Модель роста опухолевых клеток

Ткани живых организмов состоят из клеток. Основной формой воспроизводства клеток является митотическое деление. Митоз состоит из нескольких фаз, по окончании которых начинается функционирование новой клетки вплоть до начала ее деления. Все клетки, в зависимости от их функций в организме, могут делиться определенное число раз. После чего их жизненный цикл прекращается. Механизм гибели клетки заложен в ней самой. Если этот механизм нарушен, то клетка будет продолжать все время делиться. В результате избыточные клетки накапливаются в больной ткани, постепенно образуя опухоль [14, 15]. С ростом опухоли клетки объединяются, образуя различные пространственные структуры. Процесс роста может сопровождаться проникновением делящихся все время клеток в окружающие ткани с образованием новых очагов роста клеток. Процесс накопления таких очагов может стать необратимым и быть причиной летального исхода. В отсутствие патологий процесс роста и гибели клеток является равновесным. То есть процесс отмирания клеток и рождения новых клеток должен быть устойчивым. Полагая, что этот процесс саморегулирующийся, примем, что в количественном отношении он подчиняется логистическому уравнению:

.

в котором — концентрация здоровых (покоящихся) клеток ткани, — удельная скорость их роста. Объем функционального пространства, в котором клетки функционируют, принят равным единице. То есть максимальное количество клеток, занимающее это пространство, равно единице:. Это положение равновесия будет устойчивым.

Делящиеся (опухолевые) клетки рассматриваются как чужие для иммунной системы, образующиеся из них ансамбли клеток не являются саморегулирующимися, поэтому естественно считать, что их количество увеличивается по экспоненциальному закону:

В этом уравнении _ концентрация делящихся клеток, _ удельная скорость их роста.

В модели взаимодействия делящихся и покоящихся клеток необходимо учесть, что их общее количество, занимающее функциональное пространство, в стационарном положении равновесия не должно быть больше единицы, а также то обстоятельство, что делящиеся клетки оказывают ингибирующее влияние на покоящиеся клетки. С учетом этого в качестве модели роста делящихся клеток принимается задача Коши для системы двух дифференциальных уравнений:

(2).

,.

где _ начальная концентрация делящихся клеток _ малая положительная величина. Слагаемое — скорость убыли покоящихся клеток, вызванная ингибирующим влиянием на них делящихся клеток. Считается, что эта скорость пропорциональна концентрации обоих типов клеток.

Матрица Якоби правой части уравнений (2).

Система уравнений (2) имеет три стационарные точки.

1., ,.

с положительными собственными значениями матрицы Якоби и. То есть эта стационарная точка неустойчивая.

2., .

В этой стационарной точке собственными значениями матрицы Якоби будут и. Поскольку одно собственное значение равно нулю, а второе отрицательное, то линейное приближение системы уравнений (2) не дает ответа об устойчивости этой стационарной точки.

3., .

В этой стационарной точке оба собственных значениях матрицы Якоби и будут отрицательными. Поэтому эта стационарная точка является устойчивой.

Первая стационарная точка сопоставляется с моментом возникновения клеток, из которых образуется новая живая ткань. Неустойчивость этой стационарной точки означает, что в модели (2) заложен механизм роста как покоящихся клеток, образующих естественные ткани организма, так и все время делящихся. То есть новая ткань может расти одновременно за счет увеличения численности обоих видов клеток с начала ее возникновения.

Вторая стационарная точка сопоставляется с возможным возникновением делящихся клеток в функциональном пространстве полностью занятом покоящимися клетками. Неопределенность с устойчивостью этой стационарной точки (в линейном приближении) говорит о том, что необходим учет дополнительных факторов в модели (2), влияющих на размножение делящихся клеток. Эти факторы могут быть как стимулирующими рост этих клеток, так и ингибирующими.

Третья стационарная точка сопоставляется с тем, что в функциональном пространстве, полностью занятом в начальный момент времени делящимися клетками, могут возникнуть нормальные клетки. Поскольку эта точка устойчивая, то возникшие нормальные клетки постепенно исчезнут.

Таким образом, модель (2), если ее сопоставлять с процессами в живых организмах, содержит три основных варианта возможного возникновения и роста злокачественного новообразования:

• · возникновение новообразования в момент рождения организма;
• · возникновение новообразования в здоровом организме;
• · злокачественность новообразования.