Упругие волны в газах и жидкостях

Мы рассматриваем здесь газ или жидкость (так же как твердое тело в предыдущих параграфах) как сплошную непрерывную среду, отвлекаясь от его атомистической структуры. Под смещением мы здесь понимаем общее смещение вещества, заполняющего объем, заключающий в себе очень много атомов, но малый по сравнению с длиной волны.

Будем считать, что рассматриваемый газ или жидкость находятся в очень длинной цилиндрической трубе, образующие которой параллельны оси х, и что смещение зависит только от одной координаты х. Мы можем применить к столбу газа или жидкости, заполняющему трубу, те же рассуждения, что и к стержню. Мы придем, таким образом, к уравнению.

(17).

где р = - у есть давление в газе или жидкости. Здесь — значение плотности в состоянии равновесия. Пусть ей соответствует давление. Величины, не зависят ни от х, ни от t.

Уравнение (17) применимо и в случае плоских волн в неограниченной жидкой или газообразной среде (можно мысленно выделить цилиндрический столб, параллельный направлению распространения и применить к нему те же рассуждения, что к столбу, заключенному в трубе).

Как известно из термодинамики, р есть функция плотности данной массы газа (или жидкости) и ее температуры. Температура в свою очередь изменяется при сжатии и разрежении. Теплопроводность газов и жидкостей очень мала, поэтому можно считать в первом приближении, что при распространении звука процесс сжатия и разрежения каждой части газа или жидкости происходит адиабатически, т. е. без заметного теплообмена с соседними частями. В термодинамике показывается, что в этом случае (если можно пренебречь внутренним трением и некоторыми другими явлениями) температура является однозначной функцией плотности, и, следовательно, давление также.

При заданной деформации е в твердом теле также зависит от температуры. Но в акустике твердых тел это обстоятельство не играет существенной роли.

В газах и в жидкостях за некоторыми исключениями (например вода, при температуре ниже 4° С) температура растет при сжатии и уменьшается при расширении.

Есть однозначная функция плотности:

p=f (p). (18).

Введем обозначения.

(19),.

Где и — соответственно изменения давления и плотности при нарушении равновесия.

Подставляя первую формулу (19) в (17) и принимая во внимание, что при равновесии давление не зависит от х, т. е.

.

получаем:

(20).

Найдем теперь связь между и деформацией е =. Мы сначала выразим через, а затем через е:

а) Подставляя (19) в (18), имеем:

.

разлагая f () в ряд по степеням,.

.

Так как =, то получаем:

(21).

Здесь мы сделаем существенное предположение: будем считать уплотнения и разрежения настолько малыми, что допустимо пренебречь в разложении (21) членами, пропорциональными, , … и заменить (21) линейным соотношением.

.

Тем самым мы ограничиваем себя исследованием волн малой интенсивности.

—постоянный при данных условиях опыта коэффициент, определяемый состоянием среды при равновесии.

б) Объем в результате деформации превращается в объем.

(22).

так как здесь поперечный размер (в отличие от твердого стержня) остается, постоянным, а длина превращается в. Но произведение плотности на объем, равное массе рассматриваемой порции вещества, не меняется:

.

Подставляя (19) и (22), получаем:

.

Пренебрегая и здесь высшими степенями малой величины, получаем:

,.

Таким образом,.

(23).

Подставляя, наконец, (2.22) в (2.19), мы получаем волновое уравнение.

(24),.

. (25).

Отсюда заключаем, что рассматриваемые малые деформации распространяются в виде плоских не деформирующихся волн; скорость распространения (скорость звука) тем больше, чем сильное в данной среде возрастает давление при адиабатическом возрастании плотности; она равна квадратному корню из производной давления по плотности, взятой при значении последней в отсутствие волны ©.