Правило сложения дисперсий

Каждая статистическая совокупность обладает каким-либо факторным признаком, поэтому, разбивая статистическую совокупность на группы по этом}' факторному признаку, можно с помощью показателей дисперсии определить влияние этого фактора на колеблемость данного признака. Эта задача решается с использованием различных видов дисперсии: общей, межгрупповой и внутригрупповой.

Показатель общей дисперсии (а²) дает характеристику колеблемости признака по всей исследуемой статистической совокупности, а также учитывает влияние всех факторов, обусловливающих эту вариацию. Рассчитывается эта дисперсия по формуле (5.4) или (5.5).

Показатель межгрупповой дисперсии (8²) отражает вариацию изучаемого признака, возникающую под влиянием признака — фактора, положенного в основание группировки. Этот показатель рассчитывается по формуле.

где Xi — среднее значение изучаемого признака в выделенных группах; X — среднее значение изучаемого признака, но всей совокупности; f_i — число единиц совокупности в каждой из выделенных групп.

Внутригрупповая (частная) дисперсия (а?) характеризует случайную вариацию в каждой из выделенных групп, т. е. вариацию, не зависящую от признака — фактора, положенного в основание группировки. Она определяется по одной из формул:

Средняя из внутригрупповых дисперсий (а?) рассчитывается по формуле.

где Gj — внутригрупповая дисперсия в каждой из групп.

Согласно правилу сложения дисперсий общая дисперсия должна быть равна сумме межгрупповой дисперсии и средней из внутригрупповых дисперсий:

На практическом примере рассмотрим расчет общей, межгрупповой и внутригрупповой дисперсии.

Пример 5.3.

Имеются данные о влиянии квалификации (тарифного разряда) рабочих на уровень производительности их труда. При этом результативным признаком является размер среднечасовой выработки, а факторным признаком — уровень квалификации рабочих, представленный тарифными разрядами.

На основании факторного признака все рабочие были разделены на две основные группы. В свою очередь, результативный признак может варьировать как иод влиянием факторного (или систематического), определенного нами признака, так и за счет влияния других признаков, которые не учтены в рамках приведенного примера. При этом степень влияния факторного признака на результативный признак будет характеризовать показатель межгрупповой дисперсии, а всех остальных факторов — внутригрупповая дисперсия. Необходимо рассчитать данные показатели.

Прежде всего необходимо рассчитать значение средней величины по первой X, и второй Х₂ группам по результативному признаку:

В таблице уже даны расчеты среднего линейного отклонения. Поэтому далее необходимо перейти к расчету частных или внутригрупповых дисперсий по первой и второй группам с использованием формулы (5.7). Здесь учитываются итоговые значения граф 4 и 8 таблицы:

Полученные значения частных или внутригрупповых дисперсий дают характеристику вариации производительности труда рабочих (среднечасовой выработки) за счет влияния любых признаков, кроме признака, характеризующего уровень их квалификации, поскольку внутри каждой группы каждый рабочий имеет один и тот же уровень квалификации, выраженный одним и тем же тарифным разрядом.

Далее рассчитываем среднюю дисперсию из полученных значений внутригрупповых дисперсий:

Эта дисперсия также отражает вариацию производительности труда рабочих (среднечасовой выработки) под влиянием всех действующих факторов, кроме квалификационного уровня рабочих.

Следующий шаг — расчет межгрупповой дисперсии на основании формулы (5.6). Чтобы выполнить расчет межгрупповой дисперсии, необходимо получить показатели производительности труда по всей статистической совокупности, т. е. по группе рабочих, имеющих и 4-й, и 5-й квалификационный разряд (тариф). Средняя производительность труда по всей совокупности рабочих рассчитывается как средняя арифметическая взвешенная из среднечасовой выработки:

С учетом полученного среднего значения результативного признака по всей статистической совокупности рассчитываем межгрупповую дисперсию:

Рассчитанная межгрупповая дисперсия дает характеристику вариации или колеблемости признака, которая обусловлена различием в квалификационном уровне рабочих.

Далее рассчитываем общую дисперсию с использованием формулы (5.4) для несгруппированных данных:

Показатель общей дисперсии дает возможность оценить влияние всех действующих факторов на вариацию производительности труда всех рабочих по статистической совокупности, представленной в таблице. Проверяя сложением дисперсий итоговый ответ, получаем, что внутригрупповая и межгрунновая дисперсия были рассчитаны верно (в сумме сложение двух видов дисперсий также дает ответ 9). Таким образом, влияние квалификационного уровня рабочих на производительность их труда (среднечасовую выработку) можно признать достаточно высоким, отклонение в производительности труда рабочих с разным уровнем квалификации может составлять до 9 шт. изделий в час.

В статистике для определения степени влияния факторного признака на результативный признак используют эмпирический коэффициент детерминации (ц). Он представляет собой отношение показателя межгрупповой дисперсии к показателю общей дисперсии результативного признака:

Расчет эмпирического коэффициента детерминации позволяет установить наличие связи между группировочным (факторным) и результативным признаком. При наличии связи между признаками, характеризующими статистическую совокупность, эмпирический коэффициент детерминации будет стремиться к единице, а при отсутствии связи — к нулю.

Исходя из данных примера, приведенного выше, рассчитаем эмпирический коэффициент детерминации:

Это позволяет заключить, что уровень производительности труда рабочих (их среднечасовая выработка) более чем на 66% обусловлен влиянием различий в их квалификационном уровне и не более чем на 34% зависит от множества прочих, не зачтенных в примере факторов.

Для определения тесноты связи между факторным и результативным признаками рассчитывают эмпирическое корреляционное отношение в виде корня квадратного из эмпирического коэффициента детерминации:

Эмпирическое корреляционное отношение, так же как и коэффициент детерминации, может принимать значение от «0» до «1», соответственно, чем теснее связь между факторным и результативным признаками, гем выше значение эмпирического корреляционного отношения.

Если рассматривать данные приведенного выше примера, то можно отметить, что связь между производительностью труда рабочих и их квалификацией весьма высока, поскольку эмпирическое корреляционное отношение составляет значение 0,812 (^/0,666) или, иными словами, данные факторы тесно связаны более чем на 81%.

Для качественной оценки тесноты связи между факторным и результативным признаками на основе эмпирического корреляционного отношения можно использовать шкалу Чеддока (табл. 5.1).

Таблица 5.1

Шкала Чеддока для качественной оценки тесноты связи между результативным и факторным признаками.

На основании шкалы Чеддока, если значение эмпирического корреляционного отношения превышает значение 0,7, а также с учетом эмпирического коэффициента детерминации можно говорить о том, что основную часть колеблемости результативного признака можно объяснить влиянием факторного признака.