Остаточные ошибки. 
Использование метода Бокса-Дженкинса для прогнозирования временных рядов

Прогноз остаточных ошибок предоставляют большие возможности для диагностики. Обзор распределения ошибок помогает выровнять смещение модели. Ошибки от идеальной модели будут напоминать белый шум, то есть Гауссовским распределением со средним значением равным нулю и симметричной дисперсией.

Для этого можно воспользоваться графиками плотности, гистограммами и Q-Q диаграммами, которые сравнивают распределение ошибок для ожидаемого распределения. Негауссовым распределением можно воспользоваться для предварительной обработки данных. Искажение в распределении или ненулевое среднее можно использовать для нахождения смещения в прогнозах, которые могут быть правильными.

Присутствие серийной корреляции на остаточных ошибках предполагает дополнительную возможность для использования этой информации в модели.

Пример реализации модели ARIMA для временных рядов

Построена модель на примере реального набора данных, который описывает месячные продажи шампуня в течении трех лет. Так как данный набор данных не содержит привязку к какому-то определенному году, можно указать абсолютно любой год, для того что бы правильно отформатировать данные. На рисунке 1 указаны первые пять записей данных наблюдения и построен общий график.

Рисунок 1 — Первые пять записей данных наблюдения и график данных по ним Как видно, на графике набор данных имеет четкую тенденцию. Это значит, что временной ряд не стационарный и требует разностного дифференцирования. И для того, чтобы привести его к стационарному виду нужна разница порядка, как минимум в единицу. Для этого необходимо воспользоваться автокорреляцией и построить график временного ряда (рисунок 2).

Рисунок 2 — Пример графика автокорреляции На графике (рисунок 2) можно заметить, что автокорреляция является положительной на первых 10−12 лагах, из которых значимы первые 5. Поэтому хорошей стартовой точкой AR параметра модели может быть 5.

Библиотека statsmodels отлично подходит для реализации модели ARIMA. Для того что бы создать модель ARIMA необходимо:

• 1. Определить модель, вызвав функцию ARIMA () и подставив параметры p, d, q.
• 2. Подготовить модель к обучению данными вызовом функции fit ().
• 3. Прогноз можно сформировать вызовом функции predict () и определения индекса времени для которого делается прогноз.

Для начала была произведена подгонка модели ARIMA для всего набора данных с разбором остаточных ошибок. Для этого создана модель ARIMA с параметрами 5 для авторегрессии, разность порядка в единицу для того что бы сделать временной ряд стационарным и среднего скользящего модель в ноль.

После запуска программа выдаст суммарные данные о модели в отчет (рисунок 3), в котором представлены суммы значений используемых коэффициентов, а также их оценка сопоставления с данными.

Рисунок 3 — Суммарные данные результатов модели ARIMA.

Для того чтобы отследить возможное существование трендов, не идентифицированных моделью, было произведено построение графика остаточных ошибок (рисунок 4).

Рисунок 4 — График остаточных ошибок Далее сформирован график плотности остаточных ошибок, предполагая, что ошибки имеют Гауссово распределение, но не сосредоточены около нуля (рисунок 5).

Рисунок 5 — График плотности остаточных ошибок На рисунке 6 представлено распределение остаточных ошибок. Результаты показали, что имеется уклон в прогнозировании (ненулевое среднее в ошибках).

Рисунок 6 — Распределение остаточных ошибок.