Задачи для самостоятельного решения

Испытания Бернулли

• 3.1. Инвестор, имея доступ к операциям на бирже, совершает с вероятностью 0,1 не более одной сделки в течение рабочего дня по покупкепродаже валюты (в субботу и воскресенье биржа не работает). Какова вероятность того, что за неделю будут совершены: а) три сделки; б) хотя бы одна сделка?
• 3.2. Каждое испытание проводится с вероятностью успеха 0,75. Найти вероятность того, что из десяти испытаний семь будут успешными.
• 3.3. Вероятность поражения мишени стрелком равна 0,9. Найти вероятность того, что, сделав 10 выстрелов, он не попадет в мишень.
• 3.4. Контрольная работа состоит из 10 задач и считается сданной, если решено хотя бы три задачи. Из предложенных подготовительных задач студентом самостоятельно сделана половина. Какова вероятность успешной сдачи работы? Какова вероятность получить «отлично», если для этого необходимо решить не менее семи задач?
• 3.5. Игра на внимательность игрока состоит в том, что под один из четырех перевернутых бумажных стаканов кладется конфета, стаканы перемешиваются. Нужно угадать стакан, под которым она лежит.

Найти вероятность того, что в десяти попытках испытуемый найдет не менее пяти конфет.

• 3.6. Известно, что вероятность обнаружения ошибки в документах строгой финансовой отчетности равна 0,01. Какова вероятность того, что в результате проверки 100 финансовых документов компания будет привлечена к ответственности
• 3.7. В люстре три лампы. Вероятность того, что они перегорят в течение года, составляет 0,008. Найти вероятность того, что в течение года перегорит одна лампа.
• 3.8. Малыш играет в кубики с нарисованными на них разными животными. Сколько раз ему нужно бросать одновременно три кубика, чтобы с вероятностью не менее 0,95 хотя бы один раз: а) появились три медведя; б) появились вместе лиса, волк и медведь?
• 3.9. Различные пирожные укладывают для продажи в коробки по 6 шт., в среднем 4 шт. из которых с шоколадной начинкой. Сколько коробок надо пересмотреть, чтобы с вероятностью не менее 0,99 нашлась хотя бы одна полностью шоколадная коробка.
• 3.10. Вероятность того, что хотя бы один трех заходящих в магазинчик туристов что-нибудь покупает, равна 0,9. Зашла туристическая группа из 10 человек. Какова вероятность, что пятеро из них уйдут с покупкой?
• 3.11. Среди студентов университета 5% будущих экономистов. Сколько студентов надо опросить, чтобы с вероятностью не менее 0,95 хотя бы один из них назвал себя студентом-экономистом?
• 3.12. Организаторы лотереи утверждают, что каждый сотый билет выигрышный. Сколько нужно купить билетов, чтобы с вероятностью 0,95 быть уверенным в том, что хотя бы один билет оказался выигрышным?

Полиномиальные испытания

• 3.13. Семь деталей раскладываются по трем ящикам. Какова вероятность того, что: а) в первом ящике будет три детали, во втором и третьем — по две детали; б) в каких-то двух ящиках будет по две детали, в одном — три?
• 3.14. Девять пассажиров садятся в лифт в цокольном этаже пятиэтажного дома. Найти вероятность того, что четыре пассажира выйдут на одном этаже, три — на другом и еще два — на еще одном этаже.
• 3.15. Восемь квитанций раскладываются по пяти папкам. Найти вероятность того, что не будет пустых папок.
• 3.16. В четырехэтажном гипермаркете лифт поднимает с цокольного этажа (места парковки) 10 пассажиров. Обычно половина пассажиров выходит за продуктами на первом этаже, 40% — на втором этаже, где расположены магазины электроники. Остальные едут на третий этаж в кафе и рестораны. Какова вероятность того, что так случится и на этот раз?

Наивероятнейшее число успехов

• 3.17. Проводится 12 независимых испытаний с вероятностью успеха, равной 0,4. Найти наиболее вероятное число успешных испытаний.
• 3.18. Вероятность попадания стрелка в цель равна 0,7. Наивероятнейшее число попаданий у него оказалось равным 15. Сколько выстрелов он сделал, чтобы в этом убедиться?
• 3.19. Сын проигрывает отцу в среднем четыре партии из шести. Сколько партий они сыграли, если наивероятнейшее число выигрышей сына оказалось равным пяти?

Формула Пуассона

• 3.20. Завод выпускает в среднем 99 велосипедов из 100 без брака. Контрольная проверка 500 велосипедов выявила 10 бракованных экземпляров. Насколько ожидаем такой результат?
• 3.21. Стрелок делает 500 выстрелов с вероятностью промаха 0,01. Какова вероятность того, что 99% выстрелов будут сделаны без промаха?
• 3.22. Вероятность что-нибудь выиграть в лотерею составляет величину 0,02. Какова вероятность, что человек, купивший 100 билетов, ничего не выиграл?
• 3.23. В компьютерном наборе возникают опечатки в среднем одна на 1000 слов. Какова вероятность совершить от четырех до шести ошибок в статье на 5000 слов?
• 3.24. Вероятность брака импортной микросхемы мала, но получить партию в 100 штук без брака удается в двух случаях из 10. Какова вероятность, что в новой заказанной партии микросхем будет одна бракованная?

Теоремы Муавра — Лапласа

• 3.25. Фирма по прокату автомобилей имеет в своем автопарке 100 исправных авто, каждый из которых арендуется с вероятностью 0,7. Найти вероятность того, что в данный момент арендовано: а) от 60 до 80 авто; б) не менее 70 авто.
• 3.26. В течение каждого года число пасмурных дней в среднем равно 90. Найти вероятность того, что в течение следующего года число пасмурных дней будет в пределах от 80 до 100.
• 3.27. На курсе учится 200 студентов, из которых на лекции обычно отсутствует половина. Для проведения лекции заказана аудитория на 120 мест. Найти вероятность того, что все пришедшие на лекцию студенты смогут разместиться в аудитории.
• 3.28. Известно, что число работающих женщин в регионе составляет 40%. Социологическая служба занятости опросила 1000 женщин. Какова вероятность того, что процент работающих женщин из этой выборки отличается от известного процента по региону не более, чем на 0,05?

• 3.29. В центральной части города расположено 10 кафе и закусочных. В выходные дни их равновероятно посещают до 1000 человек. Сколько посетителей с вероятностью 0,95 ожидает в таком случае хозяин одного заведения?
• 3.30. Сколько подбрасываний симметричной монеты нужно сделать, чтобы с вероятностью 0,99 отклонение частоты выпадений герба от вероятности 0,5 не превышало величины одного процента?
• 3.31. В среднем 5% рекламных листков дают отклики. Выпущено 500 рекламных листков. Найти наивероятнейшее число откликов и вероятность того, что число откликов будет отличаться от него не более чем на 10.