Некоторые статистические критерии проверки гипотез

В этой главе рассмотрены критерии Макнамары, Пирсона, знаков и Вилкоксона-Манна-Уитни, как одни из критериев проверки гипотез в педагогических исследованиях, а также основные сведения о статистической проверке статистических гипотез. В конце главы проверим гипотезу о независимости оценки 5 из аттестата об окончании средней школы и вступительных экзаменов на ФМИФ в 2006 году.

Статистическая проверка статистических гипотез (основные сведения)

Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения или о параметрах известных распределений.

Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу Н₀.

Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу Н₁, которая противоречит нулевой.

Различают гипотезы, которые содержат одно или более одного предположений.

Простой называют гипотезу, содержащую только одно предположение.

Сложной называют гипотезу, которая состоит из конечного или бесконечного числа простых гипотез.

В итоге проверки гипотезы могут быть допущены ошибки двух родов.

Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная нулевая гипотеза. Вероятность ошибки первого рода называют уровнем значимости и обозначают б.

Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята неправильная нулевая гипотеза. Вероятность ошибки второго рода обозначают через в.

Статистическим критерием (или просто критерием) называют случайную величину К, которая служит для проверки гипотезы.

Наблюдаемым (эмпирическим) значением К_набл называют то значение критерия, которое вычислено по выборкам.

Критической областью называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают.

Областью принятия гипотезы (областью допустимых значений) называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу принимают.

Основной принцип проверки статистических гипотез: если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области, то нулевую гипотезу отвергают; если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы, то гипотезу принимают.

Критическими точками (границами) к_кр называют точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы.

Правосторонней называют критическую область, определяемую неравенством К>к_кр, где к_кр — положительное число.

Левосторонней называют критическую область, определяемую неравенством К<�к_кр, где к_кр — отрицательное число.

Двусторонней называют критическую область, определяемую неравенством К<�к_1, К>к₂ где к₁< к_2. В частности, если критические точки симметричны относительно нуля, то двусторонняя критическая область определяется неравенствами (в предположении, что к_кр >0).

К<-к_кр, К>к_кр,.

или равносильным неравенством.

|К|> к_кр,.

Для отыскания критической области задаются уровнем значимости б и ищут критические точки, исходя из следующих соотношений:

• 1. Для правосторонней критической области p (К>к_кр) = б, к_кр>0
• 2. Для левосторонней критической области p (К<�к_кр) = б, к_кр<0
• 3. Для двусторонней симметричной критической области p (К>к_кр) = б/2, (к_кр>0), p (К<-к_кр) = б/2

Мощностью критерия называют вероятность попадания критерия в критическую область при условии, что справедлива конкурирующая гипотеза. Другими словами, мощность критерия есть вероятность того, что нулевая гипотеза будет отвергнута, если верна конкурирующая гипотеза.

Рассмотрим на примере критерий Кочрена:

Пусть генеральные совокупности о₁, о₂,…, о_t распределены нормально. Из этих совокупностей извлечены t независимых выборок одинакового объёма n и по ним найдены исправленные выборочные дисперсии все с одинаковым числом степеней свободы k=n-1. Требуется при уровне значимости б проверить нулевую гипотезу об однородности дисперсий, то есть гипотезу о равенстве между собой генеральных дисперсий:

H₀: D (о₁) = D (о₂) =… D (о_t).

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем критерий Кочрена — отношение максимальной исправленной дисперсии к сумме всех исправленных дисперсий:

(1).

Распределение этой случайной величины зависит только от числа степеней свободы k=n-1 и количества выборок t. Для проверки нулевой гипотезы строят правостороннюю критическую область.

Правило. Для того чтобы при заданном уровне значимости б проверить гипотезу об однородности дисперсий нормально распределённых совокупностей, надо вычислить наблюдаемое значение критерия.

и по таблице критических точек распределения Кочрена найти критическую точку G_кр (б, k, l). Если G_набл< G_кр — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если G_набл>G_кр — нулевую гипотезу отвергают.

Замечание. При условии однородности дисперсий независимых выборок одинакового объёма в качестве оценки генеральной дисперсии принимают среднюю арифметическую исправленных дисперсий.

Пример:

По шести независимым выборкам одинакового объёма n=37, извлечённым из нормальных генеральных совокупностей, найдены исправленные выборочные дисперсии: 2,34; 2,66; 2,95; 3,65; 3,86; 4,54.

Требуется проверить нулевую гипотезу об однородности дисперсий: а) на уровне значимости 0,01; б) на уровне значимости 0,05;

Решение:

а) Найдём наблюдаемое значение критерия Кочрена:

Найдём по таблице критических точек распределения Кочрена по уровню значимости 0,01, числу степеней свободы k=n-1=37−1=36 и числу выборок n=6 критическую точку G_кр (0,01,36,6) =0,2858.

Так как G_набл< G_кр — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Другими словами, исправленные выборочные дисперсии различаются незначимо.

б) Найдём наблюдаемое значение критерия Кочрена:

Найдём по таблице критических точек распределения Кочрена по уровню значимости 0,05, числу степеней свободы k=n-1=37−1=36 и числу выборок n=6 критическую точку G_кр (0,05,36,6) =0,2612.

Так как G_набл< G_кр — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Другими словами, исправленные выборочные дисперсии различаются незначимо.