Метод определения внутренних усилий

Рассмотрим тело, имеющее форму стержня и находящееся в покое под действием некоторой системы внешних сил. В данную систему сил в общем случае могут входить как активные (заданные) силы, так и пассивные силы (реакции внешних связей). Если число компонент реакций внешних связей не превышает числа независимых уравнений равновесия, то задача по отысканию внутренних усилий оказывается статически определимой задачей. В противном случае задача является статически неопределимой.

Суть метода по отысканию внутренних усилий, называемого методом сечений, можно пояснить на примере прямого стержня (рис. 1.9). Мысленно рассечём стержень на две части, произвольной плоскостью. Выберем декартову систему координат, , с началом в центре тяжести сечения. Оси, расположим в плоскости сечения, а ось направим по внешней нормали сечения одной из частей, например части (рис. 1.9, а). В согласии с выбранным направлением оси и для удобства дальнейшего изложения условно будем называть часть левой частью стержня, а часть — правой частью стержня.

Поскольку до рассечения обе части взаимодействовали друг с другом, действие одной части на другую следует заменить поверхностными силами, распределёнными в плоском сечении по некоторому закону (рис. 1.9, б). Согласно третьему закону Ньютона (закону действия и противодействия) в каждой точке сечения поверхностные силы, действующие на левую часть со стороны правой части, равны и противоположны по направлению поверхностным силам, действующим на правую часть со стороны левой части. Эти поверхностные силы являются для стержня внутренними силами, а для каждой из частей , — внешними силами. Так как, нормальные и касательные напряжения в сечениях левой и правой частей равны по величине и противоположно направлены. По отношению к единой (для обеих частей стержня) декартовой системе координат, , это означает, что:

, .

Следовательно, интегральные характеристики напряжений (1.9), соответствующие каждой из частей, также имеют противоположные знаки:

(1.10).

Иными словами, в сечениях обеих частей стержня соответствующие интегральные характеристики напряжений равны по величине и противоположны по направлению (рис. 1.9, в).

После рассечения и приложения поверхностных сил обе части стержня становятся свободными телами, находящимися в состоянии покоя. Это позволяет составить две системы уравнений равновесия для каждой из частей стержня в отдельности. Для части имеем.

(1.11).

Соответственно для части.

(1.12).

Понятно, что обе части стержня — левая часть и правая часть — абсолютно равноправны. Поэтому в качестве внутренних силовых факторов в данном сечении стержня можно взять как величины, ,, ,, , так и величины, ,, ,,. Это вопрос простого соглашения. Посему за внутренние силовые факторы в данном сечении стержня принимаем значения интегральных характеристик напряжений для той части стержня, которая расположена слева от этого сечения (т. е. для части):

(1.13).

Благодаря равенствам (1.10), (1.13) из уравнений (1.11), (1.12) получаем две группы расчётных формул:

(1.14).

(1.15).

По первой группе расчётных формул (1.14) внутренние силовые факторы в произвольном сечении стержня равны взятым со знаком минус суммам соответствующих проекций и моментов всех внешних сил, приложенных к левой (от сечения) части стержня.

По второй группе расчётных формул (1.15) внутренние силовые факторы в произвольном сечении стержня равны взятым со знаком плюс суммам соответствующих проекций и моментов всех внешних сил, приложенных к правой (от сечения) части стержня.

Обе группы расчётных формул эквивалентны (из одной вытекает другая). Поэтому вопрос о том, какой из групп пользоваться, решается исходя из соображений простоты и удобства рассмотрения конкретной задачи. В частности, если заранее из уравнений равновесия для стержня в целом определены реакции всех внешних связей (статически определимая задача), то тогда одних уравнений (1.14) достаточно, чтобы найти значения всех внутренних усилий. При этом уравнения (1.15) можно использовать для проверки правильности полученного результата. Конечно, можно поступить и наоборот: найти по уравнениям (1.15) внутренние усилия и проверить результат подстановкой в уравнения (1.14).