Игры с природой в условиях неопределенности

Если распределение вероятностей будущих состояний природы неизвестно, вся информация о природе сводится к перечню ее возможных состояний. Человек в играх с природой старается действовать осмотрительно, второй игрок (природа, например, покупательский спрос) действует случайно. Таким образом, в сложных структурах каждому допустимому варианту решений вследствие различных внешних условий могут соответствовать различные внешние условия (состояния) и результаты решений. Следующий пример иллюстрирует это положение.

Пусть из некоторого материала требуется изготовить изделие, долговечность которого при допустимых затратах невозможно определить. Нагрузки считаются известными. Требуется решить, какие размеры должно иметь изделие из данного материала.

Варианты решений таковы:

— выбор размеров из соображений максимальной долговечности, т. е. изготовление изделия с минимальными затратами в предположении, что материал будет сохранять свои характеристики в течение длительного времени;

— выбор размеров в предположении минимальной долговечности;

— промежуточные решения.

Условия (состояния), требующие рассмотрения, таковы:

— условия, обеспечивающие максимальную долговечность;

— условия, обеспечивающие минимальную долговечность;

— промежуточные условия.

Под результатом решения здесь можно понимать оценку, соответствующую варианту Xi и условиям Вj и характеризующую экономический эффект (прибыль), полезность или надёжность изделия. Семейство решений описывается некоторой матрицей nЧm, которую называют матрицей решений (условия игры задаются матрицей nЧm). По аналогии с теорией игр, эту матрицу будем называть также платёжной матрицей.

Таблица 2.1 — Матрица решений (nm).

Условия варианты.

Конструктор старается выбрать решение с наилучшим результатом, но, так как ему неизвестно, с какими условиями он столкнётся, он вынужден принимать во внимание все оценки, соответствующие варианту .

Оценочная функция.

Чтобы прийти к однозначному и по возможности наивыгоднейшему варианту решений даже в том случае, когда каким-то вариантам решений. могут соответствовать различные условия, можно ввести подходящие оценочные (целевые) функции. При этом матрица решений сводится к одному столбцу. Каждому варианту приписывается, таким образом, некоторый результат, характеризующий, в целом, все последствия этого решения. Такой результат мы в дальнейшем будем обозначать тем же символом .

Рассмотрим некоторые оценочные функции, которые в данном примере мог бы выбрать конструктор.

Оптимистическая позиция:

Из матрицы результатов решений выбирается вариант (строка), содержащий в качестве возможного следствия наибольший из всех возможных результатов. Наш конструктор становится на точку зрения азартного игрока. Он делает ставку на то, что выпадет наивыгоднейший случай, и, исходя из этого, выбирает размеры изделия.

Позиция нейтралитета:

Конструктор исходит из того, что все встречающиеся отклонения результата решения от «среднего» случая допустимы, и выбирает размеры, оптимальные с этой точки зрения.

Имеется ряд критериев, которые используются при выборе оптимальной стратегии. Рассмотрим некоторые из них.

Особые случаи Схематическое сопоставление всех возможных полезностей различных решений в матрице таблица 2.1 облегчает поначалу их обозрение, не требуя при этом формальной оценки. Эта матрица может быть меньшего объёма так как представлено в таблице 2.2 и даже выродиться в единственный столбец, если будет представлена полная информация о том, с каким внешним состоянием следует считаться. Это соответствует элементарному сравнению различных технических решений. Матрица решений может, однако, свестись и к единственной строке смотрите таблицу 2.3. В этом случае мы имеем дело с так называемой фатальной ситуацией принятия решений, когда в силу ограничений технического характера, внешних условий и других причин остаётся единственный вариант, хотя его дальнейшие последствия зависят от внешнего состояния, и поэтому результат решения оказывается неизвестным.

Таблица 2.2 — Матрица решений (n2).

Условия варианты.

Таблица 2.3 — Фатальная ситуация в принятии решений.

Условия варианты.

Случается, и так, что некоторый вариант решения, например, оказывается настолько удачным, что для другого варианта из матрицы выполняются неравенства? для j=1, …, n. Тогда говорят, что решение доминирует над решением. Решение в этом случае с самого начала оказывается лучшим, а вариант, напротив, с самого начала не представляет далее интереса.