Обоснование решений на основе методов, моделей, алгоритмов и процедур экспертного и системного анализа

Раздел 1. Обоснование решений в конфликтных ситуациях. Теория игр и статистических решений Теории игр и статистических решений относятся к так называемым игровым методам исследования операций. Эти методы предназначены для обоснования решений в условиях неопределенности.

Неопределенность означает неполноту, неясность тех данных, на основе которых должно приниматься решение.

Игровые методы дают возможность выработать наилучшую в данных условиях обстановки линию поведения, совокупность правил, руководствуясь которыми можно обеспечить себе максимально возможный средний выигрыш.

В тех случаях, когда неопределенность обстановки вызвана сознательными злонамеренными действиями сторон, применяется аппарат теории игр.

В тех случаях, когда неопределенность обстановки вызвана объективными обстоятельствами, которые либо неизвестны, либо носят случайный характер, применяется аппарат теории статистических решений.

Теория игр служит для выработки рекомендаций по рациональному образу действий в условиях конфликтных ситуаций.

Под конфликтными ситуациями понимаются такие, в которых сталкиваются две или более стороны, преследующие различные цели. Причем результат любого действия каждой из сторон зависит от того, какой образ действий выберет «противник». Поскольку в конфликтных ситуациях мы, как правило, не располагаем достаточными сведениями о том, что задумал «противник», решение методами теории игр принимается в условиях неопределенности.

Под игрой понимаются мероприятия, состоящие из ряда действий сторон. Если в конфликте участвуют две стороны, игра называется парной, если более двух? множественной.

Система условий, регламентирующая возможные варианты действий сторон, объем информации каждой стороны о поведении другой, а также результат, к которому приводит данная совокупность действий, составляют правила игры.

Игра состоит из ряда последовательных этапов или ходов, причем под ходом понимается выбор одного из предусмотренных правилами игры действий.

Совокупность правил, определяющих выбор варианта действий при каждом ходе в зависимости от сложившейся обстановки, называется стратегией.

Результатом игры является выигрыш или проигрыш одной из сторон, обычно выражаемый в количественной форме. Например, математическое ожидание дохода или прибыли.

Оптимальной стратегией является такая, которая при многократном повторении игры обеспечивает данной стороне максимально возможный средний выигрыш.

Игры, в которых одна сторона проигрывает столько, сколько выигрывает другая, называются играми с нулевой суммой.

В общем виде постановка задачи теории игр производится следующим образом:

— имеется некоторая операция (целенаправленное действие), в которой участвуют две стороны, А и В с противоположными интересами; - имеются правила игры, регламентирующие результаты, к которым приводят возможные варианты действий сторон;

— результаты действий сторон (выигрыши) выражены в количественной форме и обозначены а_ij (математическое ожидание выигрыша стороны А, сделавшей свой i-й ход при j-м ходе стороны В).

Условие игры обычно записывается в форме платежной матрицы, или матрицы игры (табл. 1).

Таблица 1

В данной игре сторона, А (мы) имеет m стратегий, а сторона В (противник)? n стратегий (игра m * n).

Необходимо найти наилучшие (оптимальные) стратегии сторон, а также ожидаемый средний выигрыш (результат).

При решении игры встречаются следующие понятия:

? = max ?_i = mах min а_ij? максимин, или нижняя цена игры;

? = min ?_i = min max а_ij? минимакс, или верхняя цена игры.

В тех случаях, когда? = ?, игра имеет седловую точку? элемент матрицы, являющийся одновременно минимальным в своей строке и максимальным в своем столбце.

Общее значение нижней и верхней цены игры? =? =? называется чистой ценой игры.

Седловой точке соответствует пара стратегий сторон (стратегии А_i и В_j), которые являются оптимальными. Совокупность этих стратегий называется решением игры в чистых стратегиях.

В тех случаях, когда? ? ?, решение находится в смешанных стратегиях. Cмешанными стратегиями называются такие, которые получаются путем случайного чередования чистых стратегий.

Смешанная стратегия стороны, А обозначается

S^*_A (p₁, p₂, …, p_m), (1)

где р₁, р₂, …, р_m? вероятности, с которыми применяются стратегии А₁, А₂, …, А_m.

Причем р₁ + р₂ + р_m = 1. Аналогично для стороны В:

S^*_B (q₁, q₂, …, q_n), (2)

где q₁ + q₂ + … + q_n = l.

Решением игры в смешанных стратегиях будет пара оптимальных смешанных стратегий, обозначенных S^*_A и S^*_B. Выигрыш, соответствующий этому решению, называется ценой игры ?.

Теория статистических решений служит для выработки рекомендаций по рациональному образу действий в условиях неопределенности, вызванной не зависящими ни от нас, ни от конфликтующей стороны причинами.

Этими причинами могут быть наша неосведомленность об условиях ведения операции, а также случайный характер этих условий.

В отличие от теории игр, вместо сознательно и злонамеренно действующей стороны, здесь мы имеем дело с объективными обстоятельствами, которые принято именовать «природой».

Этими обстоятельствами («природой») могут быть состояние погоды, рыночная конъюнктура, выход из строя техники, стихийные бедствия и другие форс-мажорные причины. Все эти обстоятельства носят случайный характер.

Играми с упомянутой «природой» и занимается теория статистических решений.

Поведение «природы» нам полностью неизвестно, однако понимается, что она нам сознательно не противодействует.

В общем виде постановка задачи теории статистических решений представляется следующим образом:

— имеется m возможных стратегий (линий поведения)? решений: Р₁, Р₂,…, Р_m;

— условия обстановки (состояние «природы») точно не известны, однако о них можно сделать n предположений: О₁, 0₂,…, О_n (эти предположения являются как бы стратегиями «природы»);

— результат, т. е. так называемый выигрыш а_ij, при каждой паре стратегии задан таблицей эффективности (табл. 2).

Таблица 2

Выигрыши, указанные в таблице 2, являются показателями эффективности решений.

Допустим, необходимо решить некоторую производственную задачу? например, разработать годовой план, план реконструкции предприятия или переход на новый вид продукции.

Обстановка предстоящих действий при этом в значительной мере неопределенна. Так, при годовом планировании может не быть полной ясности о степени и сроках обеспечения плана всеми необходимыми ресурсами; при реконструкции предприятия возникают неясности со сроками ввода в действие объектов, с эффективностью новой техники и технологии в реальных условиях; при переходе на новые виды продукции существует неопределенность в связи с колебаниями спроса, возможностью предложений изделий более высокого уровня качества и т. д.

Выбор наилучшего решения в условиях неопределенной обстановки существенно зависит от того, какова степень этой неопределенности. В зависимости от этого обычно различают три варианта решений:

1. Выбор решения, когда вероятности возможных вариантов обстановки известны. В данном случае должно избираться решение, при котором среднее ожидаемое значение выигрыша максимально. Оно находится, по правилам теории вероятностей, как сумма произведений вероятностей различных вариантов обстановки на соответствующие значения выигрышей.

2. Выбор решения, когда вероятности возможных вариантов обстановки не известны, но имеются сведения об их относительных значениях. Если считать, что любой из вариантов обстановки не более вероятен, чем другие, то вероятности различных вариантов обстановки можно считать равными и производить выбор решения. Если имеются вероятности различных вариантов обстановки, то иногда их можно расположить в ряд по степени убывания, придав каждой вероятности значение соответствующего члена убывающей арифметической прогрессии. Вероятности различных вариантов обстановки могут устанавливаться путем опроса компетентных лиц (экспертов). Тогда их искомое значение определится как среднее из нескольких показаний.

3. Выбор решения, когда вероятности возможных вариантов обстановки не известны, но существуют принципы подхода к оценке результата действий. В данном положении возможны три случая.

Во-первых, может потребоваться гарантия того, что выигрыш в любых условиях окажется не меньше, чем наибольший возможный в худших условиях. Это линия поведения по принципу «рассчитывай на худшее». Оптимальным решением в данном случае будет то, для которого выигрыш окажется максимальным из минимальных при различных вариантах обстановки.

Во-вторых, может возникнуть требование избежать большого риска в любых условиях. Здесь оптимальным будет такое решение, для которого риск, максимальный при различных вариантах обстановки, окажется минимальным.

В-третьих, может иметь место требование выбрать решение между линией поведения в расчете на худшее и линией поведения в расчете на лучшее. В этом случае оптимальным решением будет то, для которого окажется максимальным показатель G (так называемый критерий пессимизма-оптимизма Гурвица), рассчитываемый по формуле:

G = k min + a_ij (1 — k) max a_ij (3)

где а_ij? выигрыш, соответствующий i-му решению при j-м варианте обстановки; k? коэффициент, выбираемый между 0 и 1; при k = 0? линия поведения в расчете на лучшее, при k = 1? линия поведения в расчете на худшее.

игра статистический ранжирование

Раздел 2. Обоснование решений на основе методов, моделей, алгоритмов и процедур экспертного и системного анализа Задача 1. Фирма планирует реализацию одного из коммерческих проектов. Причем известны экспертные оценки, связанные с реализацией этих проектов (таблица 3).

Выбрать рациональный вариант коммерческого проекта, если среднегодовая прибыль от реализации проекта должна быть не менее 4,5 млн у.е. при минимальном риске.

Задачу решить по следующей схеме:

1) оценить эффективность проекта по критерию ожидаемой среднегодовой прибыли,

2) определить допустимые проекты, исходя из заданного уровня среднегодовой прибыли,

3) оценить риск допустимых проектов на основе коэффициента вариации ожидаемой среднегодовой прибыли,

4) из множества допустимых проектов выбрать рациональный вариант коммерческого проекта, которому соответствует минимальный риск.

Таблица 3 — Исходные данные

Решение

1. Рассчитаем средние значения ожидаемой прибыли от реализации каждого проекта:

МО = (4)

МО₁ = (3*1+2*6) / 5 = 3 млн у.е.

МО₂ = (3*4+2*9) / 5 = 6 млн у.е.

МО₃ = (3*3+2*8) / 5 = 5 млн у.е.

МО₄ = (3*2+2*9) / 5 = 4,8 млн у.е.

МО₅ = (3*1+2*10) / 5 = 4,6 млн у.е.

МО₆ = (3*4+2*7) / 5 = 5,2 млн у.е.

Исходя из требуемого заданного уровня среднегодовой прибыли в 4,5 млн у.е. из множества всех проектов выделим допустимые. Это проекты: 2, 3, 4, 5,6.

2. Оценим отклонение прогнозных оценок прибыли от среднеожидаемого значения по каждому допустимому проекту:

? = (5)

?₂ = (9 — 4) / 5 = 1,0 млн у.е.

?₃ = (8 — 3) / 5 = 1,0 млн у.е.

?₄ = (9 — 2) / 5 = 1,4 млн у.е.

?₅ = (10 — 1) / 5 = 1,8 млн у.е.

?6 = (7 — 4) / 5 = 0,6 млн у.е.

3. Оценим степень риска допустимых проектов:

(6)

К?₂ = 1,0 / 6,0 * 100% = 17%

К?₃ = 1,0 / 5,0 * 100% = 20%

К?₄ = 1,4 / 4,8 * 100% = 29%

К?₅ = 1,8 / 4,6 * 100% = 39%

К?₆ = 0.6 / 5,2 * 100% = 0,5%

Вывод: Из множества допустимых проектов 2, 3, 4, 5,6 рациональным является К?₆, так реализация данного проекта обеспечивает среднегодовую прибыль 5,2 млн у.е. при (минимальном) средней степени риске.

Задача 2. Фирма планирует создание сервисного центра по обслуживанию и сопровождению своих изделий. Прибыль сервисного центра зависит от количества АРМ x_j и потока заказов на обслуживание S_i.

1) осуществить выбор рациональной стратегии, используя перечисленные критерии: Лапласа; Байеса с вероятностями 0,15; 0,5; 0,35, Вальда; Сэвиджа; Гурвица (? = 0,4);

2) определить рациональное компромиссное решение; обосновать полученное решение с использованием рассчитанных критериев для принятия решения в условиях неопределенности.

Таблица 4 — Исходные данные

Решение

1. Критерий Лапласа К_Л = (7)

Рассчитаем среднеарифметические значения выигрышей при использовании каждой стратегии:

Х₁ = 1/3 * (180 + 220 + 200) = 200

Х₂ = 1/3 * (120 + 200 + 220) = 180

Х₃ = 1/3 * (80 +180 + 250) = 170

Х₄ = 1/3 * (20 + 155 + 260) = 145

Выберем максимальное значение их средних:

К_Л = max_Xj{200; 180; 170; 145} = 200

Следовательно, оптимальной стратегией по критерию Лапласа является стратегия Х₁.

2. Критерий Байеса К_Б =, (8)

р_i = 0,15 + 0,5 + 0,35 = 1 — правильно Рассчитаем среднеожидаемые значения выигрышей, взвешенные по вероятности состояний природы, при использовании каждой стратегии:

Х₁ = (180*0,15 + 220*0,5 + 200*0,35) = 207,0

Х₂ = (120*0,15 + 200*0,5 + 220*0,35) = 195,0

Х₃ = (80*0,15 + 180*0,5 + 250*0,35) = 189,5

Х₄ = (20*0,15 + 155*0,5 + 260*0,35) = 171,5

Выберем максимальное значение из среднеожидаемых выигрышей:

К_Б = max_Xj{207,0; 195,0; 189,5; 171,5} = 207,0

Следовательно, оптимальной стратегией по критерию Байеса является стратегия Х₁.

3. Критерий Вальда К_В = (9)

Выберем наименьшее значение выигрышей сознательного игрока при использовании им каждой стратегии:

Х₁ = 180; Х₂ = 120; Х₃ = 80; Х₄ = 20.

Выберем максимальное значение из минимальных выигрышей:

К_В = max_Xj{180; 120; 80; 20} = 180

Следовательно, оптимальной стратегией по критерию Вальда является стратегия Х₁.

4. Критерий Сэвиджа К_С = (10)

Для использования данного критерия необходимо перейти от матрицы выигрышей к матрице рисков.

Риск (r_ji) — разность между выигрышем, который игрок получил бы, если бы он знал, что состоянием природы будет состояние S_i, и выигрышем, который игрок получит, не имея этой информации при использовании стратегии x_j:

(при заданном i) (11)

На основании исходных данных матрицы выигрышей определяем ?_i:

?₁ = 180; ?₂ = 220; ?₃ = 260.

Рассчитаем величины рисков, вычитая из ?_i значение выигрышей:

r₁₁ = 180 — 180 = 0; r₂₁ = 180 — 120 = 60; r₃₁ = 180 — 80 = 100; r₄₁ = 180 — 20 = 160;

r₁₂ = 220 — 220 = 0; r₂₂ = 220 — 200 = 20; r₃₂ = 220 — 180 = 40; r₄₂ = 220 — 155 = 65;

r₁₃ = 260 — 200 = 60; r₂₃ = 260 — 220 = 40; r₃₃ = 260 — 250 = 10; r₄₃ = 260 — 260 = 0.

Таким образом, получим элементы матрицы рисков:

Таблица 5 — Матрица рисков

Определим наибольшее значение рисков при использовании каждой стратегии:

Х₁ = 60; Х₂ = 60; Х₃ = 100; Х₄ = 160.

Выберем минимальное значение из максимальных оценок риска:

К_С = min_Xj{60; 60; 100; 160} = 60

Следовательно, оптимальной стратегией по критерию Сэвиджа являются стратегия Х₁ и Х₂.

5. Критерий Гурвица Рассмотрим один из частных случаев данного критерия. При? = 0, данный критерий совпадает с критерием крайнего оптимизма:

К_Г⁰ = (12)

Выделяем наибольшие выигрыши сознательного игрока при использовании им каждой стратегии:

Х₁ = 220; Х₂ = 220; Х₃ = 250; Х₄ = 260.

Выберем максимальное значение из максимальных выигрышей:

Кr⁰ = max_Xj{220; 220; 250; 260} = 260

Следовательно, оптимальной стратегией по максимальному критерию является стратегия Х₄.

Критерий Гурвица учитывает индивидуальные предпочтения сознательного игрока к пессимизму и оптимизму. Для его использования необходимо задать значение коэффициента пессимизма ?, ?є [0,1]:

К_Г = (13)

Опираясь на заданное значение коэффициента пессимизма? = 0,4, рассчитаем показатели эффективности для каждой стратегии:

Х₁ = (0,4*180 + (1 — 0,4)*220) = 204

Х₂ = (0,4*120 + (1 — 0,4)*220) = 188

Х₃ = (0,4*80 + (1 — 0,4)*250) = 182

Х₄ = (0,4*20 + (1 — 0,4)*260) = 164

Выберем максимальное значение из исчисляемых выше значений:

Кr = max_Xj{204; 188; 182; 164} = 204

Следовательно, оптимальной стратегией по критерию Гурвица является стратегия Х₁.

6. Результаты расчета показателей эффективности и оптимальные стратегии представим в таблице:

Таблица 6 — Показатели эффективности и оптимальные стратегии

В результате использования шести критериев получаем, что в качестве оптимальной стратегии Х₁ выступает 5 раз, стратегия Х₂ — 1 раз, стратегия Х₄ — 1 раз.

Следовательно, если у фирмы нет никаких обоснованных серьезных возражений, то в качестве оптимальной можно рассматривать стратегию Х₁.

Задача 3. Определить результирующее ранжирование критериев, необходимых для оценки вариантов приобретения легкового автомобиля. Список критериев (не менее 6) разработать самостоятельно. Для обоснования могут быть использованы экспертные и системные методы.

Решение Для решения задачи будем использовать «Метод ранга. Оценка качества экспертизы».

1. Составляем исходную матрице предпочтений с оценками р_ji:

Таблица 7 — Исходная матрица предпочтений по 10-балльной шкале

0? р_ji? К, где К = 10

2. Рассчитаем для каждой альтернативы:

?А₁ = 7+2+5+5+1 = 20

?А₂ = 5+7+1+6+9 = 28

?А₃ = 9+10+7+4+8 = 38

?А₄ = 10+1+3+4+7 = 25

?А₅ = 2+4+2+8+5 = 21

?А₆ = 3+5+2+6+4 = 20

?А₇ = 3+8+6+3+10 = 30

?А₈ = 6+6+2+3+8 = 25

3. Рассчитаем

?А₁+?А₂+?А₃+?А₄+?А₅+?А₆+?А₇+?А₈ = 207

4. Вычисляем искомые веса альтернатив:

?_i =; (14)

?₁ = 20/207 = 0,097; ?₂ = 28/207 = 0,135; ?₃ = 38/207 = 0,183; ?₄ = 25/207 = 0,121;

?₅ = 21/207 = 0,101; ?₆ = 20/207 = 0,097; ?₇ = 30/207 = 0,145; ?₄ = 25/207 = 0,121.

?? = 0,097+0,135+0,183+0,121+0,101+0,097+0,145+0,121 = 1

5. Для оценки качества экспертизы по данному методу рассчитаем:

5.1. Дисперсии, характеризующие согласованность экспертов при оценке каждой альтернативы:

(15)

Рассчитаем для каждой альтернативы:

(16)

= 20/5 = 4; = 28/5 = 5,6; = 38/5 = 7,6; = 25/5 = 5; = 21/5=4,2;

= 20/5 = 4; = 30/5 = 6; = 25/5 = 5.

Рассчитываем дисперсию Dc_i:

Dc₁ = ((7 — 4)² + (2 — 4)² + (5 — 4)² + (5 — 4)² + (1 — 4)²) / (5 — 1) = 6,0

Dc₂ = ((5 — 5,6)² + (7 — 5,6)² + (1 — 5,6)² + (6 — 5,6)² + (9 — 5,6)²) / (5 — 1) = = 8,8

Dc₃ = ((9 — 7,6)² + (10 — 7,6)² + (7 — 7,6)² + (4 — 7,6)² + (8 — 7,6)²) / (5 — 1) = = 5,3

Dc₄ = ((10 — 5)² + (1 — 5)² + (3 — 5)² + (4 — 5)² + (7 — 5)²) / (5 — 1) = 12,5

Dc₅ = ((2 — 4,2)² + (4 — 4,2)² + (2 — 4,2)² + (8 — 4,2)² + (5 — 4,2)²) / (5 — 1) = = 6,2

Dc₆ = ((3 — 4)² + (5 — 4)² + (2 — 4)² + (6 — 4)² + (4 — 4)²) / (5 — 1) = 2,5

Dc₇ = ((3 — 6)² + (8 — 6)² + (6 — 6)² + (3 — 6)² + (10 — 6)²) / (5 — 1) = 9,5

Dc₈ = ((6 — 5)² + (6 — 5)² + (2 — 5)² + (3 — 5)² + (8 — 5)²) / (5 — 1) = 4,75

Чем меньше величина дисперсии, тем больше степень согласованности (меньше разброс мнения экспертов). Это Dс₆ = 2,5.

5.2. Дисперсии, характеризующие близость к суждению каждого отдельного эксперта с коллективным суждением группы экспертов:

(17)

Dc₁ = ((7 — 4)² + (5 — 5,6)² + (9 — 7,6)² + (10 — 5)² + (2 — 4,2)² + (3 — 4)² + (3 — 6)² + (6 — 5)²)/(8 — 1) = = 7,451

Dc₂ = ((2 — 4)² + (7 — 5,6)² + (10 — 7,6)² + (1 — 5)² + (4 — 4,2)² + (5 — 4)² + (8 — 6)² + (6 — 5)²)/(8 — 1) = = 4,823

Dc₃ = ((5 — 4)² + (1 — 5,6)² + (7 — 7,6)² + (3 — 5)² + (2 — 4,2)² + (2 — 4)² + (6 — 6)² + (2 — 5)²)/7 = 6,337

Dc₄ = ((5 — 4)² + (6 — 5,6)² + (4 — 7,6)² + (4 — 5)² + (8 — 4,2)² + (6 — 4)² + (3 — 6)² + (3 — 5)²)/7 = 6,651

Dc₅ = ((1 — 4)² + (9 — 5,6)² + (8 — 7,6)² + (7 — 5)² + (5 — 4,2)² + (4 — 4)² + (10 — 6)² + (8 — 5)²)/7 = 7,194

6. Ранжирование:

А₃; А₇; А₂; А₈ и А₄; А₅; А₆ и А₁.

Список использованных источников

1. Экономико-математические методы: Элементарная математика и логика. Методы исследования операций.? СПб.: Союз, 1999

2. Бережная Е. В., Бережной В. И. Математические методы моделирования экономических систем: Учеб. пособие. — М.: Финансы и статистика, 2001

3. Карданская Н. Л. Принятие управленческого решения. — М.: ЮНИТИ, 1999

4. Ларичев О. Н. Теория и методы принятия решений. — М.: Логос, 2000

5. Литвак Б. Г. Разработка управленческого решения. — М.: Дело, 2000