Начально-краевые задачи для дифференциально-разностного уравнения смешанного типа с кратным запаздыванием

Актуальность темы

Многие задачи гидродинамики, теории плазмы, безмоментной теории многослойных оболочек с кривизной переменного знака, магнитогидродинамики, теории бесконечно малых изгибаний поверхностей и другие проблемы естествознания описываются уравнениями смешанного типа. В настоящей диссертации впервые рассматривается принадлежащее к этому классу уравнение с кратным запаздыванием.

Ци)=уи (х-(1 + Н (у))т, у), (0.1) учитывающее тот факт, что изменения в физических системах зависят не только от их состояния на данный момент времени, но и от предыстории.

В уравнении (0.1) L (u) = уихх (х, у) + иуу (х, у) — оператор Трикоми, 0 < г = const, Н (0 — функция Хевисайда, и (х, у) — искомая функция.

Предметом исследования диссертации являются впервые поставленные нелокальные начально-краевые задачи для уравнения (0.1) в ограниченной и неограниченной смешанных областях, содержащих линию параболического вырождения.

Существенное отличие рассматриваемого уравнения смешанного типа от ранее изучавшихся состоит в том, что уравнение (0.1) является дифференциально-разностным, причем в областях эллиптичности и гиперболичности запаздывание по переменной х имеет разную величину.

Актуальность исследования следует из прикладных возможностей дифференциально-разностных уравнений эллиптико-гиперболического типа и из необходимости теоретического обоснования задач для таких уравнений с кратным запаздыванием.

Цель работы — исследование разрешимости новых нелокальных начально-краевых задач для дифференциально-разностного уравнения смешанного типа с кратным запаздыванием в областях эллиптичности и гиперболичности, рассматриваемых в ограниченной и неограниченной областях, содержащих внутри себя линию параболического вырождения.

Для обоснования корректности впервые поставленных задач необходимо доказательство теорем существования и единственности классических решений, что определяет структуру работы и содержание глав.

Общая методика исследования. В работе широко используются методы теории интегральных уравнений Вольтерра, Фредгольма и сингулярных интегральных уравнений, краевых задач Римана, аппарат специальных функций, теория потенциала, дифференциальных и дифференциально-разностных уравнений, как обыкновенных, так и в частных производных, интегральные преобразования, метод вспомогательных функций (метод «абс»), метод разделения переменных Фурье.

Научная новизна. Все результаты, полученные в работе, являются новыми в актуальной проблеме теории дифференциально-разностных уравнений в частных производных — проблеме решения нелокальных задач для уравнений смешанного типа с кратным запаздыванием.

Основные результаты, выносимые на защиту:

1. Доказательство единственности решений нелокальных начально-краевых задач для дифференциально-разностных уравнений смешанного типа с кратным запаздыванием.

2. Доказательство однозначной разрешимости новых нелокальных начально-краевых задач для дифференциально-разностного уравнения смешанного типа с кратным запаздыванием в областях эллиптичности и гиперболичности, рассматриваемого в ограниченной и неограниченной областях, содержащих внутри себя линию параболического вырождения.

3. Метод обращения парных сингулярных интегральных уравнений.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в качестве основы для дальнейшей разработки теории нелокальных задач для дифференциально-разностных уравнений и систем дифференциально-разностных уравнений смешанного типа с кратным запаздыванием в областях изменения типа уравнений.

Практическая значимость работы заключается в возможности применения полученных результатов к исследованию различных физических и биологических смешанных процессов, в частности, в теории плазмы, в изучении колебания кристаллической решетки, в безмоментной теории многослойных оболочек с кривизной переменного знака и др.

Предшествующие результаты. В последнее время теория нелокальных задач, в силу своего бурного развития, достигла заметных результатов. Такое пристальное внимание, по словам A.A. Самарского [79], обусловлено тем, что нелокальные задачи являются качественно новыми и возникающими при решении современных проблем физики.

Нелокальные задачи для классических уравнений имеют уже довольно богатую историю [92], относящуюся к исследованиям обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных гиперболического, эллиптического, параболического и смешанного типа: A.B. Бицадзе [10]- В. И. Жегалов [17]- В. А. Ильин [37]- В. А. Ильин, Е. И. Моисеев [38]—[39]- Н. И. Ионкин [40]- Л. И. Камынин [41]- Е. И. Моисеев [53], [55]- A.M. Нахушев [59]- А. И. Прилепко [64]- А. П. Солдатов [84]-[85]- В. А. Стеклов [87]- Я. Д. Тамаркин [88]- Ф. И. Франкль [90]- A.M. Krall [94]- М. Pucone [96].

Нелокальные начально-краевые задачи для дифференциально-разностных эллиптических и гиперболических уравнений исследовали A.A. Андреев [2]-[5], A.B. Антоневич [6], И. М. Гуль [14], A.B. Нерсе-сян [60], A. JL Скубачевский [ВО]—[81]. Указанные уравнения используются при решении задач теории упругости [61]- теории магнитогидро-динамических течений [43]- теории распространения упругих электромагнитных волн, описываемых уравнением Максвелла с памятью [47], [49]- теории пластичности и ползучести, когда нельзя пренебречь наличием запаздывания деформаций в теле относительно приложенных напряжений [1], [7], [19], [44], [50], [69], [70], [95].

Теория нелокальных задач для дифференциально-разностных уравнений смешанного типа впервые рассматривалась в работах А. Н. Зарубина [24]—[35]. Задачи для уравнений подобного типа возникают при исследовании явлений в двух средах с резко отличающимися физическими свойствами и необходимостью учета предыстории изучаемых явлений. При этом остается неразвитой теория нелокальных задач для дифференциально-разностных уравнений смешанного типа с различным запаздыванием. Исследование подобных проблем приводит к необходимости решения задач типа Геллерстедта.

Задачами типа Геллерстедта занимались многие математики: А. Н. Зарубин [20]- Ю. М. Крикунов [45]- А. Н. Кучкарова [48]- Е. И. Моисеев [53]- A.M. Нахушев [58]- A.A. Полосин [62]- С. П. Пулькин [68]- М. С. Салахитдинов [78].

Отсутствие исследований задач Геллерстедта для дифференциально-разностных уравнений смешанного типа с кратным запаздыванием аргумента в различных областях изменения типа подтверждает актуальность темы диссертации.

Содержание диссертации по главам.

Диссертация состоит из введения и двух глав.

1. Аболина Т., Мышкис А. Д. Смешанная задача для почти линейных гиперболических систем на плоскости. // Мат. сб. — 1960. -Т. 50, вып. 4. 1985. — 5 с. -Деп.

2. Андреев А. А, Огродников E.H. О корректности некоторых краевых задач для уравнения типа Бицадзе-Лыкова с инволютивным отклонением. // Труды десятой межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи». Самара. — 2000. — С. 8−16.

3. Андреев А. А, Саушкин И. Н. Видоизмененная задача Гурса для телеграфного уравнения с инволютивным сдвигом. // Труды международной конференции «Математическое моделирование и информатика в современном управлении экономикой». Самара.2001. С. 202−204.

4. Антоневич А. Б. Об индексе и нормальной разрешимости общей эллиптической краевой задачи с конечной группой сдвигов на границе. // Дифференц. уравнения. 1972. — Т. 8, № 2. — С. 309−317.

5. Бабенко К. И. О задаче Трикоми. // Докл. АН СССР. 1986. -Т. 291, № 1. — С. 14−19.

6. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Преобразования Фурье, Лапласа, Меллина. Т. 1−2. М.: Наука, 1969. — 344 с.

7. Бицадзе A.B. Уравнения смешанного типа. М.: Изд-во АН СССР. 1959. — 164 с.

8. Бицадзе A.B. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981. 448 с.

9. Будак Б. М., Фомин C.B. Кратные интегралы и ряды. М.: Наука, 1967. 608 с.

10. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977. 640 с.

11. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971. 1108 с.

12. Гуль И. М. Задача Коши для некоторых дифференциальных уравнений в частных производных с функциональными аргументами. // Успехи математических наук. 1955. — Т. 10, № 2 (64). — С. 153 156.

13. Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.: Наука, 1974. 544 с.

14. Диткин В. А., Прудников А. П. Операционное исчисление. М.: Высшая школа, 1975. 408 с.

15. Жегалов В. И. Исследования краевых задач со смещениями для уравнений смешанного типа. Автореф. дис.. д-ра физ.-мат. наук.- Новосибирск, ИМ СО АН СССР, 1989.

16. Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Справочник по нелинейным дифференциальным уравнениям. Приложения в механике, точные решения. М.: Наука, 1993. 462 с.

17. Залманов Т. А. Об эволюционных уравнениях с запаздывающим аргументом в банаховом пространстве. // Докл. на Всесоюзной межвузовской конференции по теории и приложениям дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Черновцы, 1965.

18. Зарубин А. Н. Некоторые краевые задачи для уравнений смешанного типа с тремя и четырьмя линиями параболического вырождения: Дис.канд. физ.-мат. наук. Волгоград, — 1976 — 130 с.

19. Зарубин А. Н. О разрешимости в замкнутой форме системы четырех сингулярных уравнений. Свердловск, 1976. 25 с. — Деп. в ВИНИТИ, № 92−77.

20. Зарубин А. Н. О регуляризации одной системы полных сингулярных интегральных уравнений. // Дифференц. уравнения. 1978. Т. 14, № 1. С. 177−180.

21. Зарубин А. Н., Зайнулабидов М. М. Об обращении сингулярного интегрального уравнения типа Карлемана с помощью преобразования Ханкеля. // Дифференц. уравнения. 1980. — Т. 16, № 1. -С. 171−173.

22. Зарубин А. Н. Некоторые краевые задачи для диффернциально-разностных уравнений смешанного типа. Орел, 1987. 7 с. — Деп. в ВИНИТИ, № 5398-В87. Р. 79−80.

23. Зарубин А. Н. О некоторых начально-краевых задачах для дифференциально-разностного уравнения смешанного типа. // Докл. РАН. 1996. — Т. 346, № 6. — С. 735−737.

24. Зарубин А. Н. Аналог задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с запаздывающим аргументом. // Дифференц. уравнения. -1996. Т. 32, № 3. — С. 350−356.

25. Зарубин А. Н. Аналитическое решение одной задачи нестационарного конвективного теплообмена с последействием. // Дифференц. уравнения. 1997. — Т. 33, № 1. — С. 128−130.

26. Зарубин А. Н. Об алгоритме решениия начально-краевой задачи для уравнения смешанного типа с запаздывающим аргументом. // ЖВМ и МФ. 1997. — Т. 37, № 2. — С. 178−181.

27. Зарубин А. Н. Начально-краевая задача для уравнения смешанного типа с запаздывающим аргументом. // Дифференц. уравнения.- 1998. Т. 34, № 1. — С. 121−127.

28. Зарубин А. Н. Уравнения смешанного типа с запаздывающим аргументом. Учебное пособие. Орел: ОГУ, 1997. — 225 с.

29. Зарубин А. Н. Начально-краевая задача для уравнения смешанного типа с запаздывающим аргументом. // Дифференц. уравнения. 1998. — Т. 34, № 1. — С. 88−94.

30. Зарубин А. Н. Интегральные преобразования теории дифференциально-разностных уравнений смешанного типа. // Дифференц. уравнения. 1999. — Т. 35, № 8. — С. 1135−1136.

31. Зарубин А. Н. Начально-краевая задача для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа с распределенным запаздыванием. // Дифференц. уравнения. -2000. Т. 36, № 10. — С. 13 531 356.

32. Ильин В. А., Лозняк Э. Г. Основы математического анализа. -Ч. 1. М.: Наука, 1982. 616 с.

33. Ильин В. А. Необходимые и достаточные условия базисности Рис-са корневых векторов разрывных операторов второго порядка. // Дифференциальные уравнения. 1986. — Т. 22, № 12. — С. 20 592 071.

34. Ильин В. А., Моисеев Е. И. Нелокальная краевая задача для оператора Штурма-Лиувилля в дифференциальной и разностной трактовках. // Доклады АН СССР. 1986. — Т. 291, № 3. — С. 534−539.

35. Ильин В. А., Моисеев Е. И. Нелокальная краевая задача второго рода для оператора Штурма-Лиувилля. // Дифференц. уравнения. 1987. — Т. 23, № 8. — С. 1422−1430.

36. Ионкин Н. И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическими краевыми условиями. // Дифференц. уравнения. 1977. — Т. 13, № 2. — С. 294−304.

37. Камынин Л. И. Единственность решений краевых задач для вырождающегося эллиптического уравнения второго порядка. // Дифференц. уравнения. 1978. — Т. 14, № 1. — С. 39−49.

38. Камынин Л. И., Химченко Б. Н. О строгом принципе экстремума для слабо эллиптически связного оператора второго порядка. // ЖВМ и МФ. 1979. — Т. 19, № 1. — С. 129−142.

39. Коган М. Н. О магнитогидродинамических течениях смешанного типа. // Прикл. матем. и мех. 1961. — Т. 25, № 1. — С. 132−137.

40. Крикунов Ю. М. Лекции по уравнениям математической физики и интегральным уравнениям. Казань: изд-во Казан, ун-та, 1970. — 209 с.

41. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. Т. 2. М.: Высшая школа, 1981. — 584 с.

42. Курбанов И. О. О разрешимости нелинейных краевых задач электродинамики с памятью. // ДАН СССР. 1991. — Т. 318, № 5. -С. 1068−1071.

43. Кучкарова А. Н. Задача Геллерстедта для пространственного уравнения смешанного типа. // Мат. моделирование в естественных и гуманитарных науках. :Тезисы докладов Воронежского зимнего симпозиума, Воронеж, 20−27 января, 2000. Воронеж, 2000. — С. 132.

44. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред. М.: Физматгиз, 1959. 532 с.

45. Ленский В. С., Фомина Л. Н. Распространение одномерных волн в материалах с запаздывающей текучестью. // Изв. АН СССР, ОТН, сер. мех. мат. 1959. — № 3.

46. Маричев О. И. Метод вычисления интегралов от специальных функций.-минск: Наука и техника. 1978. — 310 с. № 2936−75 Деп.

47. Михлин С. Т. Об интегральном уравнении Р. Тпсогш. // Докл. АН СССР. 1948. — Т. 59, № 6.

48. Моисеев Е. И. Некоторые вопросы спектральной теории уравнений смешанного типа. Дис.. д-ра физ.-мат. наук. М.: МГУ, 1979.

49. Моисеев Е. И. Решение задачи Трикоми в специальных областях. // Дифференц. уравнения. 1990. — Т. 26, № 1. — С. 93−103.

50. Моисеев Е. И. Применение метода разделения переменных для решения уравнений смешанного типа. // Дифференц. уравнения. -1990. Т. 26, № 7. — С. 1160−1172.

51. Моисеев Е. И. О некоторых краевых задачах для уравнений смешанного типа. // Дифференц. уравнения. 1992. — Т. 28, № 1. -С. 110−121.

52. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968. 512 с.

53. Нахушев A.M. Об одном трехмерном аналоге задачи Геллерстед-та. // Дифференц. уравнения. 1968. — Т. 4, № 1. — С. 52−62.

54. Нахушев A.M. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа. // Дифференц. уравнения. 1969. — Т. 5, 1. — С. 44−59.

55. Нерсесян А. Б. О задаче Копш для уравнений в частных производных с отклоняющимся аргументом. // Материалы II Всесоюзной конференции по теории и приложениям дифференц. уравнений с отклоняющимся аргументом. Черновцы, 1968. — с. 116−117.

56. Онанов Г. Г., Скубачевский А. Л. Дифференциальные уравнения с отклоняющимися аргументами в стационарных задачах механики деформируемого тела. // Прикл. механика. 1979. — Т. 15, № 5. С. 39−47.

57. Полосин A.A. О разложении решения обобщенной задачи Геллер-стедта в биортогональный ряд. // Дифференц.уравнения. 1996. Т. .32, № 1. с. 135−137.

58. Привалов И. И.

Введение

в теорию функций комплексного переменного. М.: Наука, 1977. 444 с.

59. Прилепко А. И. Смешанные обратные задачи теории потенциала в случае контактных тел. // Дифференц. уравнения. 1971. — Т. 7, № 1. — С. 94−108.

60. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. М.: Наука, 1981. 800 с.

61. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Специальные функции. М.: Наука, 1983. 750 с.

62. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Дополнительные главы. М.: Наука, 1986. 800 с.

63. Пулъкин С. П. О единственности решения сингулярной задачи Геллерстедта. // Изв. вузов. Математика. 1960. — № 6 (19).- С. 214−225.

64. Работное Ю. Н. Некоторые вопросы теории пол-зу-чести. // Вест-ник МГУ, сер. А. 1948. — № 10.

65. Розовский М. И. Механика упруго-наследст-венных сфер. //" Итоги на-уки". Упру-гость и плас-тичность. М.: ВИНИТИ. 1967.

66. Savkova О. V. An initialy-edge problem for equation mixed type with brevity delay // Труды 7-й Международной научной конференции им. акад. М.Кравчука. Украина, Киев, Институт математики.- 1998. С. 449−450.

67. Савкова О. В. О единственности решения начально-краевой задачи для уравнения смешанного типа с кратным запаздыванием // Научный альманах Орловского государственного университета. Серия: естественные науки. Орел, 2000. — С. 52−55.

68. Савкова О. В. Задача Трикоми для уравнения смешанного типа с кратным запаздыванием / / Труды IX международного симпозиума «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики». Орел. — 2000. — С. 391−395.

69. Савкова О. В. Начально-краевая задача для вырождающегося эллиптического уравнения с запаздывающим аргументом // Сборник научных трудов межвузовской конференции «Экономика, общество, личность на рубеже XXI века». Орел, 2000. — С. 489−491.

70. Савкова О. В. О решении сингулярного интегрального уравнения второго рода с помощью задачи Римана. // Сборник научных трудов «Вестник науки». Орел: ОГТУ АМУС, 2000. — Вып. 5. — Т. 1. — С. 425−429.

71. Самарский А. А. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений. // Дифференц. уравнения. 1980. — Т. 16, № 11. — С. 1925;1935.

72. Скубачевский А. Л. О некоторых нелокальных эллиптических краевых задачах. // Дифференц. уравнения. 1982. — Т. 18, № 9. С. 1590−1599.

73. Скубачевский А. Л. Эллиптические задачи с нелокальными условиями вблизи границы. // Матем. сборник. 1986. — Т. 129 (171), № 2. — С. 279−302.

74. Смирнов М. М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. М.: Наука, 1966. 292 с.

75. Смирнов М. М. Уравнения смешанного типа. М.: Высш. шк., 1985. 304 с.

76. Солдатов А. П. О единственности решения одной задачи A.B. Би-цадзе. // Дифференц. уравнения. 1972. — Т. 8, № 1. — С. 143−146.

77. Солдатов А. П. Решение одной краевой задачи теории функций со смещением. // Дифференц. уравнения. 1974. — Т. 10, № 1. -С. 143−152.

78. Справочник по специальным функциям. Под редакцией Абрамовича М. и Стиган И. М.: Наука, 1979. 832 с.

79. Стеклов В. А. Основные задачи математической физики. М.: Наука, 1983. 432 с.

80. Тамаркин Я. Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений и о разложении произвольных функций в ряды. Петроград, 1917.

81. Трикоми Ф. О линейных уравнениях в частных производных второго порядка смешанного типа. (Пер. с итал. Ф.И. Франкля). М.-Л.: Гостехиздат, 1947. 192 с.

82. Франклъ Ф. И. Обтекание профилей потоком дозвуковой скорости со сверхзвуковой зоной, оканчивающейся прямым скачком уплотнения. // Прикл. мат. и мех. 1956. — Т. 20, № 2. — С. 196−202.

83. Appel P. and Катре J. de Feriet. Fonctions hypergeometriques et hyperspheriques. Polynome d’Hermite. Paris, Gauthier-Villars. -1926.

84. Brezis H., Browder F. Partial differential equations in the 20th century. // Adv. Math. 1998. — 135. № 1, p. 76−144.

85. Gellerstedt S. Sur un probleme aux limites pour une equation lineaire aux derivees partielles du second order de type mixte: These, pour le doctorat. Uppsala, 1935. — 92 p.

86. Krall A.M. The Development of General Differential Operator and General Differential Boundary Systems. // Rocky Mountain J. Math. 1975. — V. 5, № 4. — P. 493−512.

87. Marshall J. Leitman Some Results on Variotional Principles for Liner Initial-Value and Initial-History Problems. Disser. Abs. — 1965. -V. 26, № 6. — P. 33−72.

88. Pucone M. Equazione integralle traducente il piu generalle probleme lineare per le equation differenziali lineari ordinarie de qualsivoglia ordine. // Accademia nazionale dei Lincei. Atti dei convegni: Roma, 1932. V. 15, № 6. — P. 942−948.