Экскурс в историю

Первую математическую концепцию природы создали пифагорейцы («все вещи суть числа»). Местами учение Пифагора носит мистический характер, далекий от реального положения вещей. Например, обожествление некоторых чисел: 1 — мать богов, всеобщее первоначало (видимо аналогия с началом натурального ряда), 2 — принцип противоположности в природе (так как противоположности всегда встречаются парами), 3 — природа как триединство первоначала и его противоречивых сторон (3=1+2), и т. д. Интересны (хотя и абсолютно не соответствующие действительности) его рассуждения о связи некоторых арифметических свойств чисел и общественными явлениями. Например, пифагорейцы выделяют так называемые совершенные числа: 6, 28, и т. д. — числа, равные сумме своих собственных (т.е. кроме самого числа) делителей: 6=1+2+3, 28=1+2+4+7+14. Эти числа, по Пифагору, отражают совершенство. Пары чисел, сумма собственных делителей одного из котрых равна другому и наоборот, как например, 284 и 220, называются дружественными и отражают явление дружбы в обществе. Пифагорейцы про верную дружбу говорили: «Они дружны, как 220 и 284». Несмотря на эти наивные представления, такие числа до сих пор представляют интерес для теории чисел — области математики, занимающейся арифметическими свойствами целых чисел. Например, до сих пор не известно, бесконечно ли множество совершенных чисел, или существуют ли нечетные совершенные числа? Также Пифагором и его школой были выявлены интересные числовые закономерности в музыке (высота тона колебания струны зависит от ее длины). Его учение дает первый пример целенаправленного применения математики в объяснении явлений природы, общества и мироздания в целом.

Платон продолжил пифагорейскую традицию, выдвинув на первый план геометрию («Бог всегда является геометром»). Теория материи Платона — это теория правильных многогранников. Аристотель не отрицал значения математики в познании природы, но полагал научные понятия извлеченными из реального мира абстракциями, которые могут быть полезными при описании явлений. Позже, в эллинистический период Евклид создал первую аксиоматико-дедуктивную систему геометрии, ставшую основой математизации античных оптики, статики и гидростатики (Евклид и Архимед) и астрономии (Птолемей). Впрочем, геометрия «Начал» Евклида и сама по себе была физической теорией, так как рассматривалась ее создателями как результат изучения реального пространства. Но уже в трудах Архимеда по теории рычага и плаванию тел геометрия используется как готовая математическая структура. По существу, с Архимеда пифагорейская максима «все есть число» заменяется на таковую «все есть геометрия» [2]. Античное наследие было сохранено и преумножено (в плане математизации научного знания) арабскими учеными и средневековыми мыслителями. Р. Бэкон, например, считал, что в основе всех наук должна лежать математика. Наиболее впечатляющим достижением математического подхода к астрономии стала гелиоцентрическая система Н. Коперника. В Новое время и корифеи точного естествознания (И. Кеплер, Г. Галилей, Х. Гюйгенс, И. Ньютон), и философы (Ф. Бэкон, Р. Декарт, Г. В. Лейбниц) считали математику (геометрию) «прообразом мира» (ср. с лейбницевским: «Cum Deus calculat, fit Mundus», т. е. «Как Бог вычисляет, так мир и делает»). Однако, развитие механики и гидростатики в XVI в. (особенно С. Стевином) и в XVII в. (Г. Галилеем и Б. Паскалем) демонстрирует сохранение архимедовского типа математизации: евклидова геометрия продолжает оставаться определяющей математической структурой.

Ньютон в «Математических началах натуральной философии» говорил о «подчинении явлений законам математики», и хотя он использовал язык геометрии, для формулировки законов механики ему пришлось создать дифференциальное и интегральное исчисление. Впервые был осуществлен прорыв за пределы евклидовой геометрии как математической структуры физики: благодаря усилиям Ньютона, Лейбница, К. Маклорена, Л. Эйлера классическая механика предстала как теория обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка. При этом важнейшую стимулирующую роль в возникновении и развитии математического анализа и теории дифференциальных уравнений сыграли задачи классической механики.