Методические основы изучения чисел первого десятка и действий с ними в общеобразовательной школе

При изучении этой темы необходимо обеспечить усвоение детьми рациональных вычислительных приемов сложения и вычитания в пределах первого десятка; сформировать прочные вычислительные навыки; добиться запоминания наизусть результатов сложения и вычитания, а также состава чисел из слагаемых. Кроме этого, учащиеся должны научиться решать простые задачи на сложение и вычитание различных видов (нахождение суммы, остатка, увеличение и уменьшение числа на несколько единиц, разностное сравнение, нахождение неизвестного слагаемого).

По мнению М. А. Бантовой, изучение сложения и вычитания в пределах первого десятка можно провести по следующему плану:

Подготовительный этап: раскрытие смысла арифметических действий, чтение и запись примеров, случаи прибавить и вычесть 1, где результаты находятся на основе знания построения натуральной последовательности чисел.

Изучение приемов присчитывания и отсчитывания по одному и группами для случаев сложения и вычитания 2, 3, 4.

Изучение приема перестановки слагаемых для случаев сложения 5, 6, 7, 8, 9. Таблица сложения и состав чисел из слагаемых.

Изучение приема вычитания на основе знания связи между суммой и слагаемыми для случаев вычитания 5, 6, 7, 8, 9.

Подготовительная работа к изучению сложения и вычитания начинается с первых уроков рассмотрения нумерации. При этом наряду со случаями по образованию чисел в натуральной последовательности (а ± 1) рассматриваются и другие случаи сложения и вычитания. Выполняя многократно операции над множествами при нахождении результатов этих действий, а также при решении задач, учащиеся уясняют, что операции объединения соответствует действие сложения, а операции удаления части множества действие вычитания. Кроме того, обращается внимание детей на то что, когда прибавляют, становится больше, чем было; когда вычитают, становится меньше (6).

По мнению М. А. Бантовой, Г. В. Бельтюковой, М. И. Моро и др., к концу изучения нумерации учащиеся должны прочно усвоить способы образования любого числа первого десятка присчитыванием и отсчитыванием единицы и, используя этот прием (а не пересчитывание), свободно выполнять сложение и вычитание с единицей (20). Постепенно дети обобщают свои наблюдения и формулируют выводы: прибавить единицу к числу — значит назвать следующее за ним число; вычесть единицу из числа — значит назвать предшествующее ему число. На специально отведенном уроке приводят в систему все изученные случаи, а ± 1, под руководством учителя дети составляют таблицы «прибавить 1» и «вычесть 1» и затем заучивают их наизусть.

На втором этапе М. А. Бантова и Г. В. Бельтюкова рассматривают случаи сложения и вычитания вида: а ± 2, а ± 3, а ± 4, результаты которых находятся присчитыванием или отсчитыванием (6).

Чтобы подчеркнуть, с одной стороны, сходство вычислительных приемов, а с другой стороны, противоположный характер действий сложения и вычитания, случаи «прибавить 2» и «вычесть 2» так же, как позднее случаи «прибавить 3» и «вычесть 3», затем «прибавить 4» и «вычесть 4», изучаются одновременно в сопоставлении друг с другом.

По мнению всех авторов работа над вычислительными навыками строится по такому плану:

подготовительные упражнения;

знакомство с приемами вычисления;

закрепление знания приемов, выработка вычислительного навыка;

составление и заучивание таблиц.

Рассмотрим методику ознакомления с вычислительным приемом «прибавить и вычесть 2».

На подготовительном этапе (за 1 — 2 урока до изучения темы) рекомендуется научить детей решать примеры в два действия вида: 6 + 1 + 1, 7 — 1 — 1. Вначале решение таких примеров иллюстрируют действиями с предметами, например: «Положите 4 желтых палочки, придвиньте 1 синюю палочку. Сколько палочек получилось? Придвиньте еще 1 синюю палочку. Сколько палочек получилось? Запишите пример: 4 + 1 + 1; объясните, как решаем такой пример (к 4 прибавить 1, получится 5; к 5 прибавить 1, получится 6)».

Так же рассматривается пример 7 — 1 — 1.

На уроке по ознакомлению с новыми приемами вычислений вначале так же выполняют несколько подготовительных упражнений: дети решают примеры (8 + 1 + 1, 9 — 1 — 1 и т. п.) с пояснением каждого примера. Учитель ставит вопрос: «Если прибавили 1 и еще 1, то сколько всего прибавили (если вычли 1 и еще 1, то сколько всего вычли)?» (6).

Затем приступают к рассмотрению приема прибавления и вычитания числа 2.

И.Н. Кавун, Н. С. Попова (13) считают, что учитель должен поставить цель перед детьми — научиться прибавлять и вычитать число 2. Решение первых примеров выполняется также с опорой на предметное действие.

На доске запись:

• 4 + 2 = 6
• 4 + 1 = 5
• 5 + 1 = 6

Далее ученики выполняют задание: рисуют в тетрадях, например, 6 кругов, затем 2 круга раскрашивают, записывают пример 6 — 2 и, опираясь на свою практическую работу (сначала раскрасили 1 круг, а потом еще 1 круг), объясняют, как вычесть 2 (из 6 вычесть 1, получится 5; из 5 вычесть 1, получится 4). В таком же плане рассматривается еще пара заданий (например, по иллюстрациям в учебнике), а затем уже переходят к решению примеров с пояснением приемов вычислений. В результате такой работы дети к концу урока усваивают, как можно прибавить 2 к любому числу и как вычесть 2 из любого числа.

Д.Л. Волковский (9) придерживается мнения, что с помощью аналогичных упражнений раскрываются приемы вычислений для случаев, а ± 3 и, а ± 4. Чтобы дети применяли здесь свои умения прибавлять и вычитать 2, при решении примеров на сложение и вычитание с числами 3 и 4, они должны представить 3 как 1 и 2 или как 2 и 1, а число 4 как 2 и 2. Приемы вычислений также иллюстрируют действиями с предметами и на первых порах несколько примеров решают с подробной записью приема:

• 4 + 3 = 7 9 — 3 = 6
• 4 + 2 = 6 9 — 1 = 8
• 6 + 1 = 7 8 — 2 = 6

Для приемов, а ± 4 запись может быть такой же, но целесообразнее начать записывать по-другому: 5 + 4 = 5 + 2 + 2 = 9, 10 — 4 = 10 — 2 — 2 = 6. Такие записи готовят детей к изучению свойств действий, тождественным преобразованиям выражений обоснованию вычислительных приемов сложения и вычитания в пределах 100.

А.С. Пчелко (35) считает, что после знакомства с вычислительными приемами на ряде уроков целесообразно проводить упражнения в вычислениях, для того чтобы знания о приемах вычисления превратились в умения, а затем стали прочными навыками. Вначале примеры решаются с подробными пояснениями приема вычисления вслух, постепенно пояснения сокращаются, затем проговариваются кратко про себя. С целью выработки навыков включаются устные упражнения. Очень полезны арифметические диктанты — устные вычисления с показом ответов с помощью веера цифр, разрезными цифрами, или записью ответов в тетрадях. Также выполняются разнообразные письменные упражнения в решении примеров и задач. Особенно ценны упражнения с элементами творчества, догадки: составить примеры, задачи, вставить пропущенное число или знак действия в примерах, исправить неверно решенные примеры:? — 3 = 7, 8? = 6, 8 +? = 10; 6 * 4 = 10, 6 * 4 = 2.

Эффективными для формирования вычислительных навыков являются упражнения с равенствами и неравенствами: сравнить выражения и вставить знаки «>», «<�» или «=»: 7 + 2 * 7, 10 — 3 * 4; проверить, правильно ли поставлены знаки в заданных равенствах и неравенствах: 6 + 4 10, 8 + 2= 10; вставить подходящее число, чтобы получилась верная запись: 10 — 4 ?, 5 + 3 = ?. (Бантова М.А., Бельтюкова Г. В. и др. [6]).

Сравнение выражений выполняют на основе сравнения их значений (5 + 2 > 6, так как 7 больше, чем 6), поэтому дети с помощью таких упражнений закрепляют навыки вычислений.

Важно, чтобы учащиеся поняли, что, сложив два числа, получаем новое число и что, соответственно, это число может быть выражено суммой двух чисел: если 5 + 2 = 7, то 7 = 5 + 2; если 5 + 2 = 7, то 7 = 5 + 2 и т. д. С этой целью предлагают специальные упражнения по составлению примеров на сложение с ответом 7 и заменой числа 7 суммой по образцу? +? = 7, 7 =? + ?".

Завершающим моментом в работе над каждым из приемов, а ± 2, а ± 3, а ± 4 является составление и заучивание таблиц. Часть каждой таблицы составляется коллективно под руководством учителя, часть — самостоятельно. Одновременно с таблицами сложения и вычитания полезно составить таблицу состава чисел из слагаемых, например:

На этом этапе изучения сложения и вычитания учащиеся знакомятся с терминами: сложение, вычитание, слагаемое, сумма, а позднее с терминамиуменьшаемое, вычитаемое, разность. Сначала эти термины употребляет учитель (например, когда диктует примеры детям для устного счета), однако детей необходимо постоянно побуждать к употреблению этих новых слов, предлагая им читать примеры по-разному (при проверке самостоятельной работы), заполнять таблицы вида:

Попутно прослеживается, как изменяется сумма (разность) — увеличивается или уменьшается и при каких условиях это происходит.

На следующем этапе (третьем) изучают прием сложения для случаев «прибавить 5, 6, 7, 8, 9». При сложении в пределах 10 в этих примерах второе слагаемое больше первого (1 + 9, 2 + 7, 3 + 5, 4 + 6 и т. п.). Если при вычислениях применить перестановку слагаемых, то все эти случаи сведутся к ранее изученным видам: а + 1, а + 2, а + 3, а + 4. Для того, чтобы применение приема перестановки было осознано детьми, необходимо вначале раскрыть им сущность переместительного свойства сложения.

С переместительным свойством сложения можно познакомить детей следующим образом. Учащимся предлагают, например, положить 4 красных квадрата и придвинуть к ним 3 синих квадрата. Сколько всего квадратов? Как узнать? (Записывают 4 + 3 = 7.) Затем дается задание поменять местами синие и красные квадраты и к 3 синим квадратам придвинуть 4 красных квадрата. Записывают, какой пример теперь решили (3 + 4 = 7). Оба примера читают с названием чисел при сложении. Сравнивают примеры, т. е. находят, чем примеры похожи и чем они отличаются (поменяли местами слагаемые, а сумма получилась одинаковая).

Аналогично рассматривают еще 2 — 3 такие пары примеров (по картинкам в учебнике, иллюстрации на доске и т. п.). Затем с помощью учителя формулируется вывод, что от перестановки слагаемых сумма не изменяется.

Далее раскрывают прием перестановки слагаемых, т. е. показывают, когда именно в вычислениях используют переместительное свойство. С этой целью решают задачи практического характера. Например, надо сложить вместе 2 корзины и 8 корзин яблок. Как удобнее это сделать: принести 2 корзины к 8 корзинам или наоборот? Дети, опираясь на жизненные наблюдения, дают ответ на вопрос задачи. Затем решают с пояснением пары примеров вида: 1 + 4, 4 + 1, 2 + 5, 5+ 2; сравнивают приемы вычислений и выясняют, как быстрее сложить числа. На основе таких упражнений дети приходят к выводу: легче к большему числу прибавить меньшее, чем к меньшему прибавить большее, а переставлять числа при сложении всегда можно — сумма от этого не изменяется.

Затем показывают, как использовать прием перестановки при решении примеров и задач на сложение в пределах 10 (прибавить 5, 6, 7, 8, 9). В процессе упражнений у детей формируется умение применять прием перестановки слагаемых. После этого составляется краткая таблица сложения в пределах 10, зная которую можно решать все примеры на сложение в пределах первого десятка:

• 2 + 2 = 4
• 3 + 2 = 5
• 4 + 2 = 6 3 + 3 = 6
• 5 + 2 = 7 4 + 3 = 7
• 6 + 2 = 8 5 + 3 = 8 4 + 4 = 8
• 7 + 2 = 9 6 + 3 = 9 5 + 4 = 9
• 8 + 2 = 10 7 + 3 = 10 6 + 4 = 10 5 + 5 = 10

Рассмотрев таблицу, дети сами могут пояснить, почему включены только эти случаи и почему не включены остальные.

М.А. Бантова, Г. В. Бельтюкова, М. И. Моро предлагают на данном этапе продолжить работу над усвоением состава чисел из слагаемых (20).

На четвертом этапе изучается прием вычитания, основанный на связи между суммой и слагаемыми для нахождения результатов в случаях «вычесть 5, 6, 7, 8, 9». Чтобы решить, скажем, пример 9 — 7, надо заменить число 9 суммой чисел 7 и 2 и вычесть из нее одно слагаемое — 7, тогда получим другое слагаемое — 2. Для использования этого приема необходимо знать состав чисел из слагаемых, а также знать, как связаны между собой сумма и слагаемые.

Подготовка к усвоению связи между компонентами и результатом действия сложения проводится с самого начала работы над сложением и вычитанием. С этой целью предусматриваются специальные упражнения: по данному рисунку (1 большой круг и 2 маленьких круга) составить примеры на сложение и вычитание или же по одному и тому же рисунку составить задачу на сложение и задачу на вычитание; решить и сравнить пары примеров вида: 4 + 2 и 6 — 2.

Ознакомлению со связью между компонентами и результатом действия сложения отводится специальный урок. Работу над новым материалом можно провести так.

Учитель предлагает детям проиллюстрировать красными и синими кружками пример на сложение (5 + 4 = 9). Пример читают с названием чисел при сложении. Затем предлагают из всех кружков убрать (отодвинуть) красные кружки, выясняют, какие кружки остались и сколько их. Записывают новый пример: 9 — 5 = 4 и читают, называя числа так, как они назывались в первом примере (из суммы 9 вычли первое слагаемое, получили второе слагаемое 4). Аналогично рассматривают пример: 9 — 4 = 5.

Подобных упражнений надо выполнить достаточное количество, чтобы на основе своих наблюдений дети смогли сами сделать вывод: если из суммы вычесть первое слагаемое, получится второе слагаемое; если из суммы вычесть второе слагаемое, получится первое слагаемое.

Для закрепления знаний связи между суммой и слагаемыми учащиеся выполняют такие упражнения: по данному примеру на сложение составляют два примера на вычитание и решают их (2 + 4 = 6, 6 — 4 =, 6 — 2 =), с тремя данными числами (4, 3, 7) составляют и решают четыре примера (4 + 3, 3 + 4, 7 — 4, 7 — 3).

Знание связи между компонентами и результатом действия сложения используется для нахождения результатов вычитания (случаи «вычесть 5, 6, 7, 8, 9»). На уроке, посвященном ознакомлению детей с этим приемом вычитания, прежде всего повторяют состав чисел 6, 7, 8 и др., а также закрепляют знание изученной взаимосвязи.

Затем приступают к раскрытию нового приема вычитания. Учитель предлагает детям объяснить, как можно решить пример 10 — 8 (на доске прикреплены квадраты на магнитах, с помощью которых удобно провести объяснение). Учащиеся, как правило, сначала называют прием отсчитывания (вычесть 5 и еще 3, вычесть 4 и 4 и т. п.). Выслушав предложения детей, учитель ставит задачу — найти более удобный прием вычисления.

«Вот у нас записан состав числа 10 из различных слагаемых. 10 — это 8 и еще сколько? (10 — это 8 и 2. Обозначает на квадратах состав числа 10.) (Записывает: 10 ??8 ??2). Если из суммы 8 и 2 вычесть 8, сколько получится? (Получится 2, записывает ответ, показывает на квадратах, повторяет рассуждение.) Теперь нам надо решить пример 10 — 7. Кто догадался, какими слагаемыми надо заменить число 10, чтобы вычесть число 7? Назовите пример-помощник. Продолжите пояснение (10 — это 7 и 3, вычтем 7, получится 3)».

Аналогично рассматриваются другие примеры.

На следующих уроках для выработки навыка вычислений включаются разнообразные упражнения.

В процессе изучения сложения и вычитания продолжается формирование понятия о числе нуль. Вначале изучения действий включают такие случаи вычитания, когда вычитаемое равно уменьшаемому (2 — 2, 3 — 3 и т. д.). Опираясь на операции над множествами, на решение задач (У девочки было 3 карандаша, она отдала подруге 3 карандаша. Сколько карандашей осталось у девочки?), учащиеся постепенно усваивают понятие о числе нуль как характеристике численности пустого множества. В конце работы над темой «Десяток» включаются случаи сложения и вычитания с нулем: 7 + 0, 7 — 0. Решение таких примеров выполняется на данном этапе на основе соответствующих иллюстраций (в одной коробке 6 карандашей, в другой — ни одного, придвигают или убирают вторую коробку).

М.А. Бантова, Г. В. Бельтюкова, М. И. Моро и др. предлагают закончить работу над «Десятком» повторением и закреплением изученного (20). Наибольшее значение приобретает в это время выработка беглости вычислений, поэтому на каждом уроке включаются разнообразные тренировочные упражнения, игры и упражнения занимательного характера. Закрепление навыков вычислений продолжается и при изучении следующей темы: «Нумерация чисел в пределах 100».