Статистическая обработка данных при сертификации продукции

Задание

вероятность дисперсия математический интервал В ста случаях зарегистрировано время (в секундах) обнаружения цели оператором радиолокационной станции с момента ее появления в зоне РЛ:

• 1. Найти оценки математического ожидания и дисперсии случайной величины Х.
• 2. Найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии, соответствующие заданной доверительной вероятности ((1 — б) = 0,85).
• 3. Оценить вероятность попадания случайной величины Х в заданный интервал (0,7 — 1).
• 4. Для этой вероятности найти доверительный интервал, соответствующий заданной доверительной вероятности ((1 — б) = 0,90).
• 5. Построить гистограмму и эмпирическую функцию распределения случайной величины Х.
• 6. Найти и построить доверительные области для плотности распределения f (x) и функции распределения F (x), соответствующие заданной доверительной вероятности ((1 — б) = 0,90).
• 7. Сгладить гистограмму и эмпирическую функцию распределения подходящим законом распределения.
• 8. Используя критерий согласия ч² и критерий Колмогорова, проверить правдоподобие гипотезы о совпадении выбранного закона распределения с истинным законом распределения при заданном уровне значимости (б = 0,05).

Решение

Располагаем экспериментальные данные в порядке возрастания:

• 1. Находим точечные оценки математического ожидания и дисперсии, учитывая, что n = 100, по формулам:
  • — для математического ожидания MX — выборочное среднее:

— для дисперсии DX — исправленная дисперсия:

— выборочная дисперсия — DX.

• 2. Находим доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии для доверительной вероятности (1 — б) = 0,85.
• 1) 2Ц (е_б) = 1 — б, Ц (е_б) — функция Лапласа

Ц (е_б) = (1 — б)/2 = 0,85/2=0,425.

По таблице для функции Лапласа находим е_б = 1,44.

2) а) доверительный интервал для математического ожидания:

Mx1 = 52,76 — 1,44 М Mx2= 52,76 +1,44 М.

б) доверительный интервал для дисперсии:

Dx1 = = 2737,03 Dx2= = 4131,77.

3. Вероятность попадания случайной величины Х в заданный интервал (0,7 — 1), то есть 36,93? ? 52,76:

.

m = 9 — число значений, попавшее в данный интервал,.

n = 100 — общее число значений.

• 4. Доверительный интервал для вероятности попадания случайной величины с доверительной вероятностью (1 — б) = 0,90:
• 2Ц (е_б) = 1 — б, Ц (е_б) — функция Лапласа

Ц (е_б) = (1 — б)/2 = 0,90/2=0,45.

По таблице для функции Лапласа находим е_б = 1,65.

Р1 = =0,053.

Р2 = =0,149.

5. 1) Для построения гистограммы Г (x) заключаем все экспериментальные данные в интервал (0; 316) и разбиваем его на 10 равных разрядов.

Значение гистограммы Г (x) находим по формуле:

.

где — число экспериментальных точек, попавших в этот разряд ;

— его длина.

величина интервала:

количество разрядов: k = 10.

величина разряда:

Значение гистограммы Г (х).

№разряда.

Разряд.

Частота попадания случайной величины X в разряд.

	нижняя граница.	верхняя граница.
			ni

		31,6.		0,51.	0,16 139.
	31,6.	63,2.		0,18.	0,5 696.
	63,2.	94,8.		0,14.	0,443.
	94,8.	126,4.		0,09.	0,2 848.
	126,4.			0,02.	0,633.
		189,6.		0,03.	0,949.
	189,6.	221,2.
	221,2.	252,8.		0,01.	0,316.
	252,8.	284,4.
	284,4.			0,02.	0,633.

Гистограмма представлена на рисунке 1.

Рисунок 1.

2) Построение эмпирической функции распределения случайной величины.

Соответствующую эмпирическую функцию рассчитываем по формуле:

.

где — число экспериментальных точек, лежащих левее Х.

Таблица значений F (x).

Ее график представлен на рисунке 2.

Рисунок 2.

• 6. Построение доверительных областей для плотности распределения f (x) и функции распределения F (x), соответствующие заданной доверительной вероятности (1 — б) = 0,90.
• 1) Построение доверительной области для функции распределения F (x):
  • — (1 — б) = 0,90 по таблице Колмогорова = 1,23
  • — максимальное расхождение D истинной функции распределения и эмпирической функции:

D =.

— искомая область выражается следующим образом:

F (x).

Таблица доверительных границ для F (x).

Функция распределения является вероятностью, следовательно, доверительная область для нее не может распространяться ниже нуля и выше единицы.

График эмпирической функции распределения F (x) с доверительной областью.

Рисунок 3.

• 2) Построение доверительной области для плотности распределения f (x):
  • — для каждого разряда находим частоту попадания случайной величины Х

.

где n_i — число экспериментальных точек, попавших в i-ый разряд Это было определено в 5 пункте.

• — находим доверительную вероятность (1-б₁) для построения доверительной области на каждом разряде:
  • (1-б₁) = 1 — б/r, r = 11 — число разрядов, включая полубесконечные.
  • (1-б₁) = 1 — 0,10/11 = 0,99 б₁ = 0,01
• — находим величину еб из условия: 2Ц (еб) = 1 — б1, Ц (еб) — функция Лапласа

Ц (е_б) = (1 — б₁)/2 = 0,99/2=0,495.

По таблице для функции Лапласа находим е_б = 2,61.

— для каждого разряда гистограммы находим доверительную область для вероятности попадания случайной величины в этот разряд по формулам:

— для каждого разряда гистограммы находим доверительную область для плотности распределения: и (для полубесконечных разрядов считаем, что они лежат в доверительной области).

Рассчитываем и строим следующую таблицу.

Гистограмма с доверительной областью изображена на рисунке 4.

Рисунок 4.

7. Сглаживание гистограммы и эмпирической функции распределения подходящим законом распределения.

Из формы гистограммы следует, что гипотетическим распределением может быть экспоненциальное распределение с функцией.

.

где — оценка неизвестного истинного значения. Так как, то и, следовательно,.

Определим F_г(Х) для каждого Х, полученные результаты занесем в таблицу.

Эмпирическая F (X) и гипотетическая Fг (Х) функции распределения.

Рисунок 5.

Для плотности распределения:

Значение f_г(x) при разных значениях Х.

График для плотности распределения представлен на рисунке 6.

Рисунок 6.

• 8. Проверка правдоподобия гипотезы о совпадении выбранного закона распределения с истинным законом при уровне значимости б = 0,05.
• 1) Для проверки гипотезы с уровнем значимости используем критерий Пирсона. Экспериментальное значение находим по формуле:

.

где — число разрядов гистограммы (включая полубесконечные разряды),.

— номер разряда.

— вероятность попадания случайной величины вй разряд при гипотезе ,.

— число экспериментальных точек, попавших вй разряд,.

— общее число экспериментальных точек, n = 100.

— экспериментальная частота попадания случайной величины вй разряд.

Распределение критерия зависит от числа степеней свободы, которое находится по формуле:

.

где — число параметров гипотетического распределения.

Если гипотетическим распределением является экспоненциальное, то .

Таким образом, при и из таблицы находим.

и, следовательно, гипотеза по критерию согласия не является правдоподобной.

2) Для проверки гипотезы с уровнем значимости используем критерий Колмогорова Л.

Если величина D равна максимальной разнице между эмпирической и гипотетической F_г(x) функциями распределения:

D = 0,5 568.

и n — общее число экспериментальных данных, то.

Л_эксп = 0,5 568= 0,5568.

При уровне значимости б = 0,05 Л_б = 1,36.

Л_б> Л_эксп гипотеза правдоподобна.

Вывод: по критерию Пирсона гипотеза не является правдоподобной, а по критерию Колмогорова она правдоподобна. Но критерий Пирсона более весом, чем критерий Колмогорова, следовательно, гипотеза не является правдоподобной, то есть выбранный закон распределения не совпадает с истинным законом распределения при уровне значимости б = 0,05.