Возбуждение свободных резонансных колебаний с использованием параметрических и силовых воздействий

Возбуждение свободных резонансных колебаний с использованием параметрических и силовых воздействий

Для возбуждения свободных резонансных колебаний в механических системах используются установки с силовым [1,2] и параметрическим [3,4] возбуждением. Схема с двумя синфазными синтезированными источниками свободных колебаний (параметрических и силовых) является наиболее эффективной [5]. В данном исследовании, проблема синтеза была решена при помощи интегральных квадратичных ограничений на интенсивность возбуждающего влияния, используя процедуру, которая включает в себя эквивалентную реализацию и вариационные методы. В результате, непрерывные законы возбуждения характеризуется относительно сложной структурой, определяются с обратной связью. В данной статье мы изучим эффективность системы, используя в качестве примера одномассную систему и простейшее реле с использованием параметрических и силовых воздействий, описанных законами свободных колебаний.

Рассмотрим одномассную механическую систему, динамика которой описывается уравнением.

где s является оператором дифференцирования, а U и V есть значения амплитуды силового и параметрического эффекта соответственно.

Следует отметить, что закон силы возбуждения использовался в [1], а закон параметрического возбуждения в [3].

Решаем уравнение [1] в первой гармонической аппроксимации x=A sin? Ш и sx=щA cos? Ш, где A? амплитуда свободных колебаний, щ? их частота, и Ш? общая фаза. Проведя процедуру линеаризации, уравнение (1) примет вид.

Периодический режим с частотой щ соответствует мнимому корню s=jщ характеристического уравнения, полученного для уравнения (2). Подставляя эту величину в характеристическое уравнение и разделяя действительные и мнимые части, приходим к следующим уравнениям для частоты щ и амплитуды A:

Первое уравнение из (3) даёт щ=щ₀. Подставляя это значение во второе уравнение из (3), определяем амплитуды свободных колебаний.

Режим с амплитудой A и частотой щ₀ является стабильным, поскольку, в соответствии со вторым уравнение из (3).

Рисунок 1.

Рисунок 2.

Так, уравнения (4) и (5) дают d/dA Y (A, щ₀)=4U/(рA²)>0. В соответствии с критерием [6], режим стабильный. Сравнение значений A с амплитудой свободных колебаний только при применении силы возбуждения (A₀=4U/(2kщ₀)) показывает, что добавление параметрического возбуждения позволяет значительно увеличить интенсивность свободных колебаний. Этот эффект существует благодаря нелинейному взаимодействию между силовыми и параметрическими источниками свободных колебаний.

Чтобы сравнить уровни интенсивности возбуждающего эффекта и свободной амплитуды колебаний, рассмотрим уравнение (4) в качестве уравнения связи между U и V для данной амплитуды свободных колебаний A=const:

Рис. 1 показывает зависимость между U и V, рассчитанные для щ₀=1, k=0.1 и различных значений V (V.

• 1. Асташев В. К., Бабицкий В. И., Герц М. Е. К синтезу авторезонансных систем. Научн. тр. ВУЗов Лит. ССР, Вибротехника, 1973, № 3 (20), с. 253 -259
• 2. Израилович М. Я., Морозова Н. И. Оптимальное управление периодическими движениями нелинейных механических одномассных систем // Машиноведение. 1981. й 2. С 39−46.
• 3. Израилович М. Я. Синтез автоколебательных систем с параметрическим возбуждением // Пробл. маш. и над. машин. 1996. I 4. С 20−28.
• 4. Израилович М. Я. Параметрическое возбуждение автоколебаний // Изв. РАН Механика твёрдого тела. 1997. № 3. С 54−63.
• 5. Израилович М. Я. Синтез автоколебательных систем с параметрическим и силовым источниками возбуждения // ДАН.1999. Т, 369. Л 2. С 180−181.
• 6. Бабицкий В. И. Теория виброударных систем. М.: Наука, 1978.