Различные способы и методы решения задач

Анализ и синтез находят широкое применение при решении текстовых задач. Напомним, что анализ — это метод рассуждений от искомым к данным. Синтез — это метод рассуждений, ведущий от данных к искомым. Оба эти метода обычно применяются во взаимосвязи.

Анализ и синтез находят применение практически при решении каждого вида задач:

1) Анализ и синтез при решении задач на доказательство.

Задача: Шар касается всех трех боковых граней треугольной пирамиды в точке пересечения их биссектрис.

Доказать, что пирамида является правильной.

Анализ: Чтобы доказать, что пирамида правильная, достаточно доказать, что в основании ее лежит правильный треугольник, а боковые грани — равные равнобедренные треугольники. Для доказательства первого предположения достаточно установить, что AC=AB=BC, а это в свою очередь необходимое условие того, что ASC=ASB=BSC. Достаточно доказать, что KSC=LSC, LBS=MBS. Это верно т.к. KS=LS=MS, KC=LC, LB=MB (как отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности).

Синтез: Пусть K и L — точки пересечения биссектрис соответственно ASC, SBC. Имеем: плоскость (SDE) пересекает заданный шар по некоторому кругу. Аналогично, плоскость (CKL) пересекает этот шар по другому кругу.

• 1. KS=LS, KC=LC; 2. SKC=SLC; 3. KSC=LSC; KCS=LCS;
• 4. ASC=2KSC; ACS=2KCS; BSC=2LSC; BCS=2LCS, поэтому ASC=BSC и ACS=BCS; 5. ACS=BCS; 6. Из пункта 5 следует: AC=BC, AS=BS.

Аналогично, из предложения BSC=ASB следует, что BC=AB, AS=CS. По свойству транзитивности отношения равенства AC=BC=AB, ABC — правильный, ASC=ASB=BSC, AS=BS=CS, т. е. боковые грани пирамиды — равные равнобедренные треугольники, то пирамида правильная. Что и требовалось доказать.

2) Анализ и синтез при решении текстовых задач. Текстовыми задачами здесь названы математические задачи, в которых входная информация содержит не только математические данные, но еще и некоторый сюжет. При решении текстовых задач с помощью аппарата арифметики роль анализа сводится к составлению плана решения, задача же чаще всего решается синтетическим методом.

Задача: Большая комната имеет длину 5 3/10 метра и ширину 4 метра, а меньшая комната длину 4 метра и ширину 3 3/10 метра. Насколько площадь одной из них больше площади другой?

Анализ: Чтобы ответить на вопрос, необходимо вычислить разность площадей комнат, а для этого надо знать площадь каждой комнаты. Площадь комнаты равна произведению ее длины на ширину. План задачи: найти площадь каждой из комнат и из большей вычесть меньшую.

Синтез: Площадь большей комнаты равна 5 3/10 * 4 (м), а площадь меньшей 4*3 3/10 (м), их разность равна:

• 5 3/10*4 — 4*3 3/10=4*(5 3/10 — 3 3/10)=8 (м).
• 3) Анализ и синтез при решении задач на построение в геометрии. Как известно, решение геометрических задач выполняется по следующему плану: анализ, построение, доказательство, исследование.

Задача: Через данную прямую a провести плоскость, параллельную другой данной прямой b.

Анализ: Для построения плоскости, такой, чтобы a и b была параллельна. Достаточно, чтобы это плоскость проходила через прямую, параллельную прямой b. Но эта же плоскость должна проходить и через данную прямую a, т. е. достаточно построить (a, c) и c параллельна b.

Построение: На прямой a выберем произвольную точку A, в плоскости (A, b) строим прямую c параллельную b, a c=A. Плоскость (a, c) и должна быть искомой.

Доказательство: прямая c параллельна b и c, поэтому параллельна b. Но a.

Исследование: Построение зависит от взаимного расположения прямых a и b в пространстве. Возможны 3 случая:

• 1) Данные прямые a, b скрещиваются. Из приведенного выше построения следует единственность решения. Действительно, какова бы ни была точка Aa, существует единственная прямая c такая, что ca=A и c была параллельна b. Все множество таких прямых образует единственную плоскость, которая обладает свойствами c.
• 2) Прямая a параллельна b. Любая плоскость, содержащая a, будет удовлетворять условию задачи.
• 3) ad=A. Задача имеет единственное решение: (a, b).

Другие общие методы решения задач.

Один из них — метод исчерпывающих проб, основой которого является выявление всех логических возможностей и отбор из них таких, которые удовлетворяют условию задачи. С помощью этого приема решаются, в частности, некоторые элементарные задачи теоретико-числового содержания.

Рассмотрим пример. Найти все четырехзначные числа, удовлетворяющие двум условиям: сумма цифр числа равна 11 и само число делится на 11.

Решение: Пусть искомое число abcd=10a+10b+10c+d. Можно составить систему из двух уравнений: a+b+c+d=11; (a+c)-(b+d). Второе уравнение этой системы выражает делимость искомого числа на 11. Суммируя уравнения системы, получим уравнение 2(a+c)=11(k+1), в котором k € {-1;0;1}. Разность в левой части второго уравнения не может быть меньше (-11) и больше (11). Применяя этот метод получим: k=1 => a+c=0 => a?0, это противоречит условию. k=0 => 2(a+c)=11, чего не может быть: левая часть делится на 2, а правая не делится на 2. k=1 => 2(a+c)=22 => (a+c)=11, b=0, d=0, значения (a) и © находятся опять методом исчерпывающих проб.

Следующий метод — это метод сведения. Суть его состоит в том, что данные задачи подвергаются последовательным преобразованиям.

Пример: Доказать, что x-2xy+2y-2x+3>0.

Решение: Преобразуем левую часть неравенства:

x-2xy+2y-2x+3=x-2x (y+1)+(y+1)-(y+1)+2y+3=(x-y-1)+y;

2y+1+1=(x-y-1)+(y-1)+1>0.

По свойству транзитивности и неравенств получим:

x-2xy+2y-2x+3>0, что и требовалось доказать.

Далее метод решения задач имеет своей основой моделирование. Для моделирования привлекаются различные математические объекты: числовые формулы, функции, уравнения.

Математическое моделирование находит применение при решении многих текстовых задач.

Пример: Артели косцов надо было скосить 2 луга, один вдвое боле другого. Половину дня вся артель косила большой луг. После полудня половина артели осталась на большом лугу и к вечеру докосила его до конца. Вторая половина косила малый луг, на котором к вечеру остался участок, скошенный на другой день одним косцом, переработавшим целый день. Сколько было косцов в артели? Предполагается, что полдень делит рабочий день на 2 равные части, а производительность всех косцов одинакова.

Решение: Обозначим число косцов x. Если составить диаграмму к условию задачи, то можно составить уравнение: 0,5x+2=0,5*1,5x, решив данное уравнение, получим, что x=8.

Большое практическое значение имеют методы нахождения приближенных значений искомых величин. Приближенное решение могут получиться и с помощью численных методов, например, при решении квадратных уравнений по формулам их корней. В геометрии используются приближенные методы построения. Примерами их служат спрямление окружности, построение квадрата, равновеликого данному, деление угла на равные части и т. д.

Все графические приемы решения задач на вычисление дают приближенные решения. Одна из основных целей решения задач в школьном курсе математики и состоит в том, чтобы обеспечить действенное усвоение каждым учеником основных методов и приемов решения учебных математических задач.

Общепризнанно, что для выработки у учащихся умения решать задачи, важна всесторонняя работа над одной задачей, в частности, и решение её различными методами. Следует отметить, что решение задач различными методами позволяет убедиться в правильности решения задачи даёт возможность глубже раскрыть зависимости между величинами, рассмотренными в задаче.

Решение задач в 7−8 классах осуществляется, в основном, двумя методами:

• Ш алгебраическим, при котором составляется уравнение (система
• Ш уравнений), его решение основано на свойствах уравнений;
• Ш комбинированным, который включает как арифметический, так и алгебраический способы решения.

Подробнее остановимся на первом способе — решение алгебраических задач путем составления уравнений и систем уравнения.

При алгебраическом методе ответ на вопрос задачи находится в результате составления и решения уравнения. В зависимости от выбора неизвестного для обозначения буквой, от хода рассуждений можно составить различные уравнения по одной и той же задаче. В этом случае можно говорить о различных алгебраических решениях задачи.

Рассмотрим пример.

Задача. Три участка общей площадью 360 га засеяны рожью. Первый участок на 120 га меньше второго, который на 60 га больше третьего. С первого участка собрали по 26 ц. с 1 га, со второго — по 24 ц., а с третьего — по 22 ц. с 1 га. Сколько центнеров ржи собрали?

Самый трудный момент при решении задачи алгебраическим способом — мотивировка составления уравнения. Обращая внимание учащихся на графическую иллюстрацию и «содержательную» схему анализа задачи, подводим школьников к выводу, что за неизвестное следует принять площадь II участка. Такой выбор неизвестного приводит к следующим рассуждениям: если площадь II участка х га, то площадь I участка (х—120) га, а площадь III участка (х — 60) га; тогда площадь трех участков (х + х — 120 + х — 60) га, а так как по условию задачи площадь трех участков равна 360 га, то можно составить уравнение.

х+х-120+х-60=360.

При обучении учащихся решению задач алгебраическим способом целесообразно требовать от школьников проговаривания мотивировки составления уравнения. Желательно одну и ту же задачу решать, составляя различные уравнения при выборе за неизвестное различные величины, входящие в условие задачи. Такой прием позволяет сформировать у учащихся умение мотивировать составление уравнения при решении задачи алгебраическим способом.

Для рассматриваемой задачи можно предложить составить уравнения, выбрав за неизвестное:

• а) площадь I участка;
• б) площадь II участка или площадь III. Выбор неизвестного и составление уравнения можно оформить в виде таблицы

Таблица 2.1 Решение задачи.

Получение нескольких решений одной и той же задачи позволяет не только сравнивать эти решения, но и указывать наиболее рациональное из них.

Особое внимание уделяется проверке решения задачи. В практике школы проверке уделяют достаточно внимания, так как она помогает выяснить, правильно ли понята задача, согласуется ли найденный ответ с условием задачи. Учащихся следует познакомить с видами проверки решения задачи:

• Ш решение задачи другим способом;
• Ш установление факта, удовлетворяет ли полученный ответ
• Ш условию задачи по содержанию.