Истечение через малое незатопленное отверстие с острой кромкой

Рассмотрим истечение жидкости плотностью из резервуара через малое незатопленное отверстие (рис. 1, а). Глубина погружения центра тяжести отверстия под свободной поверхностью равна (напор).

Истечение происходит при постоянном напоре, т. е. уровень жидкости в резервуаре является неизменным. Это возможно, если свободная поверхность жидкости занимает большую площадь (рис. 1, б) или если в резервуар подается такой же расход, что и вытекает через отверстие (рис. 1, а).

При постоянном напоре скорости истечения будут неизменными во времени, т. е. движение будет установившимся.

Рис. 1.

При этом линии тока и траектории движения частиц жидкости совпадают.

Малым отверстием называется такое, у которого наибольший вертикальный размер не превышает 0,1. При выполнении этого условия скорости на верхней и нижней границах вытекающей из отверстия струи можно считать одинаковыми.

Пусть свободная поверхность жидкости в резервуаре находится под давлением. Истечение происходит в газовую среду с давлением через незатопленное отверстие с острой кромкой.

Траектории частиц при приближении к отверстию искривляются. Действующая центробежная сила направлена внутрь формирующейся струи. Сечения струи постепенно уменьшаются. Сжатие продолжается и на некотором расстоянии от плоской стенки после выхода струи из резервуара. Движение жидкости на этом участке вблизи стенки неравномерное. Живые сечения потока на этом участке криволинейные, постепенно уменьшающиеся. По мере удаления от отверстия кривизна линий тока уменьшается, и на некотором расстоянии от стенки движение приближается к плавно изменяющемуся.

В связи с криволинейностью линий тока давление и местные скорости в сечениях струи на участке сужения изменяются весьма сложно.

Опыты, проведенные Базеном, показали, что при истечении через незатопленное отверстие с острой кромкой в горизонтальном дне открытого сосуда⁴ в плоскости отверстия избыточное давление изменяется от нуля у краев отверстия (т.е.) до 0,59 в центре отверстия (- напор).

Местная скорость, равная в центре отверстия, постепенно увеличивается до на кромке отверстия. При этом сумма удельной потенциальной и удельной кинетической энергий для всех точек плоскости сечения отверстия практически остается постоянной:

=const.

Ближайшее к отверстию сечение струи, в котором движение может быть принято плавно изменяющимся, находится на расстоянии примерно 0,5 от внутренней поверхности стенки резервуара. Это сечение называется сжатым сечением струи.

Скорости во всех точках сжатого живого сечения можно считать параллельными и в силу малости отверстия одинаковыми.

Коэффициент сжатия есть отношение площади сжатого живого сечения к площади отверстия :

.

Ниже сжатого сечения площади живых сечений струи изменяются слабо и жидкость движется в виде компактной струи. На достаточно большом расстоянии от отверстия в связи с насыщением струи воздухом (аэрация) струя начинает дробиться и теряет компактность.

Чтобы получить формулы для определения скорости и расхода, применим уравнение Бернулли. Составим его для сечений, движение в которых можно считать плавно изменяющимся. Выберем сечения А-А в резервуаре (рис. 1, а, б) и сжатое сечение струи С-С. В сжатом сечении давления не распределяются по гидростатическому закону, так как здесь const. Но для малого отверстия этим можно пренебречь и принять в пределах сечения справедливым соотношение =const. Горизонтальную плоскость сравнения удобно провести через центр сжатого сечения. Тогда.

.

где — глубина погружения центра тяжести выходного отверстия в стенке резервуара; и — давление в выбранных точках в сечениях А-А и С-С; и — средняя скорость движения жидкости соответственно в сечениях А-А и С-С; и — коэффициенты Кориолиса в сечениях А-А и С-С; - потери напора на участке между сечениями А-А и С-С.

Потери удельной энергии (в данном случае местные потери) здесь выразим как.

.

где — коэффициент потерь при истечении из отверстия с острой кромкой.

Перенеся известные величины в левую часть уравнения, получим.

.

Учитывая, что по уравнению неразрывности или (- площадь сечения резервуара А-А), имеем.

.

Отсюда в общем случае ().

.

В большинстве случаев в гидротехнической практике происходит истечение в атмосферу () из сосудов или резервуаров, на свободной поверхности которых, т. е. .

Тогда для средней скорости в сжатом сечении получим.

.

.

Этот множитель называется коэффициентом скорости.

Определим расход с учетом.

.

Используя, получаем.

.

где — произведение коэффициента сжатия и коэффициента скорости называется коэффициентом расхода.

Зная коэффициенты и, а также, и, можно вычислить расход .

Коэффициент скорости отражает влияние распределения скоростей в сжатом сечении (коэффициент Кориолиса), потерь напора (коэффициент) и соотношения площадей (в сжатом сечении) и (в сечении А-А в резервуаре).

Часто при формулу для средней скорости в сжатом сечении из получают в виде.

.

где выражение называется напором с учетом скорости подхода ;

.

Множитель, так же как и, называется коэффициентом скорости. Коэффициент скорости отражает влияние распределения скоростей в сжатом сечении () и потерь напора ().

Для расхода запишем.

.

или с учетом.

;

.

В невязкой (идеальной) жидкости сопротивления отсутствуют:; ;; =1. При движении вязкой жидкости имеются потери напора:; ;. Обычно условно принимается =1, хотя распределение скоростей в пределах сжатого сечения, строго говоря, неравномерное.

В тех случаях, когда можно пренебречь влиянием соотношения площадей к или влиянием скоростного напора, в расчетах используются только коэффициент скорости и коэффициент расхода. Тогда основные расчетные формулы принимают вид.

;

.

Такие условия для малых отверстий с острой кромкой соответствуют и наблюдаются, как правило, во всех случаях. При этом разность между и, а следовательно, и между и не превышает 1,2%.

При расчете истечения через отверстие может быть три типа задач:

• 1) определение расхода при известном напоре и известных размерах отверстия ;
• 2) определение напора, необходимого для пропуска заданного расхода через отверстие с известными размерами ();
• 3) определение размеров отверстия при известных и .

Во всех этих задачах принимают и площадь резервуара в сечении А-А известной ().

Рассмотрим первую задачу. Если использовать для вычисления расхода формулу (10.6), то при неизвестной сначала скорости приходится определять расход в результате ряда приближений. Принимаем, находим значение расхода. Затем вычисляем и. Подставив полученное значение, определим новое значение и затем уточним и .

Расчет заканчивается, когда полученное значение отличается от значения, найденного в предыдущем приближении, не более чем на принятое заранее значение (например, на 1%). Неудобства такого расчета очевидны.

В дальнейшем будем при решении указанных задач при истечении в основном использовать формулы.

Если форма отверстия отличается от круглой, то при удалении от отверстия происходит изменение сечения струи, называемое инверсией струи. Наиболее ярко это явление проявляется при истечении через отверстия полигональной формы. На рис. 10.2 показаны несколько примеров, характеризующих инверсию струи. При истечении через квадратное отверстие струя постепенно превращается в крест с тонкими прозрачными ребрами, ориентированными нормально к сторонам квадрата. Вытекающая через треугольное отверстие струя постепенно принимает форму звезды с ребрами, перпендикулярными сторонам треугольника. Объясняется это интересное и зрелищно красивое явление совместным действием поверхностного натяжения (благодаря которому углы сначала притупляются, а затем образуются «звезды») и инерции.

Рис. 2.