Формулировка критерия прочности для частных случаев напряжённого состояния стержня

Для суждения о прочности стержня необходимо знать вид напряжённого состояния в наиболее опасной точке. В общем случае стержень подвергается растяжению (сжатию), кручению и изгибу. При этом в поперечных сечениях стержня возникают нормальные напряжения от нормальной силы и изгибающих моментов, определяемые формулой Навье (2.53), и касательные напряжения от крутящего момента и перерезывающих сил (рис. 3.4).

Рис. 3.4. Напряжённое состояние в точке стержня

В данном напряжённом состоянии.

, .

Поэтому.

.

где — полное касательное напряжение в сечении.

(рис. 3.4). Подставив полученное значение.

в общее условие прочности (3.11), будем иметь.

. (3.12).

Детализируем условие прочности (3.12) применительно к частным случаям напряжённого состояния, наиболее часто встречающимся на практике. Для упрощения записи конечных выражений введём обозначения.

для эквивалентного напряжения в наиболее опасной точке стержня,.

,.

.

для наибольших абсолютных значений продольной (нормальной) силы, крутящего и изгибающих моментов в поперечных сечениях стержня.

Растяжение-сжатие стержня. В данном случае согласно (2.53).

, .

Поэтому.

. (3.13).

Кручение стержня. В данном случае по формуле (2.56).

, .

Следовательно,.

.

Величина.

(3.14).

называется моментом сопротивления сечения стержня при кручении.

Поэтому.

.

Данное выражение можно переписать в виде.

(3.15).

где.

(3.16).

— модуль полного касательного напряжения в опасной точке и допускаемое касательное напряжение при кручении соответственно.

В случае стержня кругового или кольцевого сечения формулы (3.14), (3.15) принимают следующий вид:

, (3.17).

где — полярный момент инерции сечения, — радиус наибольшей окружности кольцевого сечения или радиус круга.

Изгиб стержня в главной плоскости. В данном случае по (2.53).

, .

Поэтому.

.

где — модуль координаты наиболее удалённой точки сечения.

Величина.

(3.18).

называется моментом сопротивления сечения относительно оси .

Поэтому.

. (3.19).

Изгиб стержня в главной плоскости. Пользуясь аналогией с предыдущим случаем, можно сразу записать условие прочности.

(3.20).

где.

(3.21).

— момент сопротивления сечения относительно оси , — модуль координаты наиболее удалённой точки сечения.

Растяжение, изгиб, кручение стержня кругового (кольцевого) сечения. В данном случае по формулам (2.53), (2.54), (3.12).

, .

Благодаря симметрии сечения данные формулы можно упростить, перейдя к новой системе координат (рис. 3.5, а), относительно которой.

, .

Здесь , — результирующий изгибающий момент. На основании этого можно записать.

.

Рис. 3.5. К замене системы координат

Нетрудно заметить (рис. 3.5, б), что в поперечном сечении с координатой опасной является точка, в которой складываются нормальные напряжения от действия продольной силы и изгибающего момента. Для данной точки с координатой с учётом (3.17), (3.18) имеем.

.

Отсюда получаем искомое условие прочности.

. (3.22).