Математические модели биологии и экологии

Математические модели в экологии используются практически с момента возникновения этой науки. И, хотя поведение организмов в живой природе гораздо труднее адекватно описать средствами математики, чем самые сложные физические процессы, модели помогают установить некоторые закономерности и общие тенденции развития отдельных популяций, а также сообществ [7]. Вот некоторые цели создания математических моделей в экологии:

• 1. Модели помогают выделить суть или объединить и выразить с помощью нескольких параметров важные разрозненные свойства большого числа уникальных наблюдений, что облегчает экологу анализ рассматриваемого процесса или проблемы.
• 2. Модели выступают в качестве «общего языка», с помощью которого может быть описано каждое уникальное явление, и относительные свойства таких явлений становятся более понятными.
• 3. Модель может служить образцом «идеального объекта» или идеализированного поведения, при сравнении с которым можно оценивать и измерять реальные объекты и процессы.
• 4. Модели действительно могут пролить свет на реальный мир, несовершенными имитациями которого они являются.

При построении моделей в математической экологии используется опыт математического моделирования механических и физических систем, однако с учетом специфических особенностей биологических систем:

• · сложности внутреннего строения каждой особи;
• · зависимости условий жизнедеятельности организмов от многих факторов внешней среды;
• · незамкнутости экологических систем;
• · огромного диапазона внешних характеристик, при которых сохраняется жизнеспособность систем.

Привлечение компьютеров существенно раздвинуло границы моделирования экологических процессов. С одной стороны, появилась возможность всесторонней реализации сложных математических моделей, не допускающих аналитического исследования, с другой — возникли принципиально новые направления, и прежде всего имитационное моделирование.

Развитие математико-экологических моделей можно проследить по эволюции тех научных и прикладных вопросов, для ответа на которые эти модели создавались. Вопросы эти усложнялись по мере развития экологии и совершенствования методики моделирования. Если вначале сами вопросы и результаты математического моделирования представляли отвлеченный теоретический интерес, то в дальнейшем они стали носить конкретный практический характер. Значительная часть работ по моделированию природных экосистем имеет прикладной характер. Эти работы ставят перед собой практические задачи построение прогнозов поведения во времени реальных биологических систем. Так, например, предприятие, занимающееся разведением рыб в искусственных водоемах, заинтересовано в оптимальном регулировании отлова рыб, количества корма, параметров содержания водоемов и многих других, значимых для жизни и воспроизводства рыб факторов. Оно заинтересовано в привлечении экологов и их математических моделей для правильного ведения дел и получения наибольшей прибыли. Другой пример — прогнозирование развития эпидемических заболеваний. Системе здравоохранения нужно заранее планировать скорость распространения болезни, готовить запасы лекарственных препаратов, средств профилактики и защиты, медицинский персонал и проводить другие мероприятия.

Классификация математических моделей биологических продукционных процессов была предложена в книге [7]. Различают три класса: 1) описательные модели; 2) качественные модели (выясняющие динамический механизм изучаемого процесса, способные воспроизвести наблюдаемые динамические эффекты в поведении системы); 3) имитационные модели конкретных сложных систем, учитывающие всю имеющуюся информацию об объекте (и позволяющие прогнозировать поведение систем или решать оптимизационные задачи их эксплуатации). Особое значение придается именно последнему классу моделей, поскольку он оказывается полезным для практических целей [7].

Кратко можно выделить следующие основные этапы построения имитационной модели:

• 1) формулирование основных интересующих исследователя вопросов о поведении сложной системы, задание вектора состояния системы и системного времени;
• 2) декомпозиция системы на отдельные блоки, связанные, но относительно независимые; определение компонент вектора состояния каждого блока, которые должны преобразовываться в процессе функционирования;
• 3) формулирование законов и гипотез, определяющих поведение отдельных блоков и их взаимосвязь; разработка программ, соответствующих отдельным блокам;
• 4) верификация каждого блока при «замороженных» или линеаризованных информационных связях с другими блоками;
• 5) объединение разработанных блоков, при этом исследуются различные схемы их взаимодействия;
• 6) верификация имитационной модели в целом и проверка ее адекватности;
• 7) планирование и проведение экспериментов с моделью, статистическая обработка результатов и пополнение информационного фонда для дальнейшей работы с моделью.

Однако практика показала, что попытки детального описания многокомпонентных систем приводит к проблеме «проклятия размерности», когда практически невозможно корректное построение и идентификация математической модели из-за использования чрезмерно большого количества неточно определенных параметров по сравнению с имеющейся экспериментальной информацией [1]. В такой ситуации необходимо упрощение модели, например, за счет отбрасывания блоков или функциональных связей с второстепенным значением, выделения наиболее важных составляющих, определения быстрых и медленных переменных и замены части из них постоянными величинами или параметрическими зависимостями.