Волновое уравнение. 
Теория Ньютона и теория Пуассона о распространении упругих волн в среде

Рассмотрим произвольную функцию.

f (at-bx) (3).

от аргумента (аt—bх). Продифференцируем ее дважды по t:

.

(4).

Здесь штрих означает дифференцирование по аргументу (at—bx). Продифференцируем теперь нашу функцию дважды по х:

.

(5).

Сравнивая (4) и (5), мы убеждаемся, что функция (3) удовлетво­ряет уравнению.

(6).

Где u=a/b.

Легко видеть, что этому же уравнению удовлетворяет произвольная функция.

f (at+bx) (7).

(7) аргумента (at+bx), а также сумма функций вида (3) и (7).

Функции (3) и (7) изображают при положительных a, b плоские волны, распространяющиеся, не деформируясь, со скоростью и в сто­рону соответственно возрастающих или убывающих значений х **).

Уравнение (6)—дифференциальное уравнение в частных производных, играющее в физике очень важную роль. Оно называется волновым уравнением. В математических курсах доказывается, что оно не имеет решений, отличных от тех, которые могут быть представлены функциями вида (3) и (7) или суперпозицией таких функций, например,.

(at — bх) + (at+bx).

Всякий раз, когда из физических соображений можно установить, что та или иная физическая величина s удовлетворяет уравнению вида.

(6a).

мы сможем на основании сообщенных здесь математических сведений заключить, что процесс изменений этой величины носит характер плоской, волны, распространяющейся в ту или другую сторону со скоростью u, или суперпозиции таких волн.

Вид функций, определяется характером движения источника волн, а также явлениями, происходящими на границе среды.

Пусть источником волн является плоскость х=0, причем на этой плоскости величина S колеблется, но закону s =Acos (wt). В этом случае от плоскости х=0 распространяются вправо и влево волны.

s =Acos (wt±kx),.

Из линейности волнового уравнения следует, что если ему удовлетворяют функции, , … в отдельности, то ему удовлетворяет также функция.

S == + + + …

(принцип, суперпозиции).

Рассмотрим несколько примеров.

а) Волновому уравнению удовлетворяют синусоидальные бегущие волны.

= Aсоs (wt — kx), = Acos (wt+kx).

На основании принципа суперпозиции волновому уравнению удовлетворяет стоячая волна.

s=2Acoskx coswt,.

являющаяся суперпозицией только что рассмотренных синусоидальных бегущих волн.

б) Волновому уравнению на основании принципа суперпозиции удовлетворяет всякая функция вида.

.

Это—функция вида f (at—bx); она изображает несинусоидальную волну, распространяющуюся без деформации в сторону возрастающих х.

Рис. 4.

в) Пусть волны, , имеющие вид коротких импульсов, распространяются навстречу одна другой. В некоторый момент моментальный снимок суперпозиции + этих волн имеет вид, показанный на рис. 4, а. Через некоторое время моментальный снимок волны будет иметь вид, показанный на рис. 4, б, — волны пройдут «одна сквозь другую» и притом каждая так, как будто другой не существует.