Математические основы квантовой теории СПР с учетом истощения волны накачки

В настоящем разделе рассматривается точная теория взаимодействия световых полей с учетом их квантовой природы в кристалле с квадратичной нелинейностью. Используется трех-модовая модель взаимодействия мощной волны накачки с сигнальной (мода) и холостой волны (мода), для которых выбирается условие фазового синхронизма (4.1.3). Данное трех-модовое взаимодействие СПР имеет смысл, так как отражает суть данного типа взаимодействия. Одновременно имеет место как преобразование фотона накачки в два фотона с меньшими частотами (что учитывается в приближении не истощаемой волны накачки), так и соединение сигнального и холостого фотонов в один фотон накачки (что уже не учитывается в приближении не истощаемой волны накачки и отбрасывается). Таким образом, точная теория СПР отличается от приближения не истощаемой волны накачки тем, что обратный эффект преобразования сигнального и холостого фотонов в фотон накачки принимается во внимание. Другие пространственные моды не рассматриваются в трех-модовой модели. Временная форма световых импульсов не учитывается, чтобы значительно не усложнять анализ данного взаимодействия. Анализ СПР с учетом других пространственных мод и временной формы волны накачки можно найти в работе [187].

Рассмотрим трех-модовую модель взаимодействия световых волн в кристалле с квадратичной нелинейностью с фазовым синхронизмом I типа. В данной модели используется следующий Гамильтониан для бозонных операторов взаимодействующих мод [188−192].

(4.2.1).

в котором нижние индексы операторов, и относятся к сигнальной, холостой и моде накачки, —- коэффициент взаимодействия световых волн с квадратичной нелинейностью и — постоянная Планка. Считаем, что следующее состояние.

(4.2.2).

является начальным к Гамильтониану (4.2.1). В работах [188−192] было показано в Шредингеровском представлении, что выходное состояние имеет вид.

(4.2.3).

где волновые функции в накачивающей моде определяются следующими бесконечными суперпозициями фотонных состояний.

(4.2.4).

В выражении для волновых функций (4.2.4) присутствуют величины (и), которые удовлетворяют набору из линейных дифференциальных уравнений.

(4.2.5).

где введены следующие обозначения: параметр, —- длина кристалла, () — нормировочное время, —- скорость света в вакууме и значение безразмерного времени соответствует времени выхода света из кристалла. Здесь стоит упомянуть о используемых обозначениях в выражениях (4.2.2−4.2.5). Так верхний индекс в волновых функциях и амплитудах означает, что выходное состояние (4,2.3) было сгенерировано в случае использовании входных вакуумных состояний в сигнальной и холостой модах. Имеет место наложение следующих начальных условий для амплитуд.

. (4.2.6).

Помимо начальных условий амплитуды подчиняются условию нормировки.

(4.2.7).

Условие нормировки (4.2.7) непосредственно следует из набора дифференциальных уравнений (4.2.5).

Рассмотрим более подробно вид выходного состояния (4.2.3). Выходное состояние является бесконечной суперпозицией тензорных произведений фотонных состояний с некоторым состоянием в накачивающей моде. Данное тензорное произведение входит в состав суперпозиции с волновой амплитудой. Данное состояние напоминает состояние двух-модового сжатого вакуума (3.1.52), которое генерируется посредством действия двух-модового оператора сжатия (2.3.13) на вакуумное состояние. Известное состояние двух-модового сжатого вакуума является также бесконечной суперпозицией тензорного произведения фотонных состояний в коррелированных модах с соответствующими волновыми амплитудами. Как видно из вида данных волновых амплитуд, они не равны друг другу. Тем не менее, в предельном случае данные волновые амплитуды могут быть аппроксимированы как. Принимая, получим из формулы (3.1.52) выражение схожее с (4.2.3), за исключением коррелированного состояния в накачивающей моде. Но в модели с оператором (2.3.13) пренебрегается влиянием истощения волны накачки. Поэтому состояние (3.1.52) —- это коррелированное состояние двух мод. Трех-модовая модель с Гамильтонианом (4.2.1) учитывает истощение волны накачки, что ведет к генерации нового состояния в накачивающей моде.

Вид состояния в накачивающей моде полностью определяется коэффициентами, которые являются решением дифференциальных уравнений (4.2.5). В работах [188−192] было показано, что решение данных уравнений является едва ли возможным. Но есть возможность получить аналитический вид коэффициентов посредством их разложения в асимптотический ряд по параметру. Тогда, можно показать, что имеет место следующее разложение первых двух членов коэффициентов, где меняется от до.

(4.2.8).

(4.2.9).

. (4.2.10).

Возможно и дальнейшее разложение коэффициентов по параметру, что было продемонстрировано в работах [188−192]. Подстановка коэффициентов (4.2.8−4.2.10) в волновые функции (4.2.4) дает возможность получить выражения для нескольких первых со значением от до.

(4.2.11).

(4.2.12).

(4.2.13).

где нормированное состояние определяется как.

. (4.2.14).

Из выражений (4.2.8−4.2.13) следует, что вид волновой функции в накачивающей моде сильно зависит от соотношения параметров и. В случае возможно пренебречь вкладом состояния в состояниях (4.2.11−4.2.13). Тогда на выходе из кристалла генерируется состояние.

. (4.2.15).

Выражение (4.2.15) является выходным в теории СПР, где вероятность сгенерировать би-фотон определяется квадратом модуля. Можно сказать даже более, что выходное состояние может быть аппроксимировано суперпозицией [164, 168] в приближении.

(4.2.16).

Именно предсказание данного состояния [168] и последующее его экспериментальное подтверждение [169] послужило толчком для реализации различных оптических экспериментов, которые положены в основу квантовой информатики [23, 24]. Состояние (4.2.15) является не нормированным в силу используемого приближения в отличии от состояния двух-модового сжатого вакуума (3.1.52).

Данный подход применим к другим входным состояниям. Рассмотрим тот же самый Гамильтониан (4.2.1) с уже другим входным состоянием.

. (4.2.17).

Тогда можно показать, что входное состояние (4.2.17) на выходе из кристалла с квадратичной нелинейностью преобразуется в следующее выходное состояние.

(4.2.18).

где частные волновые функции могут быть записаны как.

(4.2.19).

с амплитудами, которые удовлетворяют следующему набору линейных дифференциальных уравнений.

. (4.2.20).

Можно показать, что выходное состояние может быть представлено в следующем виде.

(4.2.21).

где волновые функции в накачивающей моде имеют вид.

(4.2.22).

где (и) —- выходные амплитуды и верхний индекс в обозначениях означает, что входное состояние (4.2.17) было использовано в качестве начального. Форма волновых функций определяется коэффициентами, которые сложным образом зависят от. В силу симметрии можно записать окончательный вид трех-модового состояния на выходе из кристалла с квадратичной нелинейностью как.

(4.2.23).

при наличии начального состояния.

(4.2.24).

где волновые функции удовлетворяют тому же самому набору линейных дифференциальных уравнений (4.2.20).

Использование трех-модовой модели взаимодействия позволяет расширить анализ генерации коррелированного света в квадратичных средах и принять во внимание состояние света в накачивающей моде. Очевидно, что применение модели двух-модового сжатого вакуума имеет ограниченное применение и такая модель может быть использована скорее всего в диапазоне значений от до параметра сжатия. Как уже было отмечено выше, все состояния в накачивающей моде можно аппроксимировать когерентными состояниями не зависимо от значения параметра, пренебрегая вкладом последующих членов в разложении (4.2.11−4.2.13), в случае небольших значений параметра сжатия. В точной модели такая аппроксимация едва ли возможна в случае больших значений параметра сжатия. Можно сказать даже более. В модели с большим значением параметра сжатия состояние в накачивающей моде может играть роль эффекта декогерентности для состояний в сигнальной и холостой модах. Тогда корреляционные свойства сигнальной и холостой волн уменьшаются. В настоящем разделе не приводятся количественные оценки (только качественно объяснение) данного влияния в силу математических сложностей. Окончательный вид волновых функций и общие корреляционные состояния трех-модового запутанного состояния в настоящее время остаются открытой проблемой. Интерес к форме состояний может быть отчасти вызван хотя бы сравнением данного квадратичного процесса с процессом формирования новых состояний в кубичных средах. Как уже отмечалось в разделе 2.3, взаимодействие когерентного состояния с кубичной нелинейностью ведет к генерации СКС в идеальном случае (2.3.4, 2.3.5). Но как известно, абсолютное значение квадратичной нелинейности горазд выше значения кубичной нелинейности [60, 163, 164], что может гарантировать более удобные экспериментальные условия для генерации данных состояний. Как известно большинство оптических экспериментов по квантовой информатике было проведено с состояниями, которые генерируются на выходе из нелинейности. Более того состояние (4.2.3) может быть рассмотрено как в некотором роде гибридное коррелированное состояние. Микроскопические состояния света находятся в сигнальной и холостой модах, а макроскопическое состояние занимает моду накачки. Под степенью макроскопичности возможно принять тот факт, что волна накачки видна не вооруженным глазом.

Несмотря на тот факт, что общая теория трех-модового взаимодействия световых волн в среде с квадратичной нелинейностью является открытой темой, имеет смысл применить частные решения (4.2.11−4.2.13) к протоколам квантовой информатики. Так возможно использовать состояние (4.2.3) для обусловленной генерации макроскопического кубита в накачивающей моде. Действительно, достаточно зарегистрировать совместный клик в сигнальной и холостой модах, чтобы гарантированно сгенерировать состояние (4.2.12) в накачивающей моде в случае. В данном случае влияние коррелированных состояний высшего порядка будет не значительным. Соответственно точность генерируемого кубита будет выше, поскольку для его генерации требуется регистрация двух коррелированных фотонов в отличии от обусловленной генерации единичного фотона [123−125], когда регистрируется только один фотон. Другие применения трех-модовых состояний (4.2.3) обсуждаются ниже.