Определение функции. 
Методика изучения в VII-VIII классах школьного курса математики функций с использованием ресурсов "КМ-Школы"

Начиная с XVII века, одним из важнейших понятий является понятие функции. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира. При этом достаточно сложно на первых уроках ввести понятие функции, доступное для понимания учащихся. Материалы Урока 07. Понятие функции ИИП «КМ-Школа» дают возможность учителю ввести понятие функции на простейших (житейских) примерах, позволяющие представить картины реального мира связанного с понятием функции.

Рис. 1.

Рис. 2.

Для понимания учащимися курса алгебры в целом очень важно, чтобы они полноценно усвоили первичные модели (функции). Значит, необходимо рассматривать новый объект с различных сторон, в разных ситуациях.

Рис. 3

Рис. 4.

Проблема развития познавательной активности учащихся относится к числу наиболее актуальных в современной педагогической науке и практике. Выдающийся французский ученый XVII века Блез Паскаль писал: «Предмет математики столь серьёзен, что не следует упускать ни одной возможности сделать его более занимательным». Большой выбор энциклопедических статей, раскрывающих исторические аспекты формирования и развития понятия функции, поможет ребятам узнать, идеи каких ученых положили начало для изучения понятия «функции».

Рис. 5 — Энциклопедическая статья: Декарт Рене

Рис. 6 — Энциклопедическая статья: Лейбниц Готфрид.

Учащиеся, прослеживая, таким образом, исторический путь развития понятия функции, приходят к мысли о том, что эволюция еще далеко не закончена и, вероятно, никогда не закончится, как никогда не закончится и эволюция математики в целом. Новые открытия и запросы естествознания и других наук приведут к новым расширениям понятия функции и других математических понятий.

Кроме того, энциклопедические статьи содержат весь спектр определений по теме функции с иллюстрациями и гиперссылками на дополнительные статьи, что, несомненно, способствует развитию познавательной активности учащихся.

Рис. 7 — Энциклопедическая статья: Функция

Рис. 8 — Энциклопедическая статья: Линейная функция

Рис. 9 — Энциклопедическая статья: Числовая функция.

Рис. 10 — Энциклопедическая статья: Функция (в математике)

Обоснование функциональной линии как ведущей для школьного курса математики — одно из крупнейших достижений современной методики. Однако реализация этого положения может быть проведена многими различными путями; многообразие путей вызвано фундаментальностью самого понятия функции.

ИИП «КМ-Школа» содержит богатейший набор медиаресурсов, которые позволяют представить в полном объеме систему компонентов понятия функции и установленных между ними связей, а также иллюстрировать понятие функции при помощи разнообразных средств; язык школьной математики при этом обогащается. Помимо формул и таблиц, здесь находят свое место задание функции стрелками, перечислением пар, использование не только числового, но и геометрического материала.

Рис. 11 — Иллюстрация: Значения функции

Рис. 12 — Иллюстрация: Область определения и множество значений функции

Рис. 13 — Иллюстрация: Один из примеров линейной функции

Рис. 14 — Иллюстрация: Куб числа

Рис. 15 — Иллюстрация: Кусочно-заданные функции

Рис. 16 — Иллюстрация: График.

При организации работы над определением вводятся и другие компоненты, проявляющиеся в различных способах задания функциональной зависимости и ее графического представления.

Рассмотрим, например, каким образом можно формировать прикладные умения и навыки при введении понятия функциональной зависимости.

Пример 1. На рисунке представлен график движения автомобиля. Ответьте на вопросы: Какова первоначальная скорость автомобиля? Какая зависимость изображена на графике? Какова скорость автомобиля через 2 минуты после начала движения?

Рис. 17 — Интерактивный объект: График зависимости скорости от времени

Пример 2. В течение суток измеряли температуру воздуха. На рисунке изображен график суточной температуры.

Ребятам предлагается ответить на вопросы: Какова была температура воздуха в 12 часов дня? А в 4 часа дня? В какое время суток температура воздуха повышалась? Во сколько (по времени) была самая высокая температура воздуха? Какова была самая низкая температура воздуха в течение суток? Как найти суточную амплитуду температуры?

Рис. 18 — Иллюстрация: Суточная амплитуда температуры

В этих примерах используется и представление о функциональной зависимости переменных величин в реальных процессах и в математике; и представление о функции как о соответствии; и исследование функций. Процессы с самого начала представлены как функциональные зависимости. В вопросах требуется уточнить характер этой зависимости, выяснить соответствующие значения функции и аргумента в определенные моменты процесса.

Понятие функции, в системе формирования которого должны присутствовать такие задания, сразу выступает в курсе математики как определённая математическая модель, что и является мотивировкой для его углублённого изучения.

Введение

понятия функции — длительный процесс, завершающийся формированием представлений обо всех компонентах этого понятия в их взаимной связи и о роли, играемой им в математике и в ее приложениях. Этот процесс ведется по трем основным направлениям:

• · упорядочение имеющихся представлений о функции, развертывание системы понятий, характерных для функциональной линии (способы задания и общие свойства функций, графическое истолкование области определения, области значений, возрастания и т. д. на основе метода координат);
• · глубокое изучение отдельных функций и их классов;
• · расширение области приложений алгебры за счет включения в нее идеи функции и разветвленной системы действий с функцией.

Первое из этих направлений проявляется в курсе школьной алгебры ранее остальных.

В реализации этого направления значительное место отводится усвоению важного представления, входящего в понятие функции, — однозначности соответствия аргумента и определенного по нему значения функции. Для рассмотрения этого вопроса привлекаются различные способы задания функции.

Рис. 19 — Энциклопедическая статья: Числовая функция

Рис. 20 — Интерактивный объект ИИП «КМ-Школа»

Использование перевода задания функции из одной формы представления в другую — необходимый методический прием при введении понятия функции. А интерактивность объектов, представленных в «КМ-Школе» позволяет наглядно и доступно представить перевод функции из одной формы представления в другую.

Рис. 21 — Интерактивный объект: График линейной функции

Урок 07. Понятие функции (7 класс), представленный в ИИП «КМ-Школа» реализует индуктивный подход к изучению понятия функции. Рассматриваются встречающиеся на практике зависимости между различными величинами, после чего водятся необходимые понятия. Обилие примеров, призванных проиллюстрировать понятие функции, объясняется тем фактом, что, проводя аналогии между различными примерами, учащиеся интуитивно нащупывают суть этого понятия, строят догадку относительно функциональных зависимостей в быту и в природе, и получают ее подтверждение в последующих примерах.

Рис. 22.

Рис. 23.

Рис. 24.

Рис. 25.

Рис. 26.

Рис. 27.

Альтернативой индуктивному подходу к изучению понятия функции служит дедуктивный подход, который, хотя и применяется реже, имеет целый ряд положительных аспектов, которые и стали причиной его применения в школе. Для этого подхода характерно первоначальное, полное и сжатое изложение учебного материала, пусть даже малопонятного при первом прочтении, и дальнейшая углубленная проработка всех примеров, терминов и определений. Такой подход к изучению функций и не только их позволяет учащимся самостоятельно попытаться проследить логические связи в излагаемом материале, резко увеличивает интенсивность мыслительной деятельности, способствует более активному и глубокому запоминанию.

АРМ Учитель ИПП «КМ-Школа» позволяет педагогу реализовать данный подход, используя как уже готовые элементы урока, так и создавая свои собственные с применением ресурсов «КМ-Школы». Примером могут служить уроки, созданные педагогами, пользователями ИИП «КМ-Школа»:

• · Медхен Т. В. Линейная функция и её график (Раздел: Алгебра; Подраздел: 7 класс).
• · Малярик Н. П. Линейная функция (Раздел: Алгебра; Подраздел: 8 класс).
• · Волик О. В. Обратная пропорциональность (Урок № 1) (Раздел: Алгебра; Подраздел: 8 класс).