Свойства и вывод уравнений сохранения для монодисперсных сред

Рассмотрим сначала монодисперсную суспензию. В принятых предположениях стационарные уравнения сохранения импульса и массы суспензии в целом и ее дисперсной фазы запишутся в лабораторной системе координат r в следующем виде (1), (2):

(1).

Здесь введены средние плотность и ускорение суспензии:

(2).

А и представляют собой эффективный тензор средних напряжений и среднюю силу межфазового взаимодействия на единицу объёма суспензии, которые формально выражаются в виде:

(3).

Где — тензор средних напряжений, действующих на поверхности одиночной частицы суспензии (начало конвективной системы координат x выбрано в центре этой частицы), а e — тензор средних скоростей деформации в потоке суспензии. Уравнения сохранения массы и импульса непрерывной фазы представляют собой разности соответствующих уравнений в (1) для суспензии в целом и для ее дисперсной фазы.

Для определения тензора имеется специальная задача об обтекании пробной частицы двухфазовой дисперсной средой, свойства которой на удалении от поверхности частицы совпадают со свойствами суспензии, но не однородны в слое, примыкающем к этой поверхности. Для умеренно концентрированных суспензий существованием этого слоя можно вообще пренебречь, что соответствует пренебрежению эффектом непрекрываемости частиц при определении ансамбля их конфигураций (1),(2). Чтобы сформулировать указанную задачу, запишем уравнения движения (1) в конвективной системе координат:

(4).

Причем член с отражает появление инерционной силы в этой координатной системе и вычисляется для точки, связанной с центром пробной частицы. При записи (4) пренебрегли инерционными эффектами, связанными с относительным движением фаз.

Ввиду линейности уравнений (4) можно принять (1),(2).

. (5).

Здесь и () — некоторые неизвестные коэффициенты, которые определяются апостериори из условия согласованности теории, а именно из условия совпадения выражений (5) с соотношениями, следующими из (3) после решения задачи о пробной частице и вычисления интегралов в (3) на основе этого решения. Подчеркнем, что касательные напряжения в суспензии рассматриваются здесь в обычном и для механики однородных жидких сред приближении, когда учитываются только вклады в эти напряжения, пропорциональные первым степеням производных первого порядка от компонент скорости по координатам [4]. Поэтому условие совпадения напряжений из (3) и (5) понимается лишь с точностью до членов именно такого типа, а условие совпадения выражений для силы — с точностью до членов, линейных по производным второго порядка (действительно, из уравнений (4) ясно, что одинаковы порядки компонент векторов f и).

Из (4), (5) и граничных условий прилипания на поверхности пробной частицы имеем следующую задачу об её обтекании:

(6), , .

На бесконечном удалении от частицы возмущенные скорость и давление непрерывной фазы должны переходить в соответствующие невозмущенные величины и («бесконечность» понимается здесь в смысле метода сращиваемых асимптотических разложений). Решение задачи (6) легко выразить при произвольных и, удовлетворяющих уравнениям (4), в виде рядов по базисным функциям, построенным на сферических гармониках (см., например, (5,6)); здесь используем решения в форме, полученной в работе (7) где были вычислены так же некоторые важные интегралы по поверхности пробной частицы.

Используя результаты (7) и определяя в соответствии с соотношением для в (5), для величины в (3) имеем:

(7).

причем последний член при определении должен быть отброшен, чтобы не допустить превышения точности (см. замечание выше). Аналогично из (3) после интегрирования (7) имеем:

что приводит (после сравнения с 5) к равенствам:

(9).

Далее, из уравнения сохранения импульса дисперсной фазы в (4) с учетом выражения для силы в (8) и (9) получаем.

(10).

откуда с точностью до высших производных скорости имеем.

(11).

(порядок членов, возникающих при дифференцировании (10), легко оценить, используя уравнения (4)).

Учитывая (7) и (11) и сравнивая выражения для в (3) и (5), получаем формулу для эффективной вязкости суспензии.

(12).

Как и следовало ожидать, эта величина совпадает с определенной на основании односкоростной модели.

Соотношения (5), (9) и (12) замыкают систему уравнений (1) или (4) для макроскопически однородных суспензий одинаковых мелких сфер. В соответствии с (11) тензор скоростей деформации суспензии может быть отожествлён с таковым для непрерывной или дисперсной фаз (так что и в (5) можно заменить на и), относительная скорость в конвективной системе координат совпадает, очевидно, со скоростью в лабораторной системе, а пространственные производные скоростей в обеих координатных системах одни и те же.

Сравнение формулы (12) с экспериментальными данными проиллюстрировано на рис. 1 Опыты были выбраны для сравнения потому, что они обычно используются при проверке большинства предлагаемых эмперических и других формул, опыты — ввиду очень чистых условий, в которых они производились. При этом на рис. 1 показаны лишь результаты экспериментов для суспензии частиц полиметилметакрилата в водных растворах глицерина, полученные на ротационном вискозиметре. В этих эксперимента гарантировались как устойчивость суспензии (агрегаты частиц не образовывались), так и отсутствие структурообразования (характерного, например, для течений в капиллярном вискозиметре). Видно, что теория, развитая для умеренно концентрированных суспензий, приводит к вполне удовлетворительным результатам вплоть до объемной концентрации частиц, равной 20−25%. На рис. 1 приведены также кривые, соответствующие известной формуле Эйнштейна.

Эффекты, связанные с относительным движением фаз Рассмотрим теперь эффекты, связанные с относительным движением фаз, а следовательно, и с их взаимодействием. Теоретическое описание таких эффектов будет, очевидно, существенно зависеть от того, используется ли при этом простая односкоростная модель или реальная двухскоростная модель (как выше).

Прежде всего сила межфазового взаимодействия в (8) отличается от вычисленной в том отношении, что вместо скорости суспензии (или с) в (8) фигурирует средняя скорость непрерывной фазы (или). Это совершенно не существенно при описании движения суспензии как целого, но весьма важно при анализе явлений типа оседания суспензий в каналах, отстойниках и т. д. Действительно, вычислим, например, скорость седиментации частиц в поле тяжести при условии, что суспензия в целом неподвижна, т. е.. Из (2) имеем в данном случае, и уравнение сохранения импульса дисперсной фазы из (1) дает:

(13).

Отсюда и из определения в (2) и в (12) получаем:

(14).

Где — стоксова скорость оседания частицы в чистой непрерывной фазе, плотность и вязкость в которой равны и соответственно.

Рис. 1. мелкодисперсный вязкость суспензия реологический

Зависимость относительной вязкости суспензии от ее объёмной концентрации.

Сплошная кривая — формула (12), штриховые — формулы Эйнштейна (1) и Бетчелора-Грина (13), а — данные (10), б — (11), в — (12).

Рис. 2.

Зависимость относительной скорости седиментации от объёмной концентрации суспензии; штриховая — формула Бетчелора, 1 — экспериментальные данные (14), 2 — (15).

На рис. 2 сравнивается формула (14) с экспериментами. Здесь же показана кривая, следующая из опыта. Видно, что согласие между теорией и опытом достаточно хорошее вплоть до значений, равных 0,20−0,25.

Укажем смысл отдельных членов в (8). Первый член описывает силу вязкого воздействия окружающей среды на частицы в единице объёма суспензии; при этом роль вязкости среды играет эффективная вязкость суспензии, а роль относительной скорости — истинная скорость межфазового скольжения. Второй член представляет собой эффективную вязкость Факсена, также определяемую при помощи вязкости. Наконец, третий член в (8) описывает эффективную силу плавучести (архимедову силу), обусловленную как внешним полем массовых сил, так и полем инерционных сил; при этом в качестве плотности внешней среды фигурирует средняя плотность суспензии .

Отметим, что дискуссия о том, каким образом правильно записать отдельные члены в выражении для силы межфазового взаимодействия, в частности, связанные с градиентом давления в невозмущенном потоке, продолжается до сих пор, причем проводится различие между компонентами этого градиента, вызванными гидростатическими и гидродинамическими причинами. Формула (8) позволяет завершить эту дискуссию применительно к установившимся потокам с мелкими частицами.

Укажем, что имеется ряд проблем, в котором правильный учет составляющих силы взаимодействия оказывается важным не только в количественном, но и в качественном отношении. Так, например, введение в указанную силу члена серьёзно изменяет картину инерционного осаждения частиц суспензии на обтекаемое ею тело по сравнению с картиной, предсказываемой в случае, если такой член не учитывается. В действительности вместо члена с в (8) фигурирует член, пропорциональный, и хотя последняя величина может быть выражена через другие динамические переменные при помощи уравнений движения, его окончательное выражение все же отличается.

До их пор рассматривались уравнения сохранения массы и импульса. В ряде случаев важно исследовать также влияние составляющих тензора эффективных напряжений, зависящих от угловых скоростей вращения частиц, а также уравнения сохранения момента импульса фаз. В последних фигурируют две величины, также выражающиеся через интегралы по поверхности пробной частицы от воздействующих на ней напряжений, — средний момент межфазового взаимодействия и псевдотензор средних моментных напряжений. Из решения задачи (6) после вычислений получаем:

(15).

а также.

(16).

Здесь — антисимметричный альтернирующий тензор Леви-Чивиты, а псевдотензор скоростей деформаций, построенный по полю псевдовектора. Очевидно, что с принятой точностью .

Полидисперсные среды Выше рассматривались монодисперсные суспензии. Обобщим теперь полученные результаты на полидисперсную суспензию с функцией распределения частиц по размерам :

(17).

Легко видеть, что для рассматриваемых умеренно концентрированных суспензий такое обобщение тривиально. Действительно, полидисперсность частиц оказывается на реологических характеристиках среды лишь в той мере, в какой она влияет на свойства фиктивной дисперсной среды, обтекающей пробную частицу, в поверхностном слое, концентрическом с частицей. Но в пренебрежении непрекрываемостью частиц существованием такого слоя вообще пренебрегали. Поэтому результаты, полученные выше, будут справедливы и для частиц любого радиуса в полидисперсной суспензии. В частности, ясно, что в рассматриваемом приближении эффективная вязкость суспензии вообще не зависит от вида функции и по-прежнему определяется формулой (12). Сила, действующая на частиц, находящихся в единичном объёме суспензии и имеющих радиусы в интервале, со стороны окружающей среды имеет вид:

(18).

Скорость частиц радиуса определяется из уравнений сохранения массы и импульса таких частиц, полностью аналогичных уравнениям в (1):

(19).

Уравнения сохранения массы и импульса суспензии в целом в данном случае имеют форму (используем представление для из (5)):

(20).

Система уравнений (19) и (20) служит для определения неизвестных и (в потоке макроскопически однородной суспензии уравнения сохранения массы в (19) и (20) представляют собой последствия одно другого). Уравнения сохранения массы и импульса непрерывной фазы получаются после вычитания из (20) соответствующих уравнений (19), проинтегрированных по с весом .

Совершенно аналогичным путем нетрудно получить выражения для момента, действующего на стороны окружающей среды на частицы данного радиуса в единичном объёме, и для эффективного псевдотензора моментных напряжений, фигурирующих в уравнениях сохранения момента импульса, заменяющие (15) и (16) в случае полидисперсной суспензии.

Отметим также, что легко выписать также выражения для разных характеристик суспензии, полидисперсной не только по размерам, но и по плотности содержания в ней частиц.