Процесс составления тренд-сезонной модели временного ряда, по которой осуществляется прогноз продаж бензина на АЗС

Термин экономико-математические методы понимается как обобщающее название комплекса экономических и математических научных дисциплин, объединенных для изучения экономических процессов и систем.

Основным методом исследования систем является метод моделирования, т. е. способ теоретического анализа и практического действия, направленный на разработку и использование моделей. При этом под моделью понимается образ реального процесса, отражающий его существенные свойства.

Под задачами экономико-математического (имитационного) моделирования понимаются: анализ экономических объектов и процессов, экономическое прогнозирование, предвидение развития экономических процессов.

Последовательность наблюдений одного экономического показателя (признака), упорядоченная по времени называется временным рядом Существуют две основные цели анализа временных рядов: определение природы ряда и прогнозирование (предсказание будущих значений временного ряда по настоящим и прошлым значениям). Обе эти цели требуют, чтобы модель ряда была идентифицирована и, более или менее, формально описана. Как только модель определена, можно с ее помощью интерпретировать рассматриваемые данные (например, использовать в теории для понимания сезонного изменения цен на товары). Также можно экстраполировать ряд на основе найденной модели, т. е. предсказать его будущие значения.

В данной курсовой работе описан процесс составления тренд-сезонной модели временного ряда, по которой осуществляется прогноз продаж бензина на АЗС.

Постановка задачи

Цель работы: составить тренд-сезонную модель временного ряда, по которой осуществить прогнозирование продаж бензина на АЗС.

1. Исходные данные: задан временной ряд y (t) (табл. 1).

Таблица 1. Исходные данные

2. Порядок выполнения

2.1. Построить график временного ряда

2.2. Оценить наличие сезонной составляющей и тренда

2.3. Моделирование сезонной составляющей и тренда временного ряда

2.4. Анализ остатков, оценка адекватности модели

2.5. Выбор модели временного ряда на основании анализа остатков

2.6. Осуществить прогноз на 1,2,3 месяца вперед. Оценить точность прогнозирования

2.7. Сделать выводы

Примечание:

1) каждый пункт выполнения задания сопровождается построением графиков;

2) для всех вариантов оставить по 4 отсчета, по которым оценитьточность прогнозирования;

3) среда моделирования: Excel, Statistica.

1. Построение графика временного ряда

Временной ряд состоит из нескольких компонент: тренд, сезонная компонента, циклическая компонента (стационарный случайный процесс) и случайная компонента.

Под трендом понимается устойчивое систематическое изменение процесса в течение продолжительного времени.

Во временных рядах экономических процессов могут иметь место более или менее регулярные колебания. Если они имеют строго периодический или близкий к нему характер и завершаются в течении одного года, то их называют сезонными колебаниями. Оценка сезонной компоненты осуществляется двумя способами: с помощью тригонометрических функций и методом сезонных индексов.

В тех случаях, когда период колебаний составляет несколько лет, то говорят, что во временном ряде присутствует циклическая компонента или стационарный случайный процесс.

На основании исходных данных построим график временного ряда (рис. 1).

Рис. 1. График временного ряда Из графика можно легко видеть, что имеется повторяющаяся сезонная составляющая, это означает, что каждое наблюдение также похоже на наблюдение, имевшееся в том же самом месяце год назад. Так как сезонность можно определить визуально, рассматривая поведение членов ряда через каждые t временных единиц, то ошибка измерения не слишком большая.

2. Выявление сезонной составляющей и тренда

Для того, чтобы убедиться в наличии сезонной составляющей рассматриваемого временного ряда, воспользуемся средствами программы Statistica. Построим автокорреляционнуюкоррелограмму (рис. 2).

Рис. 2. Коррелограмма, построенная в программе Statistica

Коррелограмма (автокоррелограмма) показывает численно и графически автокорреляционную функцию (AКФ), иными словами коэффициенты автокорреляции (и их стандартные ошибки) для последовательности лагов из определенного диапазона (в нашем случае от 1 до 40). С помощью коррелограммы можно попытаться оценить тип тренда.

Высокие значения первых коэффициентов свидетельствуют о наличии тренда. Наибольшими значениями являются коэффициенты 6-го, 12-го и т. д. порядка, это говорит о том, что сезонность составляет год.

3. Моделирование сезонной составляющей и тренда временного ряда

Временной ряд, состоящий из следующих компонент:

· тренд, составляющие которого будем обозначать

;

· сезонная компонента, обозначаемая через

;

· случайная компонента, которую будем обозначать

.

Структура тренд-сезонноговременного ряда определяется формулой:

Относительно предполагается, что это некоторая гладкая функция, степень гладкости которой заранее неизвестна. Сезонная компонента имеет период: (в нашем случае T = 12, так как сезонность составляет год).

Для построения модели сезонной составляющей используется так называемый ряд Фурье:

В нашем случае тренд-сезонный временной ряд определяется формулой:

Найдем целевую функцию, запишем в ячейку В54 следующую формулу:=СУММКВРАЗН (C2:C45;D2:D45).Целевая функция = 25 813 242 338.

Коэффициенты определяем с помощью надстройки «Поиск решений». Выполняем команду параметры Excel — Надстройки — Поиск решений — Перейти. Заполняем параметры диалогового окна. Поиск решения: адрес ячейки целевой функции, тип оптимизации — минимальное значение, адрес ячеек с переменными $A$ 53:$F$ 53и нажимаем кнопку «Выполнить» (таб. 3).

ряд продажа бензин тренд Рис. 4 — Поиск решения Таблица 2. Значения коэффициентов модели тренд-сезонного ряда

График модели выглядит следующим образом (рис. 5):

Рис. 5. Модель тренд-сезонного временного ряда Из рис. 5 видно, что модель тренд-сезонного временного практически повторяет кривую продаж бензина на АЗС. Нуждается ли найденная модель в дальнейшей корректировке определим с помощью анализа остатков.

4. Анализ остатков, выбор модели временного ряда на основании анализа остатков, оценка адекватности модели

Адекватность — соответствие модели исследуемому процессу или объекту.

Остаточная компонента (остатки)должна удовлетворять свойствам случайной компоненты временного ряда (условиям Гаусса — Маркова):

· случайность колебаний уровней остаточной последовательности;

· равенство математического ожидания случайной компоненты нулю;

· независимость значений уровней случайной компоненты;

· соответствие распределения случайной компоненты нормальному закону распределения.

При выполнении этих условий оценки параметров оказываются несмещенными, эффективными и состоятельными.

Адекватной признают модель, которая порождает остаточный ряд со случайными, центрированными, некоррелированными, нормально распределенными элементами.

Для найденной ранее модели тренд-сезонного временного ряда находим остатки и строим график остатков (рис. 5).

На данном графике отчетливо видно, что случайность колебаний уровней остаточной последовательности не подтверждается, то есть отсутствует так называемый «белый шум». Это говорит о необходимости ввести в формулу модели еще один коэффициент .

Рис. 6. График остатков Формула модели тренд-сезонного временного ряда примет вид:

Пересчитаем значения коэффициентов с помощью «Поиска решений» (табл. 2).

Таблица 3. Значения коэффициентов модели тренд-сезонного ряда

График остатков теперь стал выглядеть так (рис. 7):

Рис. 7. График остатков Изменился и график тренда временного ряда. Теперь он более точно повторяет кривую временного ряда (рис. 8).

Рис. 8. Модель тренд-сезонного временного ряда Итак, мы выявили «белый шум» в колебаниях уровней остаточной последовательности, определились с видом модели тренд-сезонного временного ряда и, следовательно, можем приступать к анализу адекватности модели временного ряда.

В настоящее время не существует общепризнанного мнения использования критериев анализа адекватности.

Используем подход, в основе которого лежит исходная гипотеза о том, что случайные составляющие , выхода ОУ, измеренного в дискретные моменты времени образуют последовательность центрированных независимых нормально распределенных случайных величин. Поэтому если модель тренда выбрана удачно и правильно оценены ее параметры, остаточный ряд (остатки) должен также образовывать последовательность типа дискретного белого шума. Поэтому адекватной признают модель, которая порождает остаточный ряд со случайными, центрированными, некоррелированными и нормально распределенными элементами. Тогда проверка адекватности сводится к выявлению перечисленных свойств остаточного ряда.

Проверка случайности элементов остаточного ряда проводится по критерию серий. Здесь по результатам сравнения двух соседних элементов остаточного ряда составляется последовательность нулей и единиц. Если первая разность, то в последовательности ставится нуль, иначе — единица. Далее подсчитывается число серий, представляющих собой фрагменты последовательности, состоящие только из нулей или единиц, и продолжительность самой длинной серии. В рассматриваемой модели временного ряда число серий S (N) равно 29,, (так как количество рассматриваемых случаевN равно 44 и выполняется условие при N>26).

В нашем случае остаточный ряд с вероятностью 0,95 считается случайным, так как выполняются следующие неравенства:

Проверка центрированностипроводится с использованием t-критерия Стьюдента. С этой целью формируется статистика

где ,

— среднее значение и среднеквадратичное отклонение остаточного ряда соответственно.

В результате проведенных вычислений определили .

Далее задаем уровнем значимости находим 100/2-процентную точку — распределения с степенями свободы,

Так как, то гипотеза о центрированности остаточного ряда подтверждается с вероятностью 0,99 правильности этого решения.

Проверка независимости уровней остаточного ряда преследует цель подтвердить отсутствие систематической составляющей в составе ряда и проводится с применением критерия Дарбина-Уотсона. В соответствии с этим критерием вычисляется величина

где R— так называемыйкоэффициент автокорреляции первого порядка.

В нашем случае. Далее в рассмотрение вводятся два порога: нижний и верхний. Значения этих порогов определяются объемом выборки N=44, сложностью модели тренда =3, уровнем значимости =0,01 с помощью таблицы «Статистика Дарбина-Уотсона: d_L и d_U, уровень значимости 1%».

= 1,42 d2= 1,67

Так как, то элементы остаточного ряда классифицируются как независимые, а модель — адекватной.

Проверку на нормальное распределение остаточного ряда будем проводитьметодом асимметрии и эксцесса. Его сущность такова.

По экспериментальным данным (остаточному ряду) строятся эмпирические коэффициенты асимметрии и эксцесса :

Если эти коэффициенты близки к нулю, то появляются основания считать остаточный ряд гауссовским. Для усиления этих оснований вычисляются среднеквадратические отклонения коэффициентов :

Произведя вычисления, мы получили:

Условиявыполняются, это значит, что распределение остаточного ряда не противоречит гипотезе о нормальном распределении.

Ошибка аппроксимацииопределяет точность модели. Она представляется величиной отклонений по каждому наблюдению .

Достаточно распространенной и простой мерой оценки точности является относительная ошибка.

Величину называют также функцией потерь. В нашем случае относительная ошибка .

Так как, то точность признается достаточной, что свидетельствует о хорошем подборе модели к экспериментальным данным.

Итак, благодаря проведенным исследованиям, мы выяснили, что выбранная модель тренд-сезонного временного ряда является адекватной.

5. Осуществление прогнозана 4 месяца вперед. Оценка точности прогнозирования

Задача прогнозирования заключается в поиске наилучшей в некотором смысле оценки наблюдаемой величины в момент времени m, который превышает интервал наблюдения N.

Запишем наблюдения в векторной форме:

Y = Fa + e,

где Yвременной ряд; а — коэффициенты, подлежащие оценке; е — вектор остатков.

Матрица наблюдений выглядит следующим образом:

Матрица Fимеет размер:

число строк — число наблюдений N;

число столбцов — число коэффициентов, которые подлежат оценке.

Алгоритм прогнозирования имеет следующий вид:

где Точечный прогноз — прогноз, при котором находится значение показателя. Оно определяется подстановкой в уравнение выбранной кривой роста величины времени t, соответствующей периоду упреждения.

В случае с нашей моделью временного ряда мы находим 4 прогнозных значения (табл. 4):

Таблица. 4. Точечный прогноз модели временного ряда

Заключение

В данной курсовой работе был рассмотрен временной ряд, характеризующий продажи бензина на АЗС. В результате анализа найдена сезонная годовая зависимость продаж, составлена модель тренд-сезонного временного ряда. Она признана адекватной с вероятностью ошибиться 1%, так как ее остаточный ряд состоит из случайных, центрированных, некоррелированных и нормально распределенных элементов.

Также было проведено точечное и интервальное прогнозирование продаж бензина на 4 месяца вперед. Точность прогнозов является достоверной, так как найденные прогнозные значения находятся в пределах доверительного интервала.

Таким образом, на примере продаж бензина на АЗС мы рассмотрели практическое применение основного метода исследования систем — метод моделирования. Данный метод направлен на разработку и использование моделей, являющихся отражениями реальных процессов.

С помощью имитационного моделирования осуществляется анализ экономических объектов и процессов, осуществляется прогнозирование, что дает возможность при грамотном управлении производством вовремя реагировать на изменения в экономике и правильно планировать всю деятельность предприятия.

1. Эконометрика/ Под ред. И. И. Елисеевой.- М.: Финансы и статистика, 2010.

2. www.statsoft.ru

3. www.e-college.ru

4. http://www.cfin.ru

5. http://www.basegroup.ru

6. Имитационное моделирование/ Соловьев С. В., Гринкруг Л. С., Цой Р.И.