ΠŸΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒ Π² написании студСнчСских Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚
АнтистрСссовый сСрвис

ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ матСматичСских ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Π΅ΠΉ

Π Π΅Ρ„Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΠŸΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒ Π² Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠΈΠ£Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ ΡΡ‚ΠΎΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒΠΌΠΎΠ΅ΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹

Π’ΠΎ-2-Ρ…, это — сила вязкого трСния, которая ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Π° Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π΅ скорости V=x1 ΠΈ ΠΊΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚Ρƒ вязкого сопротивлСния. Π—Π½Π°ΠΊ «-» ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ сила Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½Π° Π² ΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Ρƒ, ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡƒΡŽ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρƒ скорости двиТСния Ρ‚Π΅Π»Π°. Для получСния коэффициСнтов,, параболичСской ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ (1) ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠ°Π½Π΄ для формирования ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ² ΠΈ Π²Ρ‹Π·ΠΎΠ²Π° ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π΄ΡƒΡ€Π° linear_regression прСдставлСна Π½ΠΈΠΆΠ΅: Π’Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅… Π§ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π΅Ρ‰Ρ‘ >

ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ матСматичСских ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Π΅ΠΉ (Ρ€Π΅Ρ„Π΅Ρ€Π°Ρ‚, курсовая, Π΄ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌ, ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ)

Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ 1

ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ модСль мСханичСской систСмы, состоящСй ΠΈΠ· ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Ρ‹ с ΠΆΠ΅ΡΡ‚ΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ =110 Π½/ΠΌ, ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ† ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π·Π°ΠΊΡ€Π΅ΠΏΠ»Π΅Π½, Π° Π½Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌ находится Ρ‚Π΅Π»ΠΎ массой =1,4 ΠΊΠ³. Π’Π΅Π»ΠΎ ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΈΡ‚ ΠΏΠΎ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ ΡΡ‚Π΅Ρ€ΠΆΠ½ΡŽ: коэффициСнт вязкого сопротивлСния =0,7 ΠΊΠ³/с. Π‘ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΈΠ· ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ равновСсия Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ =10 см.

ΠΠΠ™Π’Π˜:

  • Π°) Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρƒ, частоту ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ свободных ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ мСханичСской систСмы;
  • Π±) частоту ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Π·Π°Ρ‚ΡƒΡ…Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ систСмы;
  • Π²) ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ³ΠΈΠ±Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ;
  • Π³) смСщСниС, ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ ΡƒΡΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π΅Π»Π° Π² ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ =4 с Π΄Π»Ρ Π·Π°Ρ‚ΡƒΡ…Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ.

ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ смСщСний свободных ΠΈ Π·Π°Ρ‚ΡƒΡ…Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ систСмы Π² Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΠΈ ΠΎΡ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ.

Π Π•Π¨Π•ΠΠ˜Π•: матСматичСский модСль частота ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ отклонСния Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΎΡ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ равновСсия Π² ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ .

Рассмотрим силы, Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π»ΡŽΡ‰Π΅Π΅ΡΡ Ρ‚Π΅Π»ΠΎ [1]:

Π’ΠΎ-1-Ρ…, это — упругая сила ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Ρ‹, которая ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Π° Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π΅ отклонСния Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΎΡ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ равновСсия ΠΈ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π΅ ТСсткости ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Ρ‹. Π—Π½Π°ΠΊ «-» ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ сила Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½Π° Π² ΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Ρƒ, ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡƒΡŽ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ отклонСния.

Π’ΠΎ-2-Ρ…, это — сила вязкого трСния, которая ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Π° Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π΅ скорости V=x1 ΠΈ ΠΊΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚Ρƒ вязкого сопротивлСния. Π—Π½Π°ΠΊ «-» ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ сила Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½Π° Π² ΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Ρƒ, ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡƒΡŽ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρƒ скорости двиТСния Ρ‚Π΅Π»Π°.

Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ двиТСния Ρ‚Π΅Π»Π° Π½Π° ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π° ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ записано Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅.

mx11=-kx-ΠΌx1 (1).

Π“Π΄Π΅ x11— ΡƒΡΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΠΈΠ΅.

ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅ΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (1), пСрСнося всС слагаСмыС Π² Π»Π΅Π²ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ, Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠ² Π½Π° ΠΈ Π²Π²Π΅Π΄Ρ обозначСния:

ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ матСматичСских ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Π΅ΠΉ.

.

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ вмСсто (1) ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅.

X11+2Π²x1+Ρ‰20x=0, (2).

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (2) прСдставляСт собой ΠΎΠ±Ρ‹ΠΊΠ½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 2-Π³ΠΎ порядка.

Из ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΉ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (2) Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ для Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… условий Π²ΠΈΠ΄Π°:

(Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ смСщСниС); (3).

x1(0)=0 (Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ). (4).

Π’ ΡΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ отсутствия сопротивлСния срСды () ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (2) ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄.

x1+ Ρ‰20x=0, (5).

ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ описываСт свободныС колСбания мСханичСской систСмы.

РСшая Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (5) с ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡΠΌΠΈ (3), (4) Π² ΡΠΈΡΡ‚Π΅ΠΌΠ΅ maxima [2], ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ.

  • (%i1) assume (w0>0);
  • (%o1) [w0 > 0]
  • (%i2) ode2('diff (x, t,2)+w02*x = 0, x, t);
  • (%o2) x = %k1 sin (t w0) + %k2 cos (t w0)
  • (%i3) ic2(%o2,t=0,x=x0,'diff (x, t)=0);
  • (%o3) x = cos (t w0) x0

ΠžΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π° слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ (5), (3), (4) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄.

. (6).

Π’Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (5) прСдставляСт собой ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ с ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ²ΠΎΠΉ частотой ΠΈ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄ΠΎΠΉ. ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ числовыС значСния исходных Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ…, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:

Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρƒ свободных ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ мСханичСской систСмы 0,1 ΠΌ;

частоту свободных ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ мСханичСской систСмы.

ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ матСматичСских ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Π΅ΠΉ.

1,411Π“Ρ†;

ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ свободных ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ мСханичСской систСмы.

ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ матСматичСских ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Π΅ΠΉ.

0,708с.

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ (6) (смСщСний свободных ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ систСмы) Π² Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΠΈ ΠΎΡ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ прСдставлСн Π½Π° Ρ€ΠΈΡΡƒΠ½ΠΊΠ΅ 1 (значСния ΠΏΠΎ ΠΎΡΠΈ ΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ‹ Π² ΠΌ).

Рисунок 1.

Рисунок 1.

РСшая Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (2) с ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡΠΌΠΈ (3), (4) Π² ΡΠΈΡΡ‚Π΅ΠΌΠ΅ maxima, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ.

  • (%i1) assume (w0>0);
  • (%o1) [w0 > 0]
  • (%i2) assume (b>0);
  • (%o2) [b > 0]
  • (%i3) assume (w0-b>0);
  • (%o3) [w0 > b]
  • (%i4) ode2('diff (x, t,2)+2*b*'diff (x, t)+w02*x = 0, x, t);
  • 2 2
  • — b t t sqrt (4 w0 — 4 b)
  • (%o4) x = %e (%k1 sin (——————————)
  • 2
  • 2 2

t sqrt (4 w0 — 4 b).

+ %k2 cos (——————————)).

  • 2
  • (%i5) ic2(%o4,t=0,x=x0,'diff (x, t)=0);
  • 2 2
  • — b t t sqrt (4 w0 — 4 b)
  • (%o5) x = %e (cos (——————————) x0
  • 2
  • 2 2
  • 2 2 t sqrt (4 w0 — 4 b)

b sqrt (4 w0 — 4 b) sin (——————————) x0.

  • 2
  • — ————————————————————————-)
  • 2 2
  • 2 b — 2 w0

ΠžΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π° слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ (2), (3), (4) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄.

(7).

(7).

ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ матСматичСских ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Π΅ΠΉ.

Π³Π΄Π΅ .

Частота Π·Π°Ρ‚ΡƒΡ…Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ систСмы.

ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ матСматичСских ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Π΅ΠΉ.

1,41 Π“Ρ†;

ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ свободных ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ мСханичСской систСмы.

ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ матСматичСских ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Π΅ΠΉ.

1,41с.

ΠœΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ Π² Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ (7) прСдставляСт собой ΠΎΠ³ΠΈΠ±Π°ΡŽΡ‰ΡƒΡŽ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ.

Π‘ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ ΡƒΡΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π΅Π»Π° Π² ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ =4 с Π΄Π»Ρ Π·Π°Ρ‚ΡƒΡ…Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ ΠΏΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡŽ (7) Π² maxima, выполняя Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ выраТСния (7) (для скорости ΠΈ ΡƒΡΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΠΈΠΈ) ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‚авляя числовыС значСния ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ²:

(%i1) x (t):=exp (-b*t)*x0*(cos (w*t)+b/w0*sin (w*t));

b.

(%o1) x (t):= exp ((- b) t) x0 (cos (w t) + — sin (w t)).

w0.

  • (%i2) define (x1(t), diff (x (t), t));
  • — b t b w cos (t w)
  • (%o2) x1(t):= %e (—————— - w sin (t w)) x0

w0.

  • — b t b sin (t w)
  • — b %e (————— + cos (t w)) x0

w0.

  • (%i3) define (x2(t), diff (x (t), t,2));
  • 2
  • — b t b w sin (t w) 2
  • (%o3) x2(t):= %e (- ——————- - w cos (t w)) x0

w0.

2 — b t b sin (t w).

+ b %e (————— + cos (t w)) x0.

w0.

  • — b t b w cos (t w)
  • — 2 b %e (—————— - w sin (t w)) x0

w0.

  • (%i4) k:110; m:1,4; mu:0.7; x0:0.1; T:4;
  • (%i5) w0: sqrt (k/m); b: mu/(2*m); w: sqrt (w02-b2);
  • (%i6) x (T);
  • (%o6) -0.2 411 190 031 657 135
  • (%i7) x1(T);
  • (%o7) 0.2 523 833 765 746 646
  • (%i8) x2(T);
  • (%o8) 1.768 314 765 157 559

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, смСщСниС, ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ ΡƒΡΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π΅Π»Π° Π² ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ =4 с Π΄Π»Ρ Π·Π°Ρ‚ΡƒΡ…Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ соотвСтствСнно Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹:

— 0,0078 ΠΌ, x1-0,512ΠΌ/с, x11 1,3306 ΠΌ/с2.

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ (7) (смСщСний Π·Π°Ρ‚ΡƒΡ…Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ систСмы) Π² Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΠΈ ΠΎΡ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ прСдставлСн Π½Π° Ρ€ΠΈΡΡƒΠ½ΠΊΠ΅ 2.

Рисунок 2.

Рисунок 2.

ΠžΠ’Π’Π•Π’:

  • Π°) 0,1 ΠΌ; 1,411 Π“Ρ†; 0,708 с;
  • Π±) 1,4109 Π“Ρ†; 0,708 с;
  • Π²) ;
  • Π³) -0,0078 ΠΌ, x1-0,512ΠΌ/с, x11 1,3306 ΠΌ/с2.

Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ 2.

ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅ΡΡ‚ΠΈ ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΡŽ эмпиричСской матСматичСской ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ.

А) ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π΅Ρ‚ΡΡ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ процСсс описываСтся ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ 2-Π³ΠΎ порядка.

ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ матСматичСских ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Π΅ΠΉ.

. (1).

Π‘) ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π΅Ρ‚ΡΡ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ процСсс описываСтся ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ 3-Π³ΠΎ порядка.

ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ матСматичСских ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Π΅ΠΉ.

. (2).

ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ матСматичСских ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Π΅ΠΉ.

Π‘Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½Π° Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ, Π° — с ΠΎΡˆΠΈΠ±ΠΊΠΎΠΉ, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ распрСдСлСниС с Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹ΠΌ матСматичСским ΠΎΠΆΠΈΠ΄Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ () ΠΈ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ диспСрсиСй (). ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ Π°Π΄Π΅ΠΊΠ²Π°Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Π€ΠΈΡˆΠ΅Ρ€Π° ΠΈ ΡΡ€Π°Π²Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ А) ΠΈ Π‘) с ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΡŒΡŽ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ рСгрСссии.

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° Π˜ΡΡ…ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅.

β„– Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ.

12,9.

32,25.

42,8.

69,6.

68,2.

89,7.

105,6.

Π Π•Π¨Π•ΠΠ˜Π•:

Для расчСта коэффициСнтов, ,, ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Π΅ΠΉ (1), (2) использовалась ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π΄ΡƒΡ€Π° linear_regression матСматичСского ΠΏΠ°ΠΊΠ΅Ρ‚Π° maxima. Π’Ρ…ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π΄ΡƒΡ€Ρ‹ являСтся ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°, Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Ρ… столбцах ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ значСния Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ² (нСзависимых Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²) ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ (, ,), Π° Π² ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½Π΅ΠΌ — значСния зависимого Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° (). Π’ Π²Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°Ρ… ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π΄ΡƒΡ€Ρ‹ прСдставлСны рассчитанныС значСния коэффициСнтов, , ,… ΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ статистичСскиС ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ.

Для получСния коэффициСнтов, , параболичСской ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ (1) ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠ°Π½Π΄ для формирования ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ² ΠΈ Π²Ρ‹Π·ΠΎΠ²Π° ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π΄ΡƒΡ€Π° linear_regression прСдставлСна Π½ΠΈΠΆΠ΅:

ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ матСматичСских ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Π΅ΠΉ.

Π’ Π±Π»ΠΎΠΊΠ΅ Π²Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ² b_estimation прСдставлСны рассчитанныС значСния коэффициСнтов, ,. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, модСль (1) ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄.

ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ матСматичСских ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Π΅ΠΉ.
ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ матСматичСских ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Π΅ΠΉ.

. (3).

Для ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠΈ адСкватности ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ ΠΏΠΎ ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΡŽ Π€ΠΈΡˆΠ΅Ρ€Π° Ρ€Π°ΡΡΡ‡ΠΈΡ‚Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ характСристики разброса Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΡƒΡ‡Ρ‚Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π² ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ — ΠΈ Π½Π΅ΡƒΡ‡Ρ‚Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ — [3].

Π’Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° рассчитываСтся ΠΏΠΎ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ значСниям ΠΈ ΡΡ€Π΅Π΄Π½Π΅ΠΌΡƒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ Π½Π°Π±Π»ΡŽΠ΄Π°Π΅ΠΌΡ‹Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ (ΠΈΠ· Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ 1).

(4).

(4).

Π³Π΄Π΅ — ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ число наблюдСний (Π² Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌΠΎΠΌ случаС); - число ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ² ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ (ΠΊΡ€ΠΎΠΌΠ΅). Π’ ΡΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ (3) 2.

ЧислСнноС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ 4780.

Π’Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° рассчитываСтся ΠΏΠΎ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ значСниям ΠΈ Π²ΡΠ΅ΠΌ Π½Π°Π±Π»ΡŽΠ΄Π°Π΅ΠΌΡ‹ΠΌ значСниям (ΠΈΠ· Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹).

(5).

(5).

ЧислСнноС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ 25,4(Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, ΠΎΠ½ΠΎ рассчитываСтся Π² ΠΊΠ°Ρ‡Π΅ΡΡ‚Π²Π΅ Π²Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π° v_estimation Π² linear_regression, см. Π²Ρ‹ΡˆΠ΅).

Π”Π°Π»Π΅Π΅ рассчитываСтся ΡΠΊΡΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ критСрия Π€ΠΈΡˆΠ΅Ρ€Π°.

(6).

(6).

ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ матСматичСских ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Π΅ΠΉ.

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, 188,2.

Бравнивая расчСтноС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π° с Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ 4,459 [3], убСТдаСмся Ρ‡Ρ‚ΠΎ. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, модСль (1)/(3) являСтся Π°Π΄Π΅ΠΊΠ²Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎ ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΡŽ Π€ΠΈΡˆΠ΅Ρ€Π°.

ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ расчСт коэффициСнтов, ,, ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ΠΉ стСпСни (2):

ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ матСматичСских ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Π΅ΠΉ.

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, модСль (2) ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄.

ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ матСматичСских ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Π΅ΠΉ.

. (7).

Для ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠΈ адСкватности ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ ΠΏΠΎ ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΡŽ Π€ΠΈΡˆΠ΅Ρ€Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Ρ€Π°ΡΡΡ‡ΠΈΡ‚Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ ΠΈ, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΈ ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°ΠΌ (4)-(6) с ΡƒΡ‡Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ 3.

Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ 59,4, Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ 4,347. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Ρ‚ΠΎ ΠΈ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΡŒ (2)/(3) являСтся Π°Π΄Π΅ΠΊΠ²Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎ ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΡŽ Π€ΠΈΡˆΠ΅Ρ€Π°.

Для построСния Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π΄ΡƒΡ€Ρƒ linear_regression:

ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ матСматичСских ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Π΅ΠΉ.

Из Ρ‡Π΅Π³ΠΎ слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ линСйная модСль ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄.

.

Π­Ρ‚Π° модСль Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ являСтся Π°Π΄Π΅ΠΊΠ²Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎ ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΡŽ Π€ΠΈΡˆΠ΅Ρ€Π°.

На Ρ€ΠΈΡΡƒΠ½ΠΊΠ΅ 1 прСдставлСны Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ зависимостСй (утолщСнная сплошная линия) ΠΈ (пунктирная линия). Π’ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ рСгрСссионныС ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ достаточно Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ ΠΎΡ‚Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‚ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ичСски Π½Π΅ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠΌΡ‹. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ модСлью (8).

Рисунок 1.

Рисунок 1.

На Ρ€ΠΈΡΡƒΠ½ΠΊΠ΅ 2 Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎ прСдставлСны зависимости для Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Π΅ΠΉ ΠΈ. Π’ ΡΡ‚ΠΎΠΌ случаС Π½Π°Π±Π»ΡŽΠ΄Π°Π΅Ρ‚ΡΡ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ². На ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ явно Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Ρ‹ Π½Π΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ участки. Но Π΄Π»Ρ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ, Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π»ΠΈ Π² ΡΠ²ΡΠ·ΠΈ ΠΈ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π½Π΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ слСдуСт провСсти Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΡΠ΅Ρ€ΠΈΡŽ экспСримСнтов.

Рисунок 2.

Рисунок 2.

  • 1. Π‘ΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΊΠΎΠ², П. И. Π—Π°Π½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΡŒΡŽΡ‚Π΅Ρ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅. Π£Ρ‡Π΅Π±Π½ΠΎΠ΅ пособиС / П. И. Π‘ΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΊΠΎΠ². М.: ГСлиос АРВ, 2004.
  • 2. URL: http://maxima.sourceforge.net/documentation.html.
  • 3. Π”ΡŒΡΠΊΠΎΠ½ΠΎΠ² Π’., ΠšΡ€ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² Π’. MATLAB. Анализ, идСнтификация ΠΈ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ систСм. Π‘ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ справочник. БПб.: ΠŸΠΈΡ‚Π΅Ρ€. 2001.
  • 4. Π‘ΠΎΠ²Π΅Ρ‚ΠΎΠ² Π‘. Π―., Π―ΠΊΠΎΠ²Π»Π΅Π² Π‘. А. ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ систСм: Π£Ρ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊ для Π²ΡƒΠ·ΠΎΠ². М.: Π’Ρ‹ΡΡˆΠ°Ρ школа, 2001. 320 с.
  • 5. ΠšΠΈΠ½Π΄Π»Π΅Ρ€ Π•. Π―Π·Ρ‹ΠΊΠΈ модСлирования. М.: ЭнСргия, 1995. 288 с.
  • 6. Π’Π΅Π½Π΄Ρ€ΠΎΠ² А. М. Π‘ΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ ΠΈ ΡΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π²Π° проСктирования ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½Ρ‹Ρ… систСм. М, 2004. 154 с.
ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ вСсь тСкст
Π—Π°ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ Ρ‚Π΅ΠΊΡƒΡ‰Π΅ΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΎΠΉ