроксимации Эрмита-Паде и обобщенные системы Никишина в теории диофантовых приближений и в теории динамических систем

1. Аппроксимации Паде — это приближения аналитической функции рациональными дробями. Они составляют большой раздел классической теории приближений. Свободные полюсы рациональных дробей хорошо моделируют особенности приближаемой аналитической функции. Поэтому основное предназначение аппроксимаций Паде состоит в эффективном аналитическом продолжении функции, заданной лишь локально своим степенным рядом (см. [1]-[10]).

Аппроксимации Эрмита-Паде — это приближения нескольких аналитических функций рациональными дробями с общим знаменателем. (Существуют и другие аналогичные конструкции, объединенные под этим общим названием.) С точки зрения теории приближений требование общего знаменателя выглядит искуственным. По нашему мнению дело здесь в том, что эти аппроксимации имеют совсем иное предназначение — они призваны решать некоторые конкретные задачи, возникающие в различных областях математики. Именно так аппроксимации Эрмита-Паде возникли исторически. В своей знаменитой работе Ш. Эрмит [11] построил эти аппроксимации с единственной целью — доказать трансцендентность числа е. После работы Эрмита аппроксимации, названные его именем, стали одним из основных инструментов в теории трансцендентных чисел и диофантовых приближений. Достаточно обратиться к работам К. Малера [12],[13], К. Л. Зигеля [14], А. Б. Шидловского [15], Н. И. Фельдмана [16], Г. В. Чудновского [17], Е. М. Никишина [18],[19], Ю. В. Нестеренко [20]. Поэтому большой раздел диссертации посвящен вопросам теории чисел.

Оказалось, что приложения аппроксимаций Эрмита-Паде далеко выходят за рамки теории чисел. Они имеют общематематическое значение. Весьма любопытна связь этих аппроксимаций со спектральной теорией операторов. Эта связь была впервые исследована В. А. Калягиным [21]. Отметим, что в знаменитом исследовании Т. Стилтьеса [22] о непрерывных дробях, по-существу, была доказана первая спектральная теорема. Основы теории ортогональных многочленов были заложены в работах П. Л. Чебышева [23] и А. А. Маркова [24]. Однако прошло много времени прежде, чем был осознан метод обратной спектральной задачи [25] для решения гамильтоновых систем. В диссертации аналогичные задачи решаются с помощью аппроксимаций Эрмита-Паде.

Столь бурное проникновение аппроксимаций Эрмита-Паде в различные разделы математики потребовало ответов и на внутренние вопросы теории. Основной вопрос анализа — это вопрос об асимптотическом поведении аппроксимаций. Для так называемых систем Анжелеско этот вопрос был полностью решен А. А. Гончаром и Е. А. Рахмановым [26]. При этом был разработан новый метод применения теории логарифмического потенциала к изучению асимптотики рациональных аппроксимаций. С другой стороны, Е. М. Никишин [27] ввел новый замечательный класс аналитических функций, который теперь носит его имя. Системы Никишина хорошо моделируют все реальные случаи приложений аппроксимаций Эрмита-Паде. Однако вопрос об асимптотике аппроксимаций для систем Никишина долгое время оставался открытым. Диссертация содержит решение этой задачи.

2. В первой главе полностью описано асимптотическое поведение аппроксимаций Эрмита-Паде для обобщенных систем Никишина в терминах равновесных потенциалов.

Пусть оо i = l,., m, (1) к=О набор формальных степенных рядов. Фиксируем мультиин-декс п = (гсь ., nm) G Z™. Будем искать многочлен Qn{z) со следующими свойствами:

1) Qn Ф 0 ;

2) deg Qn < |n| = ni +. + nm ;

3) для некоторых многочленов Pnj выполняются соотношения:

Rnj = Qnf3 — PnJ =^г + j = 1, m. (2).

Z J.

Тогда Pnj это полиномиальная часть ряда Qnfj, а нахождение многочлена Qn сводится к решению системы |п| линейных однородных уравнений относительно ¡-тг| + 1 неизвестных коэффициентов. Следовательно, нетривиальное решение существует.

Рациональные функции.

Р. n n, j ¦ 1 n, j = -рр, 3 = 1 называются аппроксимациями Эрмита-Паде второго типа или совместными аппроксимациями Паде с общим знаменателем для набора степенных рядов (1). Единственности аппроксимаций, вообще говоря, нет. Если для любого решения имеем deg Qn = |п|, то индекс п называется нормальным. В этом случае существует единственный (с точностью до нормировки) многочлен Qn, и единственный набор аппроксимаций Эрмита-Паде.

Имеются и другие конструкции аппроксимаций Эрмита-Паде. Формальная теория всех таких аппроксимаций изложена, например, в работе К. Малера [28].

Мы будем изучать аппроксимации Эрмита-Паде для систем функций марковского типа: где конечные положительные борелевские меры с компактными носителями на вещественной прямой. Тогда.

— моменты мер Условия (2) равносильны следующей системе соотношений ортогональности:

Будем считать, что меры в] имеют бесконечные носители. В дальнейшем удобно мерами называть не только положительные, но также знакопостоянные меры.

Через А] = A (sj) обозначим минимальный отрезок, содержащий носитель меры Предполагаем, что отрезки Aj удовлетворяют следующему условию: для любых 3 ф к отрезки Aj и А^ или не пересекаются, или совпадают.

Рассмотрим сначала частный крайний случай, когда все отрезки Aj попарно не пересекаются. Соответствующая система марковских функций (3) называется системой Анже-леско [29],[30]. Из соотношений ортогональности (4) следует, что многочлен имеет по крайней мере п^ перемен знака внутри отрезка А]. Следовательно, = п, т. е. все мультииндексы нормальные. Поведение аппроксимаций Эрмита-Паде для систем Анжелеско полностью изучено в работе А. А. Гончара и Е. А. Рахманова [26]. Об аппроксимациях Паде для систем Анжелеско см. также [31],[32].

Рассмотрим другой частный крайний случай, когда все отрезки совпадают: Д1 =. = Дто = Д. В этом случае Е. М. Никишин [27] предложил следующую конструкцию мер. Пусть ^ и — непересекающиеся отрезки вещественной оси, (Т и <�Т'2 — меры с носителями на ^ и соответственно. Определим следующую меру: с1 < (71,(72 >= <72⁰−1.

Для системы отрезков такой, что любые два последовательных отрезка не пересекаются, и мер, а 1,., ат на этих отрезках по индукции определим меры.

8} =< (7ь >=< (Ть < сг2, >>, 1 = 1,., т.

Система марковских функций ^ называется системой Никишина. В [33] Е. М. Никишин исследовал асимптотическое поведение линейных форм для таких систем. Однако, вопрос об асимптотике совместных аппроксимаций оставался открытым. Некоторые результаты были получены в работах [34]-[36]. В § 3 первой главы мы докажем сходимость совместных аппроксимаций Паде для систем Никишина. Дальнейшее развитие этих идей см. в [37].

Обобщенная система Никишина соответствует любой системе отрезков Aj, удовлетворяющей условию (*). Прежде чем дать формальное определение рассмотрим примеры для гп = 3.

Систему Анжелеско мы связываем с графом (а). Ф. «О граф (а).

Кроме корневой вершины этот граф имеет три вершины, соответсвующие дизъюнктным отрезкам 7*2, -Гз с мерами о’ьо^оз ¦ Система Анжелеско определяется мерами вз ~ аз на Аз = 3 ~ 2,3.

Систему Никишина мы связываем с графом (Ь),.

•^з t т О граф (Ь) где Т7! П = 0 и П^з = 0. Эта система определяется мерами.

1 —< сI > на, А = «2 =< о» ь > на Д2 = ^ -53 =< > ма Аз =.

При т = 3 есть еще два графа-дерева © и (с1).

Для графа © имеем ГхП Е2 = 0 и П^з = 0,.

•^з Г.

•.• О граф © а соответствующая ему система марковских функций определяется мерами.

Бх = < <7 > на, А = ^ в2 =< о" 2 > на А2 = ^ «3 =< ^2,0*3 > ма Аз =.

Для графа (с1) имеем ^ П = 0 и ^ П^з = 0, •.•^з / • Я т о граф (?) а соответствующая система марковских функций определяется мерами б'1 =< > на = ^ «2 = < с2 > на Д2 = 5з =< сгЬ? г3 > на Аз = Т7!

Все эти системы являются обобщенными системами Никишина (С1Ч-системами).

3. Дадим формальное определение 0]М-системы.

Пусть — граф-дерево (ниже просто граф) с числом вершин, равным то. Другими словами, (С, это частично упорядоченное множество, удовлетворяюшее следующей аксиоме: каждый непустой отрезок {(3: (3 -< о-} имеет наибольший элемент .

Удобно добавить к графу О корневую вершину: С = С I) где и 0 С — наименьший элемент (5. Будем называть О расширенным графом.

Будем говорить, что элемент, а непосредственно следует за элементом, и будем писать —> а. Обозначим а+ множество всех вершин, непосредственно следующих за а. Будем говорить, что элементы ?3 ф 7 связаны отношением соседства, и будем писать ?3 •н- 7, если (3 и 7 непосредственно следуют за одним и тем же элементом о-, т. е. /3,7 Е.

Пусть каждой вершине, а? С соответствует отрезок Еа вещественной прямой и мера оа с носителем на этом отрезке. Предполагаем, что выполнены следующие условия: г) два отрезка Га и Рр не пересекаются, если вершины, а и ?3 связаны отношением непосредственного следования (а —>• ?3, (3 —> а) или отношением соседства (а (3);

Ц) производная и’а от абсолютно непрерывной составляющей меры иа положительна почти всюду (относительно меры Лебега) на отрезке Ра.

Каждому элементу «ЕС соответствует единственная цепочка элементов вида ш —» 7 —)> ?3 —>•. —)• а.

Положим <? & (31 •••, > •.

Определение. Обобщенной системой Никишина (СЛ^-системой), соответствующей графу С, называется следующая система функций марковского типа:

Задача Эрмита-Паде для обобщенных систем Никишина ставится также, как для любой системы степенных рядов (см. п.2), но теперь в качестве нумерующего индекса используются вершины графа О .

А именно, пусть мультииндекс. Тогда существует многочлен, удовлетворяющий условиям:

1) Япф о :

2) (egQn < |п|, где.

С*<�ЕС.

3) для некоторых многочленов Рп>а выполнены следующие соотношения: = {/<* = ?<*: осе ?}. п = {па: а е С} 6 Яп! а ~ Рп, а = 2 ОО, ОТ? в.

Всюду в дальнейшем будем считать, что мультииндекс п удовлетворяет следующему условию: если, а -< (3, то пр ^ па + 1, другими словами, функция п: О —> Z+ почти монотонно убывает.

Одним из результатов первой главы является.

Предложение 1. Всякий почти монотонно убывающий мультииндекс нормален.

Следовательно, существует единственный (с точностью до нормировки) многочлен и единственный набор аппроксимаций Эрмита-Паде рп, а пп, а = -рр, а 6 С.

Ц/ п.

Мы будем нормировать многочлен С? п условием, что его старший коэффициент равен единице:

4. Результаты об асимптотическом поведении аппроксимаций Эрмита-Паде формулируются в терминах задачи равновесия. Приведем здесь необходимые нам факты из теории логарифмического потенциала (см. [38],[114]).

Пусть V — конечная положительная борелевская мера с компактным носителем Я (и) в комплексной плоскости. Логарифмическим потенциалом меры у называется следующий интеграл Лебега (конечный или бесконечный): уии) = (ь, 1 Мх), г е с.

У — х.

Функция Vй — супергармоническая во всей комплексной плоскости и гармоническая вне носителя меры.

Взаимной энергией двух мер называется интеграл J1п |д,.

Энергией меры V называется следующая величина: = /(!/,!/).

Исходными данными задачи равновесия для векторных потенциалов являются следующие три объекта:

1) ^ =: а Е С} - множество отрезков вещественной прямой К. ;

2) =: а? С} - множество положительных чисел;

3) А = {аа р: а, р? С} - матрица взаимодействия.

В общей постановке G — произвольное множество индексов, произвольные регулярные компакты на комплексной плоскости.

Матрицей взаимодействия мы называем любую вещественную симметричную положительно определенную матрицу, удовлетворяющую следующему условию: элементы аЛ) р = 0 для индексов, а ф (3 таких, что компакты Га и ^ пересекаются.

В электростатической интерпретации — проводник, на который помещен положительный заряд величины да. Матрица взаимодействия устанавливает закон взаимодействия точечных зарядов, принадлежащих одному и тому же или различным проводникам. Требуется найти равновесное распределение зарядов, т. е. распределение в состоянии статического равновесия.

Для того, чтобы точно сформулировать эту задачу, введем следующие обозначения. Пусть Ша = Шда (Еа) — множество всех положительных борелевских мер и с носителями на отрезке Еа, полная вариация которых равна и —. Обозначим а€С прямое произведение этих множеств. Заметим, что — выпуклый компакт в * - слабой топологии. Элементы множества 9Л суть векторные меры:

1 = {ца: а 6 (7}.

Определим векторный потенциал меры /л: а? С}, где рее.

Обозначим ю^шт^(х), а? минимум векторного потенциала на соответствующем отрезке. И наконец, определим энергию векторной меры // как следующую квадратичную форму: а, р<�ЕС.

Заметим, что 1(р) — строго выпуклый вниз и полунепрерывный снизу функционал на выпуклом компакте ЭДТ .

Справедлива.

Теорема I.(А.А.Гончар, Е.А.Рахманов). Каждая из следующих трех задач имеет единственное решение, А в классе ЭДТ / решения эт, их задач совпадают:

A) -(А) = шш-И;

B) ?^{х)=и)ха1 яе5(Аа), аеС;

C) и>ха= тах, а ЕС, где максимум берется по мерам /х (Е таким, что цр = Хр для всех ?3 ф, а .

Доказательство теоремы I содержится в работах А. А. Гончара и Е. А. Рахманова [26],[39]-[41], см. также монографию [114].

Мера Л, являющаяся решением задач (А), (В) и ©, называется экстремальной или равновесной мерой, соответствующей исходным данным задачи равновесия.

Для изучения асимптотического поведения аппроксимаций Эрмита-Паде мы будем использовать характеризацию меры Л как решение задачи равновесия (В).

5. Зафиксируем произвольную последовательность Л почти монотонно убывающих мультииндексов п такую, что |п| —" оо, и существуют пределы.

Нт = а Е С. пеА п.

Здесь {ра: а Е С} произвольное распределение вероятностей на графе С, удовлетворяющее условию монотонности: если, а -< /3, то рр ^.

Рассмотрим векторную задачу равновесия, соответствующую следующим исходным данным:

1) Г = {Ра: а? С} - множество отрезков, входящих в определение обобщенной системы Никишина;

2) с/ = {да: а в С], где.

Чес = ^ Ра — функция распределения вероятностей;

3) А — {аа @: а, (3? С?} - матрица взаимодействия, которая определяется следующим образом: аа,/з = 2, если, а = (3- аа,/з — — 1? если индексы св, язаны отногиением непосредственного следования, т. е. а —" (3 или (3 —>• а- = если индексы св, азаны отношением соседства: ан/5- — 0, е остальных случаях.

Соответствующую равновесную меру обозначим.

А = {Аа: ае С}.

Для того, чтобы лучше понять структуру матрицы взаимодействия, рассмотрим примеры для случая т = 3. Для графа (а) (система Анжелеско) имеем.

2 1 1.

А =.

Заряды, принадлежащие различным проводникам, отталкиваются с силои в два раза меньше, чем заряды, принадлежащие одному и тому же проводнику.

Для графа (Ь) (система Никишина) имеем.

Заряды, принадлежащие проводникам Fl и F2, а также F2 и притягивают друг друга, а заряды, принадлежащие проводникам ^ и^з, не взаимодействуют между собой. Для графа © имеем.

Заряды, принадлежащие проводникам и^2, отталкиваются, а заряды, принадлежащие проводникам ^ и^з, притягиваются. Заряды, принадлежащие проводникам и^з, не взаимодействуют.

Для графа (с1) имеем.

Заряды, принадлежащие проводникам ^ и^2, а также ^ и^з, притягиваются, а заряды, принадлежащие проводникам ^ и отталкиваются.

Основным результатом первой главы является Теорема 1. Приведем здесь основное следствие из этой теоремы.

Теорема 1*. Равномерно на компактах в области с у ^ существует предел.

Эта теорема дает полное описание асимптотического поведения знаменателей аппроксимаций Эрмита-Паде для обобщенных систем Никишина.

Также в первой главе доказано.

Следствие 1. Если / = {/а: а Е С?} - система Никишина, то для любого, а е С аппроксимации Пп а, п Е А, сходятся к функции /а равномерно внутри области С^атш.

Основные результаты первой главы для системы Никишина опубликованы в работе автора [91]. Также в совместной работе [104] с А. А. Гончаром и Е. А. Рахмановым приводится изложение этих результатов для произвольного графа. Другие результаты по теме первой главы опубликованы в работах автора [95]-[103]. Также автором опубликована монография [114] (совместно с Е.М.Никишиным).

6. Вторая глава посвящена приложениям обобщенных систем Никишина в теории диофантовых приближений и трансцендентных чисел. В эту главу вошли два результата. Первый результат состоит в доказательстве линейной независимости значений обобщенных полилогарифмов.

Полилогарифмами называются хорошо известные в анализе специальные функции.

ОО п.

5 = 1,2,3,. (5) п= 1.

В частности, при 5 = 1 получим логарифмическую функцию.

Ь11(г) = 1п — - .

1 — г.

Областью сходимости каждого из рядов (5) служит единичный круг. Эти функции аналитически продолжаются за пределы круга и имеют при г = 1 и г = оо логарифмические точки ветвления. Вопрос об арифметических свойствах значений полилогарифмов был и остается в центре внимания теории диофантовых приближений. Наиболее интересный случай мы получим, положив 2 = 1:

1Л,(1) =СМ, 5 = 2,3,.,.

— значения дзета-функции Римана. В этом направлении получено лишь несколько интересных результатов [42]-[57]. Заметим, что одна из первых работ, в которой строятся рациональные приближения числа С (3), принадлежит А. А. Маркову [58]-[60]. Формула Маркова использовалась в доказательстве Апери. Однако имеется большое число результатов, типичных для теории С-функций, в которых исследованы арифметические свойства значений полилогарифмов в рациональных точках, близких к нулю. Наиболее сильные результаты были получены в работах Е. М. Никишина [19], Г. Чудновского [17], Л. А. Гутника [61].

Пусть теперь в = (*!,.,*) е!*, г ен,.

— мультииндекс с ненулевыми компонентами. Обобщенными полилогарифмами называются следующие степенные ряды:

7щ им =? н' пЛ .п.

Эти функции имеют многочисленные приложения в алгебраической геометрии, аналитической теории дифференциальных уравнений, математической физике, алгебре, комбинаторной и дискретной математике (см., например, [62], [63], где имеются дальнейшие ссылки). В последнее время отмечался повышенный интерес к изучению алгебраических свойств этих функций. Основное алгебраическое свойство заключается в том, что обощенные полилогарифмы образуют базис градуированной алгебры (алгебры Линдена).

21 =< 1л8 > над С.

Формально полагаем I-'ц = 1 .) Это линейное пространство образует алгебру относительно обычного умножения. Градуировка естественная, это порядок мультииндекса в! + ¦¦¦ + .5″.

Алгебра Линдена представляет собой очень естественный объект с точки зрения комплексного анализа. Она состоит из всех многозначных аналитических функций, имеющих лишь три особые точки г = 0, 2 = 1 и 2 = оо, причем все они — чисто логарифмические точки ветвления. Например, любой элемент в окрестности нуля имеет вид о где А/ - некоторые голоморфные в нуле функции. Аналогичное представление справедливо для точек 2 = 1 и г = оо.

Что же касается арифметических свойств значений обобщенных полилогарифмов, то такая задача долгое время стояла в теории диофантовых приближений, но результатов общего характера получено не было. Нам удалось доказать линейную независимость значений любой совокупности этих функций в рациональной точке, близкой к нулю. Основным результатом здесь является следующая.

Теорема 2*. Пусть г = 1,2,3,. Если рациональное число р/д удовлетворяет условию р/я > (2дер) г2г-1 то числа.

ЪЦд/р), И < г, линейно независимы над полем рациональных чисел. При этом для любых целых рациональных чисел таких, что.

Ъ = тах{|68|: |в| < г} > О, справедлива следующая оценка снизу соответствующей линейной формы:

Ь8и8(д/р).

8|<�г С где.

1п р + г + 4 =.

2~-1п- 1пд — г — 1' я аснекоторая эффективно вычислимая положительная постоянная.

7. Суть доказательства теоремы состоит в том, чтобы перейти к другому базису и воспользоваться идеями первой главы.

Легко видеть, что число обобщенных полилогарифмов данного ранга г (|б| = г) равно 2Г~1. Поэтому мы построим полный бинарный граф: о о Ч/1 +.

• • о / + о / - + граф 5.

Дадим формальное определение. Обозначим множество, элементами которого служат последовательности длины т :

Oi (аь ., ат).

Члены последовательности могут принимать три значения, это — символы 0, + и —. При этом выполняются следующие ограничения: а} = 0 и ак ф ак+и к = 1,., т ~ 1.

Положим г.

Я = Ц 5(т). т= 1.

Это и есть полный бинарный граф с г этажами. Добавив к графу 5 Г корневую вершину (пустую последовательность), получим расширенный граф 5 Г. Число вершин графа Бг равно.

1УГ = ЙЯ = 1 + 2 + 22 +. + 27'-1 = 2 Г — 1. На множестве степенных рядов вида оо «п=1 2 определим три оператора: сю.

П=1.

ОО 1 1 п—1 п=1 т—1.

ОО 1 1 п п—1 ?гг=1.

Эти операторы связаны соотношением.

7г+ = 7г0 + 7 г. (6).

Каждой вершине, а полного бинарного графа поставим в соответствие степенной ряд, а именно, по индукции полагаем.

Здесь а- = (аь ., аго 1).

— элемент, непосредственно предшествующий, а. База индукции:

Корневой вершине по определению соответствует функция.

Тогда, в силу соотношения (6) набор обобщенных полилогарифмов данного ранга г: связаны между собой невырожденным линейным преобразованием с рациональными коэффициентами. Поэтому во второй главе мы доказываем теорему 2 для функций fa, а. Е 5 Г, переформулировкой которой является теорема 2*. Доказательство основано на том факте, что эти функции образуют обобщенную систему Никишина (с точностью до несущественных линейных преобразований).

8. Перейдем ко второму результату второй главы. Он состоит в оценке меры трансцендентности числа 7Г2.

Впервые существование трансцендентных чисел было доказано Ж. П. Лиувиллем на заседании Парижской академии наук 13 мая 1844 г. [64].

В 1873 г. Ш. Эрмит доказал трансцендентность числа е [11]. Выше мы уже говорили, что аппроксимации Эрмита-Паде появились именно в этой работе, как инструмент для.

0 = 1 • решения данной конкретной задачи. В дальнейшем метод Эрмита становится одним из основных методов в теории трансцендентных чисел и диофантовых приближений. Более того, долгое время аппроксимации Эрмита-Паде развивались именно в рамках теории чисел.

В 1882 г. Ф. Линдеман [65] применил конструкцию Эрмита для доказательства трансцендентности числа 7 Г. В частности, был получен отрицательный результат в знаменитой задаче древности о квадратуре круга.

В 1932 г. К. Малер [12] получил оценку меры трансцендентности числа 7 Г. В 1953 г. [13] он продолжил свои исследования и рассмотрел значения логарифма в алгебраических точках. Метод Малера базируется на аппроксимациях Эрмита-Паде для последовательных степеней логарифмической функции.

Существенное развитие метод Эрмита получил в работах К. Л. Зигеля [14] (1929 г.). А окончательные результаты, относящиеся к, так называемым, Е-функциям (целым функциям с арифметическими ограничениями на тейлоровские коэффициенты), были получены А. Б. Шидловским [66] в 1959 г. Основной вклад в развитие метода Эрмита для С-функций (степенных рядов с конечным радиусом сходимости и арифметическими ограничениями на коэффициенты) внес А. И. Галочкин [67] (1974 г.).

Во второй главе нами доказана следующая.

Теорема 3. Для любых целых рациональных чисел ац, йъ •¦¦> ар где р = 1,2,3,., таких, что, а = шах а^ > О, выполняется неравентство а0 + «17Г2 +. + артг2р| > где р)=р- 45р, а с (р) — некоторая эффективно вычислимая положительная постоянная.

Наша теорема улучшает результат К. Малера, у которого х (р) ~ е8/> • 1п /9.

Конечно же, при р —" оо правильную оценку меры трансцендентности числа 7 г дает теорема Н. И. Фельдмана [68], [69] полученная методом Гельфонда, а именно: я (р) = с0рпр.

Однако для малых значений р наша оценка лучше из-за большой константы со .

Доказательство теоремы основано на аппроксимациях Эрмит Паде первого типа, т. е. линейных формах вида.

Иг, п — А), п ~Ь В пе 4- А п (1 +. + Вг пег -(- АГ П (1Г1 где и п — многочлены степени не выше п, а функции е^ и dj образуют бесконечную систему Никишина, соответствующую графу.

1 —> е —> й —> е2 —> а2 —> • • •. (7).

Эти функции, голоморфные и равные нулю в бесконечности, удовлетворяют следующей системе дифференциальных уравнений: в! г (х) = -~ег (г), е’г (г) = -—-—-(¿-г1(>), г = 1,2,. (?0.

Значения (¿-г (1) суть суммы Эйлера:

Е =.

ТГ2Г п{ п1 (2г + 1)!

1^П!<.<�пг<�оо 1 Г V >

Таким образом, нас интересует поведение величин ЯГ) П (1). Поэтому изучается модификация конструкции Эрмита-Паде, содержащая помимо стандартного условия на бесконечности:

ЯР, п (г)=0(1/*гп+г), *->оо, также условие на вес:

К^п (х)=0((1-х)п+г), ж 1. Весовая функция определяется формулами Сохоцкого:

М^пМ = -1тЯг, п{х ~ г ' 0)) 0 < х < 1.

7 Г.

Предложенная нами конструкция служит обобщением аппроксимаций Ф. Бекерса [51], построенных им для графа.

1 д< Л-ч А.

1 —> е —> а 1, подобно тому, как линейные формы К. Малера, построенные для графа.

1 Д0 Д0у 1 2 Аоч До 1 г Л0Ч 1 —> е —> -ет —> ¦ ¦ ¦ —> — е —у • • • ,.

2 1 г обобщают конструкцию аппроксимаций Паде логарифмической функции в, т. е. классических многочленов Лежандра.

Детальное изучение линейныхформ и приводит к доказательству теоремы.

Также теорема может быть доказана с помощью аппроксимаций Эрмита-Паде для графа несколько отличного от графа (7).

Еще один пример бесконечного линейного графа, для которого аппроксимации Эрмита-Паде хорошо изучены, дают полилогарифмы, о которых мы говорили выше:

До. Д. А Д 1 -1Л! -> 1Л2 -> 1Лз -• • • .

В 1981 г. Ф. Бекерс [51] предложил доказательство теоремы Р. Апери об иррациональности числа С (3), основанное на некоторых аппроксимациях типа Эрмита-Паде для полилогарифмов. В 1998 г. [109] мы предложили новое доказательство этого результата, основанное на аппроксимациях Эрмита-Паде для следующего графа:

Затем Д. В. Васильев [57] изучал интегралы, связанные с аппроксимациями Эрмита-Паде для несколько более общего графа:

Эти интегралы приводят к хорошим диофантовым приближениям чисел <�С (3) и С (5), но к сожалению не доказывают их иррациональность.

Однако, применение леммы Ю. В. Нестеренко [70] позволяет доказать, например, следующее утверждение: среди чисел («(3), С (5), есть бесконечно много иррациональных.

Этот результат (с количественными оценками) был получен Т. Ривоалем [53], а также независимо В. В. Зудилиным [54], [56]. При этом применялись кратные интегралы, которые представляют собой решение задачи Эрмита-Паде для графа являющиеся модификацией нашей конструкции.

Основные результаты второй главы опубликованы в работах автора [92], [93]. Другие результаты по теме второй главы опубликованы в работах автора [105]-[111].

9. В третьей главе изучаются приложения аппроксимаций Эрмита-Паде к вполне интегрируемым нелинейным динамическим системам типа цепочек Тоды и Ленгмюра.

В начале 1960;х годов японский физик теоретик Тода предложил новую модель колебания атомов в кристаллической решетке, которая впрочем хорошо описывает и другие физические процессы (см., например,[71]-[73], где имеются дальнейшие ссылки).

Мы рассмотрим лишь простейшую одномерную ситуацию. Пусть хп = ?"(?) — координаты частиц, при этом.

Предположим, что между соседними частицами имеется короткодействующая сила отталкивания, убывающая по экспоненциальному закону. Таким образом, на п-ю частицу действует сила, равная.

Т? — р-{хп-Хп-1) -(хп+1-хп).

Согласно второму закону Ньютона получим следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений: которая и называется цепочкой Тоды. При I = 0 задают начальные условия: хп (0) и £п (0) ~ начальные положения частиц и их начальные скорости соответственно. Используя обозначения систему (8) можно записать в гамильтоновой форме:

При изучении таких систем появляются также их более простые аналоги, так называемые цепочки Ленгмюра: сп — сп (сп+1 — с&bdquo-1). (9).

Рассмотрим одностороннюю цепочку Ленгмюра, в которой п = 0,1,2,.

Тогда помимо начальных условий сп (0) необходимо задать одно граничное условие:

Физический смысл имеют только положительные решения:

В 1975 г. Ю. Мозер [25], [74] проинтегрировал односторонние цепочки Тоды и Ленгмюра. При этом он применил метод обратной спектральной задачи. (См. также [75], [76]). хп = п е Z, (8).

С—1 = 0. сп > 0, п Е.

А именно, рассмотрим симметрический оператор

А = 0 у/со 0 у[с.

Vc? 0 л/С2.

V .) действующий в гильбертовом пространстве 12. Тогда существует кососимметрический оператор В такой, что систему (9) можно переписать в виде пары Лакса:

А = [А, В]. (10).

Обозначим ?1 спектральную меру оператора, А (предполагая, что, А — самосопряженный оператор). Тогда уравнение (10) приводит к следующей простейшей изоспсктральной деформации меры /х :

1 — А2^ без учета нормировки). Тем самым x (A, i) = fMe*2td/i (x, 0) с учетом нормировки меры). Решая обратную спектральную задачу, т. е. восстанавливая матрицу Якоби, А по известным теперь спектральным данным fi (X^t), получаем решение цепочки Ленгмюра.

10. В 1987 г. О. И. Богоявленский [77], [78] рассмотрел и полностью решил задачу, состоящую в описании всех цепочек, допускающих пару Лакса. Типичная цепочка Богоявленского имеет следующий вид:

Сп — сп (с-г|1.сп (г Сп—1 ••¦Сп—г) ¦

П) где г — произвольное натуральное число.

Эти цепочки представляют собой естественное обобщение цепочки Ленгмюра. Все они являются различными дискретизациями уравнения Кортевега-де Фриза: щ = 6 м • их — иххх.

По-существу, предложенный метод классификации служит алгоритмом решения конечных цепочек. Но оставалась открытой задача, состоящая в решении полубесконечных цепочек Богоявленского.

В 1994 г. В. А. Калягин [21] исследовал связь аппроксимаций Эрмита-Паде со спектральной теорией несимметричных операторов. Он показал, что матричные элементы резольвенты для ленточных операторов выражаются через совместные аппроксимации соответствующих функций Вейля. Эти исследования лежат в основе применения аппроксимаций Эрмита-Паде к решению цепочек Богоявленского. (См. также [79], [80]).

Мы предложили следующий метод решения полубесконечных цепочек Богоявленского. Итак, мы имеем бесконечную систему обыкновенных дифференциальных уравнений (11) с граничными условиями.

С-г = 0,. с1 = 0, и с начальными условиями, удовлетворяющими неравенствам о < сп (0) < М < п е с некоторой положительной постоянной М .

Рассмотрим действующий в гильбертовом пространстве /2 линейный оператор (имеющий г нулевых диагоналей в центре).

А =.

0 а0.. 0 й!

0. 0.

Ьо 0. .

Ьх 0 V.

О аг.

О аг+1 ./ где сп+ ,.

Ьп = (ст,.сп+г1)м-1. Этот оператор квазисимметрическищ т. е. п = ап ¦ ¦ ¦ ап+г~1.

Тогда существует оператор В такой, что система уравнений (11) может быть записана как пара Лакса:

А = [А, В].

Для дальнейшего применения метода обратной спектральной задачи мы построили теорию, обобщающую классическую проблему моментов Стилтьеса [22], [81], [82]. (Другие подходы см. в [83]-[86].).

Из этих исследований вытекает основной результат третьей главы. Для того, чтобы сформулировать этот результат, введем следующие обозначения. Операцию деления вектора.

9 = (3(°),., 3<'-1>) на вектор необходимую для построения многомерной непрерывной дроби, определим с помощью алгоритма Эйлер а-Якоби-Перрона, см. [87]-[90]) а именно: — (д{0)'1 д{1)' ~ V ' ¿-(г-1) ''" ' у'.

Введем следующие векторные обозначения: г л = (о,., 0, Л) ее.

Сп — (^щ. , сп)? М., Сп — (Сп? Сп? • • • ¦) С-п) € К • и рассмотрим многомерную непрерывную дробь 1.

К (А | с) = л с°.

Л +.

Сг-2.

Л +. +.

Сг-1.

Л-л с' л-. где с = (с0,сьс2,.).

Обозначим, А множество, состоящее из г + 1 лучей на комплексной плоскости, выходящих из начала координат и проходящих через корни (г + 1) — й степени из единицы. Пусть = (/"(«>,., &bdquo-е-1») вектор из конечных положительных борелевских мер с общим компактным носителем на множестве А, инвариантных относительно поворотов комплексной плоскости на углы, кратные -~г. Обозначим г+1 вектор, состоящий из функций марковского типа рехр (хг+4)с//^)(а-) д.

0)(Л ' ^ = К ¦ I ехр (хг+Ч)(1^)(х)' д.

Основным результатом третьей главы является Теорема 4.

1. Задача Когии для бесконечной системы обыкновенных дифференциальных уравнений сп —. сп.1гГ сп1.. сгаг), п? с граничными условиями.

С—г = 0,., с1 =0, а также положительными и ограниченными начальными условиями.

0 < с&bdquo-(0) ^ М, п£ Х+, имеет единственное (в классе ограниченных последовательностей) решение на всем промежутке Ь? [0, +оо).

2. Решением служит равномерно ограниченная последовательность положительных функций.

0 < с&bdquo-(£) ^ МГ1 Мг = 21+1/гМ, ?Е[0,+оо),.

3. Существует единственная (с точностью до нормировки) векторная мера /л, такая что справедлива формула.

А|*) = К (А|с (*)).

Таким образом, интегрирование цепочки Богоявленского сводится к решению прямой и обратной спектральной задачи. А именно, суммируя непрерывную дробь с известными начальными параметрами сп (0), т. е. решая прямую спектральную задачу, мы получаем спектральную меру? i (в нулевой момент времени). Раскладывая затем вектор /(A|?) в непрерывную дробь, т. е. решая обратную спектральную задачу, мы находим параметры дроби cn (t) в произвольный момент времени t .

Основные результаты третьей главы опубликованы в работе автора [94]. Другие результаты по теме третьей главы опубликованы в работах автора [112],[113].

В заключение отмстим, что в каждом разделе диссертации используются локальные обозначения и локальная нумерация формул.

1. Бейкер Дж., Грейвс-Моррис П. Аппроксимации Паде. М.:Мир, 1986.

2. De Montessus de Ballore R. Sur les fractions continues algebriques // Bull. Soc. Math. France. 1902. V.30. P.28−36.

3. Hadamard J. Essai sur L’etude des fonctions donnees parleur developpement de Taylor // J. Math. 1892. V.8. N4. P.101−186.

4. Гончар A.A. Полюсы строк таблицы Паде и мероморф-ное продолжение функций // Матем. сб. 1981. Т.115(157). N4. С.590−613.

5. Гончар А. А. О сходимости аппроксимаций Паде для некоторых классов мероморфных функций // Матем. сб. 1975. Т.97(139). N4. С.607−629.

6. Рахманов Е. А. О сходимости диагональных аппроксимаций Паде // Матем. сб. 1977. Т.104(146). N2. С.271−291.

7. Вавилов В. В. О сходимости аппроксимаций Паде мероморфных функций // Матем. сб. 1976. Т.101(143). С.44−56.

8. Суетин С. П. Об одной обратной задаче для m й строки таблицы Паде // Матем. сб. 1984. Т.124(166). N2. С.238−250.

9. Суетин С. П. О равномерной сходимости диагональных аппроксимаций Паде для гиперэллиптических функций // Матем. сб. 2000. Т.191. N9. С.81−114.

10. Stahl Я. Orthogonal polynomials with complex valued weight function // Constr. Approx. 1986. V.2. P.225−240- 241−251.

11. Hermite C. Sur la fonction exponentielle // C.R. Acad. Sei. Paris. Ser. I. Math. 1873. V.77. P.18−24- 74−79- 226−233- 285 293.

12. Mahler K. Zur Approximation der Exponentialfunktion und des Logarithmus // J. Reine Angew. Math. 1932. V.166. P.118−150.

13. Mahler K. On the approximation of logarithms of algebraic numbers // Philos. Trans. Roy. Soc. London. Ser. A. 1953. V.245. P.371−398.

14. Siegel C.L. Uber einige Anwendungen diophantischer Approximationen // Abh. Preuss.Wiss.Phys.-Math. Kl. 1929. N1. P. l-70.

15. Шидловский А. Б. Трансцендентные числа. М.: Наука, 1987.

16. Фельдман Н. И. Об одной линейной форме // Acta Arithmetica. 1972. Т. XXI. С.347−355.

17. Chudnovsky G. V. Pade approximations to the generalized hypergeometric functions //J. Math. Pures Appl. 1979. V.58. P.445−476.

18. Никишин Е. М. О логарифмах натуральных чисел // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1979. Т.43. С.1319−1327- 1980. Т.44. С. 972.

19. Никишин Е. М. Об иррациональности значений F (x, s) // Матем. сб. 1979. Т.109(151). С.410−417.

20. Нестеренко Ю. В. Приближения Эрмита-Паде обобщенных гипергеометрических функций // Матем. сб. 1994. Т.185. N10. С.39−72.

21. Калягин В. А. Аппроксимации Эрмита-Паде и спектральная теория несимметричных разностных операторов // Матем. сб. 1994. Т.185. N6. С.79−100.

22. Стилтъес Т. Исследования о непрерывных дробях. Харьков, 1937.

23. Чебышев П. Л. Полное собрание соченений. Т. III. М. Изд-во АН СССР, 1948.

24. Марков А. А. Избранные труды по теории непрерывных дробей и теории функций, наименее уклоняющихся от нуля. М.: Гостехиздат, 1948.

25. Moser J.K. Three integrable Hamiltonian systems connected with isospectral deformations // Adv. Math. 1975. V.16. P.197−220.

26. Гончар А. А., Рахманов E.A. О сходимости аппроксимаций Паде для ситемы функий марковского типа // Труды МИАН. 1981. Т.157. С.31−48.

27. Никишин Е. М. О совместных аппроксимациях Паде // Матем. сб. 1980. Т.113(155). N4. С.499−519.

28. Mahler К. Perfect systems // Compositio Math. 1968. V.19. N2. P.95−166.

29. Angelesco M.A. Sur deux extensions des fractions continues algebriques // C.R. Acad. Sei. Paris. 1919. V.168. P.262−263.

30. Никишин Е. М. О системе марковских функций // Вестн. МГУ. Сер.1. Матем., механ. 1979. N4. С.60−63.

31. Калягин В. А. Об одном классе полиномов, определяемых двумя соотношениями ортогональности // Матем. сб. 1979. Т.110(152). С.609−627.

32. Аптекарев А. И. Асимптотика многочленов совместной ортогональности в случае Анжелеско // Матем. сб. 1988. Т.136. С.56−84.

33. Никишин Е. М. Об асимптотике линейных форм для совместных аппроксимаций Паде // Изв. вузов. Матем. 1986. N2. С.33−41.

34. Бустаманте Ж., Лопес Г. Лагомасино. Аппроксимации Эрмита-Паде для систем Никишина аналитических функций // Матем. сб. 1992. T.183.N2. С.117−138.

35. Bustamante J. Asymptotics for Angelesko-Nikishin systems //J. Approx. Theory. 1996. V.85. P.43−68.

36. Driver К., Stahl H. Simultaneous rational approximants to Nikishin systems // Acta Sci. Math. 1995. V.61. P.261−284.

37. Аптекарев А. И. Сильная асимптотика многочленов совместной ортогональности для систем Никишина // Ма-тем. сб. 1999. Т.190. N5. С.3−44.

38. Ландкоф Н. С. Основы современной теории потенциала. М.: Наука, 1966.

39. Гончар А. А., Рахманов Е. А. О задаче равновесия для векторных потенциалов // УМН. 1985. Т.40. N4. С.155−156.

40. Гончар А. А., Рахманов Е. А. Равновесная мера и распределение нулей экстремальных многочленов // Матем. сб. 1984. Т.125(167). С.117−127.

41. Гончар А. А., Рахманов Е. А. Равновесные распределения и скорость рациональной аппроксимации аналитических функций // Матем. сб. 1987. Т.134(176). С.306−352.

42. Apery R. Irrationalite de ((2) et ((3) // Asterisque. 1979. V.61. P. ll-13.

43. Van der Porten A. A proof that Euler missed. Apery’s proof of the irrationality of ?(3). An informal report // Math. Intelligencer. 1979. V.l. N4. P.195−203.

44. Cohen H. Demonstration de l’irrationalite de («(3) (d'apres R. Apery) // Seminaire de Theorie des Nombres. Grenoble, 1978.

45. Reyssat E. Irrationalite de ?(3), selon Apery // Seminaire de Theorie des Nombres. Delonge-Pisot-Poitou. 1978/79. Fasc.l. exp.6. 1980.

46. Еутник Л.A. Об иррациональности некоторых величин, содержащих ?(3) // Acta Arith. 1983. V.42. N3. Р.255−264.

47. Hata M. A new irrationality measure for ?(3) // Acta Arith. 2000. V.92. N1. P.47−57.

48. Prevost M. A new proof of the irrationality of ?(2) and («(3), using Pade approximants // J. Comput. Appl. Math. 1996. V.67. N2. P.219−235.

49. Нестеренко Ю. В. Некоторые замечания о («(3) // Ma-тем. заметки. 1996. Т.59. N6. С.865−880.

50. Beukers F. A note on the irrationality of ((2) and ?(3) // Bull. London Math. Soc. 1979. V.ll. P.268−272.

51. Beukers F. Pade approximations in number theory // Lecture Notes in Math. 1981. V.888. P.90−99.

52. Rhin G., Viola С. The group structure for ?(3) // Acta Arith. 2001. V.97. N3. P.269−293.

53. Rivoal T. La fonction zeta de Riernann prend une infinite de valeurs irrationnelles aux entiers impaires // C.R.Acad.Sci. Paris. Ser.I. Math. 2000. V.331. N4. P.267−270.

54. Зудилин В. В. Об иррациональности значений дзета-функции в нечетных точках // УМН. 2001. Т.56. N2. С.215−216.

55. Zudilin W. Apery-like difference equation for Catalan’s constant // E-print math. NT/201 024. 18 January. 2002.

56. Зудилин В. В. Одно из чисел С (5), С (7), С (9), СЩ) иррационально // УМН. 2001. Т.56. N4. С.149−150.

57. Vasilyev D. V. On small linears forms for the values of the Riemann zeta-function at odd integers / Preprint N1(558). March. 2001. Minsk. National Academy of Sciences of Belorus. Institute of Mathematics. P.16.

58. Марков A.A. Memoire sur la transformation des series convergentes en series tres convergentes // Mem. Acad.Sci.Petersbourg. (7). 1890. V.37. N9. P. l-18.

59. Markoff A. Sur les series ^ p" • Extrait d’une lettre adressee a M. Hermite // C.R.Acad.Sci.Paris. 1889. V.100. P.934−935.

60. Ogigova H. Les lettres de Ch. Hermite a A. Markoff, 18 851 899 // Rev. Hist. Sci. Appl. 1967. V.20. P. l-32.

61. Гутник JI.А. О линейной независимости над Q дило-гарифмов в рациональных точках // УМН. 1982. Т.37. N5. С.179−180.

62. Minh H.N., Petitot М. Lyndon words, polylogarithms and Riemann (function // Discrete Math. 2000. V.217. N1−3. P.273−292.

63. Minh H.N., Petitot M., Van Der Hoeven J. Shuffle algebra and polylogarithms / Preprint. 1998. Formal Power Series and Algebraic Combinatorics (Toronto, June, 1998).

64. Liouville J. Sur des classes tres etendues de quantites dont la valeur n’est ni algebrique, ni meme reductible a des irrationelles algebriques // C.R. Acad. Sei. Paris. 1844. V.18. P.883−885.

65. Lindemann F. Ueber die Zahl тг // Math. Ann. 1882. V.20. P.213−225.

66. Шидловский А. Б. О критерии алгебраической независимости значений одного класса целых функций // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1959. Т.23. С.35−66.

67. Галочкин А. И. Оценки снизу линейных форм от значений некоторых G-функций // Матем. заметки. 1975. Т.18. N4. С.541−552.

68. Фельдман Н. И. О мере трансцендентности числа тг // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1960. Т.24. N3. С.357−368.

69. Нестеренко Ю. В. О числе тг // Вестник МГУ. Сер.1. Матем., механ. 1987. N3. С.7−10.

70. Нестеренко Ю. В. О линейной независимости чисел // Вестник МГУ. Сер.1. Матем., механ. 1985. N1. С.46−54.

71. Olshanetsky M., Perelomov A. Explicit solutions of the classical generalized Toda model // Invent. Math. 1979. V.54. P.261−269.

72. Konstant В. The solution to a generalized Toda lattice and representation theory // Adv. Math. 1979. V.34. P.195−338.

73. Kac M.} Van Moerbeke P. On an explicitly soluble system of nonlinear differential equations related to certain Toda lattice // Adv. Math. 1975. V.16. P.160−169.

74. Мозер Ю. Некоторые аспекты интегрируемых гамиль-тоновых систем // УМН. 1981. Т.36, вып.5. С.109−151.

75. Никишин Е. М. Дискретный оператор Штурма-Лиувилля и некоторые задачи теории функицй // Тр. семинара им. И. Г. Петровского. 1984. Вып.10. С.3−77.

76. Аптекарев А. И., Никишин Е. М. Задача рассеяния для дискретного оператора Штурма-Лиувилля // Матем. сб. 1983. Т.121(163). С.327−358.

77. Богоявленский О. И. Некоторые конструкции интегрируемых динамических систем // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1987. Т.51. N5. С.737−766.

78. Богоявленский О. И. Интегрируемые динамические системы, связанные с уравнением КдФ // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1987. Т.51. N6. С.1123−1141.

79. Aptekarev A., Kaliaguine V., Van Assche W. Criterion for the resolvent set of nonsymmetric tridiagonal operators // Proc. Amer. Math. Soc. 1995. V.123. P.2423−2430.

80. Kaliaguine V.A. The operator moment problem, vector continued fractions and explicit form of the Favard theorem for vector orthogonal polynomials // J. Comput. Appl. Math. 1995. V.65. P.181−193.

81. Ахиезер Н. И. Классическая проблема моментов. М.: Физматгиз, 1961.

82. Simon В. The classical moment problem as a self-adjoint finite difference operator // Adv. Math. 1998. V.137. N1. P.82−203.

83. Осипов А. С. Дискретный аналог уравнения Кортевега-де Фриза (КдФ): интегрирование методом обратной задачи // Матем. заметки. 1994. Т.56. N6. С.141−144.

84. Юрко В. А. Об интегрировании нелинейных динамических систем методом обратной спектральной задачи // Матем. заметки. 1995. Т.57. N6. С.945−949.

85. Aptekarev A., Kaliaguine V., Van Iseghem J. Genetic sum’s representation for the moments of system of Stiltjes functions and its application // Constr. Approx. 2000. V.16. P.487−524.

86. Beckermann В., Castro Smirnova M., Kaliaguine V. A recurrence relation connected to the convergence of vector S-fractions // East J. Approx. 2001. V.7. P.287−313.

87. Euleri L. De relatione inter ternas pluresve quantitates in-stituenda // Leonardi Euleri Comentationes aricchmeticae col-lectue. T.2. С.Пб., 1849. C.99.

88. Bernstein L. The Jacobi-Perron Algorithm // Lecture Notes in Math. V.207. Springer Verlag. Berlin. 1971.

89. De Bruin M.G. Convergence of generalized C-fractions // J.Approx. Theory. 1978. V.24. P.177−207.

90. Парусников В. И. Алгоритм Якоби-Перрона и совместные приближения функций // Матем. сб. 1981. Т.114. N2. С.322−333.Публикации автора.

91. Сорокин В. Н. Аппроксимации Эрмита-Паде полилогарифмов// Изв.вузов.Матем.1994⁵. С.49−59.

92. Сорокин В. Н. О линейной независимости значений обобщенных полилогарифмов// Матем. сборник. 2001. Т.192. N8. С. 139−154.

93. Сорокин В. Н. О мере трансцендентности числа 7г2 // Матем. сборник. 1996. Т.187. N12. С.87−120.

94. Сорокин В. Н. Вполне интегрируемые нелинейные динамические системы типа цепочек Ленгмюра// Матем. за-метки.1997.Т.62. N4. С.588−602.

95. Сорокин В. Н. Асимптотическое поведение линейных форм с полиномиальными коэффициентами для некоторых функций стилтьесовского типа// Сибирский матем. журнал. 1986. N1. С.154−169.

96. Сорокин В. Н. Обобщение классических ортогональных многочленов и сходимость совместных аппроксимаций Паде// Труды семинара им. И. Г. Петровского. Вып.11. Изд-во МГУ. 1986. С.125−165.

97. Сорокин В. Н. Сходимость совместных аппроксимаций Паде для одного класса функций// Матем. сборник. 1987. Т.132. С.391−402.

98. Сорокин В. Н. Сходимость совместных аппроксимаций Паде к функциям стилтьесовского типа// Известия вузов. Математика. 1987. N7. С.48−56.

99. Сорокин В. Н. О совместных аппроксимациях Паде функций стилтьесовского типа// Сибирский матем. журнал. 1990. Т.31. N5. С.128−137.

100. Sorokin V.N. Convergence of simultaneous Pade approx-imantsto two dilogarithms// Analysis Mathematica. 1990. T.16, f.3. P.203−214.

101. Сорокин В. Н. О совместных двухточечных аппроксимациях Паде марковских функций// Украинский матем. журнал. 1991. Т.43. N4. С.584−588.

102. Сорокин В. Н. Аппроксимации Эрмита-Паде последовательных степеней логарифма и их арифметические приложения// Известия вузов. Математика. 1991. N11. С.66−74.

103. Сорокин В. Н. Асимптотическое поведение матричных аппроксимаций Эрмита-Паде для функций стилтьесовского типа// Вестник Моск. ун-та. Сер.1. Матем. Механ. 1996. N3. С.29−32.

104. Гончар A.A., Рахманов Е. А., Сорокин В. Н. Об аппроксимациях Эрмита-Паде для систем функций марковского типа// Матем. сб. 1997. Т.188. N5. С.33−58.

105. Сорокин В. Н. Об иррациональности значений гипергеометрических функций//Матем. сб. 1985. Т.127. N2. С.245−258.

106. Сорокин В. Н. О линейной независимости логарифмов некоторых рациональных чисел// Матем. заметки. 1989. Т.46. N3. С.74−79.

107. Сорокин В. Н. Арифметические свойства значений функций, связанных с Lфункциями Дирихле// Матем. заметки. 1992. Т.52. N1. С.118−125.

108. Сорокин В. Н. Аппроксимации Эрмита-Паде для систем Никишина и иррациональность ?(3)// Успехи матем. наук. 1994. Т.49. N2. С.167−168.

109. Сорокин В. Н. О теореме Апери// Вестник Моск. унта. Сер.1. Матем.Механ. 1998. N3. С.48−53.

110. Сорокин В. Н. Циклические графы и теорема Апери// УМН. 2002. Т.57, вып.3(345). С.99−134.

111. Сорокин В. Н. Об одном алгоритме быстрого вычисления 7г4// Препринт ИПМ им. М. В. Келдыша. 2002.

112. Сорокин В. Н. Совместные многочлены Полачека// Вестник Моск. ун-та. Сер.1. Матем.Механ. 1997. N2. С.5−9.

113. Sorokin V.N., Van Iseghem J. Matrix Hermite-Pade problem and dynamical systems// Journal of Comput. and Appl. Math. 2000. V.122. P.275−295.

114. Никишин E.M., Сорокин B.H. Рациональные аппроксимации и ортогональность/ М.: Наука. 1988. С. 1−256.