Полные затраты труда капиталовложений и т.д

Расширим табл.1, включив в нее, кроме производительных затрат xik, затраты труда, капиталовложений и т. д. по каждой отрасли. Эти новые источники затрат впишутся в таблицу как новые n+1-я, n+2-я и т. д. дополнительные строки.

Обозначим затраты труда в k-ю отрасль через xn+1,k, и затраты капиталовложений — через xn+2,k (где k = 1, 2, …, n). Подобно тому как вводились прямые затраты aik, введем в рассмотрение коэффициенты прямых затрат труда.

an+1,k = xn+1,k / xk;

капиталовложений.

an+2,k = xn+2,k/ xk.

представляющих собой расход соответствующего ресурса на единицу продукции, выпускаемую k-й отраслью. Включив эти коэффициенты в структурную матрицу (т.е. дописав их в виде дополнительных строк), получим прямоугольную матрицу коэффициентов прямых затрат:

a11 a12 … a1k … a1n.

a21 a22 … a2k … a2n основная часть матрицы, А = ai1 ai2 … aik … ain.

an1 an2 … ank … ann.

an+1,1 an+1,2 … an+1,k … an+1,n.

an+2,1 an+2,2 … an+2,k … an+2,n дополнительные строки При решение балансовых уравнений по-прежнему используется лишь основная часть матрицы (структурная матрица А). Однако при расчете на планируемый период затрат труда или капиталовложений, необходимых для выпуска данного конечного продукта, принимают участие дополнительные строки.

Так, пусть, например, производится единица продукта 1-й отрасли, т. е.

У = 0.

_ 1:0.

Для этого требуется валовый выпуск продукции.

S21.

x = S1 = S11: Sn1.

Подсчитаем необходимые при этом затраты труда Sn+1,1. Очевидно, исходя из смысла коэффициентов an+1,k прямых затрат труда как затрат на единицу продукции k-й отрасли и величин S11, S12, …, S1n, характеризующих сколько единиц продукции необходимо выпустить в каждой отрасли, получим затраты труда непосредственно в 1-ю отрасль как an+1,1S11, во 2-ю — an+1,2S21 и т. д., наконец в n-ю отрасль an+1,nSn1. Суммарные затраты труда, связанные с производством единицы конечного продукта 1-й отрасли, составят:

Sn+1,1 = an+1,1S11 + an+1,2S21 + … + an+1,nSn1 = an+1S1 ,.

т.е. равны скалярному произведению (n+1)-й строки расширенной матрицы А, которую обозначим an+1, на 1-й столбец матрицы S.

Суммарные затраты труда, необходимые для производства конечного продукта k-й отрасли, составят:

Sn+1,k = an+1Sk (13).

Назовем эти величины коэффициентами полных затрат труда. Повторив все приведенные рассуждения при расчете необходимых капиталовложений, придем аналогично предыдущему к коэффициентам полных затрат капиталовложений:

Sn+2,k = an+2Sk (14).

Теперь можно дополнить матриц S строками, состоящими из элементов Sn+1,k и Sn+2,k, образовать расширенную матрицу коэффициентов полных затрат:

S11 S12 … S1k … S1n матрица коэффициентов.

S21 S22 … S2k … S2n полных внутрипроизводст. затрат.

S = Si1 Si2 … Sik … Sin.

Sn1 Sn2 … Snk … Snn.

Sn+1,1 Sn+1,2 … Sn+1,k … Sn+1,n дополнительные строки.

Sn+2,1 Sn+2,2 … Sn+2,k … Sn+2,n.

Пользуясь этой матрицей можно рассчитать при любом заданном ассортиментном векторе У не только необходимый валовый выпуск продукции х (для чего используется матрица S), но и необходимые суммарные затраты труда xn+1, капиталовложений xn+2 и т. д., обеспечивающих выпуск данной конечной продукции У.

Очевидно,.

xn+1 = Sn+1,1y1 + Sn+1,2y2 + … + Sn+1,nyn, (16).

xn+2 = Sn+2,1y1 + Sn+2,2y2 + … + Sn+2,nyn ,.

т.е. суммарное количество труда и капиталовложений, необходимых для обеспечения ассортиментного вектора конечной продукции У, равны скалярным произведениям соответствующих дополнительных строк матрицы S вектор У.

Наконец, объединяя формулу (7) с формулами (16), приходим к следующей компактной форме:

x1:x2.

x = xn = SУ (17).

xn+1:xn+2.

Пусть дополнительно к данным, помещенным в табл.2, известны по итогам исполнения баланса фактические затраты труда xn+1,k (в тыс. человеко-часов) и капиталовложений xn+2,k (в тыс. руб.), которые записаны в табл.3. Переходя к коэффициентам прямых затрат aik, получим расширенную матрицу:

0.2 0.4.

А = 0.55 0.1.

• 0.5 0.2
• 1.5 2.0

Обратная матрица S = (E — A)-1 была уже подсчитана в предыдущем пункте.

На основании (13) рассчитаем коэффициенты полных затрат труда (Sn+1,k=S3,k):

S31 = a3S1 = 0.5 1.8 + 0.2 1.1 = 1.12 ;

S32 = a3S2 = 0.5 0.8 + 0.2 1.6 = 0.72.

и капиталовложений Sn+2,k = S4, k:

S41 = a4S1 = 1.5 1.8 + 2.0 1.1 = 4.9 ;

S42 = a4S2 = 1.5 0.8 + 2.0 1.6 = 4.4.

Таким образом, расширенная матрица S коэффициентов полных затрат примет вид:

• 1.8 0.8
• S = 1.1 1.6
• 1.12 0.72
• 4.9 4.4

Если задаться на планируемый период прежним ассортиментным вектором У = 240, то рассчитав по формулам (16) суммарные затраты труда xn+1 и 85 капиталовложений xn+2, получили бы.

xn+1 = x3 = 1,12 240 + 0.72 85 = 268.8 + 61.2 = 330 тыс. чел.-ч. И.

xn+2 = xn = 4.9 240 + 4.4 85 = 1176 + 374 = 1550 тыс. руб.,.

что совпадает с исходными данными табл.3.

Однако в отличие от табл.3, где эти суммарные затраты группируются по отраслям.

(250 и 80 или 750 и 800), здесь они распределены по видам конечной продукции: на продукцию 1-й отрасли 268.8 и на продукцию 2-й отрасли 61.2; соответственно затраты капиталовложений составляют 1176 и 374.

При любом новом значении ассортиментного вектора У все показатели плана, такие, как валовая продукция каждой отрасли и суммарные расходы трудовых ресурсов и капиталовложений найдем из формулы (17).

Так, пусть задан ассортиментный вектор У = 480. Тогда 170.

_ х1 1.8 0.8 1000.

х = х2 = 1.1 1.6 480 = 800.

х3 1.12 0.72 170 600.

х4 4.9 4.4 3100.

Отсюда заключаем, что запланированный выпуск конечного продукта У может быть достигнут при валовом выпуске 1-й и 2-й отраслей: х1=1000 и х2=800, при суммарных затратах труда х3=660 тыс. чел.-ч. и при затратах капиталовложений х4=3100 тыс. руб.

Рассмотренные теоретические вопросы и примеры расчета, конечно, далеко не исчерпывают важную для практики область балансовых исследований. Здесь проиллюстрировано только одно направление приложения линейной алгебры в экономических исследованиях.